§1.3 常数项级数的审敛法

1、1.3 数项级数的审敛法数项级数的审敛法1.3.1 正项级数的审敛法正项级数的审敛法10.nnnuu 定定义义 若若则则称称为为正正项项级级数数，1.1nnnus 正正项项级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件是是它它的的部部分分和和数数列列定定有有界界理理若若1nnu 收收敛敛， . nS则则收收敛敛，故故有有界界0nu ，部分和数列部分和数列 nS nS有有界界， nS故故收收敛敛，1.nnu 从从而而收收敛敛又已知又已知单调递增，单调递增，证证: “”证证: “”“”“”1.1nnnus 正正项项级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件是是它它的的部部分分和和数数列列定定有有界界理理112 (

2、)(1 2 3).nnnnnnuvuvn定定理理比比较较审审敛敛法法 设设，是是两两个个正正项项级级数数，且且，(1) 若若强强级数级数1nnv 则则弱弱级数级数1nnu (2) 若若弱弱级数级数1nnu 则则强强级数级数1nnv 收敛，收敛，也收敛也收敛 ;发散发散 ，也发散也发散 .(1) 若若强强级数级数1nnv 则则弱弱级数级数1nnu (2) 若若弱弱级数级数1nnu 则则强强级数级数1nnv 收敛，收敛，也收敛也收敛 ;发散发散 ，也发散也发散 .解解: 1) 若若01p ，nZ 因因为为对对一一切切，1111ppnnnn 而而调调和和级级数数发发散散，由由比比较较审审敛敛法法可可

3、知知级级数数1n 发散发散 .1pn11111( 0)23. pppppn例例 讨讨论论级级数数常常数数的的敛敛散散性性2)1-pp 当当时时，将将级级数数写写成成111111111()()()234567815pppppppp111111111()()()22444488pppppppp231111111()()222ppp ()收收敛敛的的几几何何级级数数注注：此此时时只只是是说说明明加加括括号号后后的的级级数数收收敛敛，还还不不能能得得到到原原级级数数收收敛敛，为为什什么么？. 又又因因为为原原级级数数是是正正项项级级数数，故故收收敛敛1111pnpnp 发发散散，收收敛敛，NZnN 若

4、若存存在在， 当当，1(1)nun ，1(2)(1)npupn ，1.nnu 则则收收敛敛1nnu 则则发发散散；判别级数判别级数211151ln(1)(2)(3)243(1)nnnnnnnn n ，.的的敛敛散散性性22551(1).2432nunnn 解解因因为为211nn 而而级级数数收收敛敛，故故由由比比较较审审敛敛法法知知原原级级数数收收敛敛. .11(2)1(1)nunn n 因因为为，111nn 而而级级数数发发散散，故故原原级级数数发发散散. .ln1(3)(3)nnnn因因为为，11nn 而而级级数数发发散散，故故原原级级数数发发散散. .证明级数证明级数1().!nnaan

5、 为为正正常常数数 收收敛敛 manm 证证明明设设，当当时时，有有!1 2(1) nmn mnaaaunmmn ()1 21mn maamm ()()1 211mmnaaammm ()1nacm 1()1nnacm 而而为为收收敛敛的的几几何何级级数数，.所所以以原原级级数数收收敛敛11nnnnuv，满满足足设两正项级数设两正项级数1)lim(0)nnnullv 若若，则则这这两两个个级级数数同同敛敛散散性性；112)lim0nnnnnnnuvuv 若若，则则如如果果收收敛敛，也也收收敛敛；113)lim.nnnnnnnuvuv 若若，则则如如果果发发散散，也也发发散散113nnn 证证:

6、(1)据极限定义据极限定义,=2lNnN 取取，存存在在正正整整数数 ，当当|2nnullv时时，有有，1322nnullv即即，1322nnnlvulv亦亦，11.nnnnuv由由比比较较审审敛敛法法知知，具具有有相相同同的的敛敛散散性性1NZnN 取取，当当时时，有有(2)lim0nnnuv 若若，1nnuv ，.nnuv 即即1nnv 故故由由比比较较审审敛敛法法可可知知，若若收收敛敛可可得得1.nnu 也也收收敛敛3)limnnnuv 若若，当当1MNnN取取， 存存在在正正整整数数， 当当1nnuMv时时， 有有，nnuv 即即，故故由由比比较较审审敛敛法法可可知知，11.nnnnv

7、u发发散散时时，亦亦发发散散1nnu 设设为为正正项项级级数数，1(1)lim0lim+nnnnnnnulnuu 若若或或，则则发发散散；1(2)lim0(1)pnnnnn ulpu 若若， 则则收收敛敛. .limlim1nnnnunun limlim1pnnnnpun un 222211limln(1)limln(1)nnnnnn解解 因因为为221lnlim(1)nnnln1e211ln(1).()4nn 判判别别级级数数的的收收敛敛性性 第第一一个个题题超超前前了了例例23411.(1)nn n 例例判判定定级级数数的的敛敛散散性性1.3.2 交错级数的审敛法交错级数的审敛法0.nu

8、其其中中111231( 1)=( 1)nnnnnuuuuu 1231 ( 1)=( 1)nnnnnuuuuu 或或即即为为正正负负项项交交替替出出现现的的数数项项级级数数交交错错级级数数， 可可写写为为0.nu 其其中中111231( 1)=( 1)nnnnnuuuuu 1231 ( 1)=( 1)nnnnnuuuuu 或或即即为为正正负负项项交交替替出出现现的的数数项项级级数数交交错错级级数数， 可可写写为为定理定理6 ( Leibnitz 审敛法审敛法 )11)(1 2)nnuun ，；2)lim0nnu ，11( 1)nnnu 若若交交错错级级数数满满足足111( 1).nnnuSu 则

9、则级级数数收收敛敛， 其其和和证证: 21234212()()()nnnSuuuuuu 因因为为2123452221()()()nnnSuuuuuuu1u 是单调递增有界数列，是单调递增有界数列，2nS所所以以21limnnSSu，又又21221nnnSSu2limnnS 2nu 故故S21221limlim()nnnnnSSu1.SSu 故故级级数数收收敛敛于于 ， 且且111111111( 1)( 1)234nnnnn .收收敛敛111|1nnnnnnuuu为为常常数数项项级级数数， 称称定定义义绝绝对对为为的的值值级级数数. .11|nnnnuu若若收收敛敛， 称称为为绝绝对对收收敛敛；

10、1.nnu 为为条条件件收收敛敛称称11|nnnnuu发发散散若若而而收收敛敛111|1nnnnnnuuu为为常常数数项项级级数数， 称称定定义义绝绝对对为为的的值值级级数数. .11|nnnnuu若若收收敛敛， 称称为为绝绝对对收收敛敛；1.nnu 为为条条件件收收敛敛称称11|nnnnuu发发散散若若而而收收敛敛1.3.3 任意项级数的审敛法任意项级数的审敛法1nnu 1|nnu 1|nnu 收收敛敛1nnu 收收敛敛1nnu 收收敛敛121( 1)7nnn 例例级级数数是是绝绝对对收收敛敛的的，211nn 因因为为是是收收敛敛的的. .11( 1)8nnn 例例级级数数是是条条件件收收敛

11、敛的的，因因为为级级数数本本身身是是收收敛敛11nn 的的， 但但级级数数是是发发散散的的. .21cos9.nnn 例例 判判别别级级数数的的敛敛散散性性21|cos|nnn 解解 其其绝绝对对值值级级数数为为，22|cos|1.nnn 其其一一般般项项211nn 而而级级数数收收敛敛，21|cos|nnn 故故级级数数收收敛敛， 从从而而原原级级数数21cos.nnn 是是绝绝对对收收敛敛的的1nnu 对对级级数数，1|lim|nnnuu 如如果果， 则则1(1)1nnu 若若， 则则级级数数绝绝对对收收敛敛；11|(2)1lim+|lim| +nnnnnnnuuuu 若若或或，则则级级数

12、数发发散散， 且且. .(3)1. 若若则则该该法法失失效效. 注注：若若已已经经是是正正项项级级数数则则不不需需取取绝绝对对值值了了1|lim|nnnuu 由由知知证证:(1)11当当时时， 取取 使使，1|1.|nnuqu 1|nnuq u 所所以以21|nq u 1|.nnu 收收敛敛NZnN 存存在在， 当当时时，1nnkq 而而级级数数收收敛敛，由比较审敛法可知由比较审敛法可知1.nkq 1|n NNqu 1|NnNqqu (2)101.当当时时，取取， 使使得得N存存在在正正整整数数 ，所以原级数发散所以原级数发散.1|nnunNu 当当时时，1|()|nnuu 即即，lim|nn

13、u从从而而，lim0 .nnu 进进而而1|lim=+|nnnuu 当当时时，=1MNnN 取取，存存在在正正整整数数 ，当当时时，1|1|nnuMu ，1|nnuu 即即，同理得原级数发散同理得原级数发散.1|lim1.|nnnuu ：当当时时， 级级数数可可能能收收敛敛也也说说可可能能发发散散明明11pnpn 例例如如，对对于于级级数数， 总总有有1 但但1p ，级数收敛级数收敛 ；1p ，级数发散级数发散 .但但1p ，级数收敛级数收敛 ；1p ，级数发散级数发散 .lim(1)ppnnn lim()1pnnn 11(1)limlim1pnnnnpunun 3111!(1)( 1)(2)

14、(3)31010nnnnnnnnnnn 例例判判别别级级数数，.的的敛敛散散性性3+1(1)13(1)|( 1)|3(1)|( 1)|3nnnnnnnunu 解解311(1)3n11()3n .所所以以原原级级数数绝绝对对收收敛敛(1)1(1)!(1)(2)!nnnnnunnun ()1nnn 11(1)nn 11()ne .所所以以原原级级数数收收敛敛11(1)!10(3)!10nnnnnunu 110n ()n .所所以以原原级级数数发发散散1nnu 对对级级数数，lim |nnnu 如如果果，则则1(1)1nnu 若若，则则级级数数绝绝对对收收敛敛；1(2)1lim |=+nnnnnuu

15、 若若或或，则则级级数数发发散散. .(3)1. 若若则则该该法法失失效效1112( 1).nnnxn 讨讨论论级级数数的的敛敛散散性性例例|lim |limnnnnnnxun 解解|limnnxn |.x (1)| 1.x 当当时时，原原级级数数绝绝对对收收敛敛(2)| 1.x 当当时时，原原级级数数发发散散111(3)1( 1).nnxn 当当时时，原原级级数数为为，条条件件收收敛敛11(4)1.nxn 当当时时，原原级级数数为为，发发散散 定定理理 若若一一级级数数绝绝对对收收敛敛， 则则任任意意交交换换各各项项顺顺序序所所得得的的新新级级数数仍仍绝绝对对收收敛敛， 且且和和不不变变;

16、; 若若一一级级数数条条件件收收敛敛， 则则可可改改变变其其项项的的顺顺序序， 使使新新级级数数收收敛敛于于任任意意给给定定的的数数. .例例 若级数若级数1nna 收敛，则下列收敛，则下列级数级数收敛的收敛的是是( ) (A) 1|nna ； (B) 1( 1)nnna ； (C) 11nnna a ； (D) 112nnnaa ； (E) 1( 1)nnnan ； (F) 21nna ； (G) 2121()nnnaa 11( )( 1)nnAn 11( )( 1)nnBn 11( )( 1)nnCn 11()( 1)lnnnEn 11()( 1)nnFn 11( )( 1)nnGn 例例

17、 下列说法正确吗？下列说法正确吗？ (1)设正项级数设正项级数1nnu 发散，则发散，则1()nunNn； (2)若若1nnu 收敛，则收敛，则21nnu 收敛；收敛； (4)若极限若极限lim0nnnulv ，且且1nnv 收敛，则收敛，则1nnu 收敛收敛. (3)若若1nnu 为正项级数， 且为正项级数， 且11 (1,2,)nnunu ，则则1nnu 收敛收敛. 1(1)nnun n 1(2)( 1)nnun 1(3)nun 111(4)( 1)( 1)nnnnuvnnn ，12111( 1)( 1)nnnnuvnnn 例例 设设，则则级级数数11nnnnuv，条条件件收收敛敛，2111().nnnnuvn但但绝绝对对收收敛敛例例 设正项级数设正项级数1nnu 收敛，收敛， 能否推出能否推出21nnu 收敛收敛 ?2limnnnuu证证明明limnnu 0 ，由比较审敛法可知由比较审敛法可知21nnu 收敛收敛 .注意注意: 反之不成