现代控制理论CA08-状态方程

1、第第 8 讲讲 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述课程内容课程内容: :l 状态和状态空间的含义状态和状态空间的含义l 根据微分方程列写状态方程根据微分方程列写状态方程l 传递函数与状态方程之间的变换传递函数与状态方程之间的变换现代控制理论CA08-状态方程现代控制内容总览现代控制内容总览建模建模定性分析定性分析稳定性稳定性反馈设计反馈设计需要掌握内容：需要掌握内容： 古典控制理论和现代控制理论古典控制理论和现代控制理论的区别的区别. 根据系统机理建立状态方程根据系统机理建立状态方程. 根据微分方程、传递函数、方根据微分方程、传递函数、方框图建立状态方程框图建立状态方程.系统的外部描

2、述系统的外部描述8.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念黑箱黑箱u1u2upy1y2yq输输入入变变量量输输出出变变量量x1, x2, , xnu1u2upy1y2yq输输入入变变量量输输出出变变量量状态变量状态变量系统的内部描述系统的内部描述状态和状态空间的定义状态和状态空间的定义 状态：状态： 系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在和将来的状况 状态变量：状态变量： 能完全表征系统运动状态的能完全表征系统运动状态的最小最小一组变量一组变量 状态向量：状态向量： 以彼此独立的状态变量作为分量构成的向量以彼此独立的状态变量作为分量构成的向量 状态空间：状态空间： 以状态变量为坐标构成的以

3、状态变量为坐标构成的n n 维空间维空间几点说明几点说明 状态变量组对系统行为的完全表征性状态变量组对系统行为的完全表征性若初始时刻若初始时刻t t0 0的初始状态变量组的初始状态变量组x(tx(t0 0) )给定，给定， tttt0 0各时刻的输入变量组各时刻的输入变量组u(t)u(t)给定，则系给定，则系统的任何一个内部变量在统的任何一个内部变量在tttt0 0 各时刻的各时刻的运动行为也就完全确定。运动行为也就完全确定。 状态变量组的最小性状态变量组的最小性 从物理角度，减小一个变量会破坏从物理角度，减小一个变量会破坏系统行为描述的完全性；而增加一个变量系统行为描述的完全性；而增加一个变

4、量将不增加任何信息量。将不增加任何信息量。 从数学角度，状态变量组是系统所有从数学角度，状态变量组是系统所有内部变量中线性无关的一个极大变量组。内部变量中线性无关的一个极大变量组。 状态变量组的不唯一性状态变量组的不唯一性任意两个状态变量组之间的关系任意两个状态变量组之间的关系xPxxQxQPPQI系统任取的两个状态系统任取的两个状态x x和和x x之间为线性非之间为线性非奇异变换关系奇异变换关系8.2 状态方程状态方程状态方程：反映系统状态变量组状态方程：反映系统状态变量组x x和输和输入变量组入变量组u u之间的动态因果关系之间的动态因果关系( , , )xf x u t输出方程：表征系统

5、变量组输出方程：表征系统变量组x x与输入变与输入变量组量组u u和输出变量组和输出变量组y y之间的转换关系之间的转换关系( , , )yg x u t动力学动力学部件部件输出部件输出部件xuy动态系统结构示意图动态系统结构示意图 线性系统线性系统( )( )( )( )xA t xB t uyC t xD t u 线性时不变系统线性时不变系统xAxBuyCxDuxAxBuyCxDu状态矩阵状态矩阵输入矩阵输入矩阵输出矩阵输出矩阵直接传输矩阵直接传输矩阵方框图方框图BCADuxxy y+例例1 1：（1 1）列写微分方程）列写微分方程11cdiRiLidtudtCuidtC（2 2）确定状态

6、变量和输入输出）确定状态变量和输入输出12cxixu状态变量状态变量输入变量输入变量输出变量输出变量uucyu状态变量个状态变量个数等于独立数等于独立储能元件的储能元件的个数个数（3 3）列写方程）列写方程 状态方程状态方程11211RxxxuLLL 输出方程输出方程2yx211xxC标准形式标准形式112211100RxxLLuLxxC1201xyx例2 （1 1）微分方程）微分方程2d ydymbkyudtdt（2 2）状态变量）状态变量1xy2xy （3）状态方程与输出方程）状态方程与输出方程12xx2121kbxxxummm 1yx标准形式标准形式11220101xxukbxxmmm1

7、210 xyx8.3 由微分方程列写状态方程由微分方程列写状态方程 微分方程中不含输入函数的导数微分方程中不含输入函数的导数( )(1)1100.nnnyaya y a ybu12(1):nnxyxyxy向量形式的状态方程和输出方程向量形式的状态方程和输出方程1201210010.00001.00:.nnxxxuxaaaab10.0 xy bn-an-1-a0-a1x1x2xn+uy例：已知线性微分方程，求状态空间表达式。例：已知线性微分方程，求状态空间表达式。61166yyyyu选择状态变量选择状态变量123,xy xy xy0100001061166xux 100yx状态方程状态方程输出方

8、程输出方程现代控制理论CA08-状态方程思思 考？考？12132 ,xy xx xx2. 2. 方程中含输入函数的导数方程中含输入函数的导数( )(1)110( )(1)110.nnnnnnnyaya ya yb ububub u 选择状态变量选择状态变量, ,使导出的一阶微分方程组使导出的一阶微分方程组的等式右边不出现的等式右边不出现u u的导数项。通常把状态的导数项。通常把状态变量取为变量取为y y和和u u的各阶导数的组合。的各阶导数的组合。011102211200111000:nnnnnnnnnbbabaabaaa系数可通过下式得到系数可通过下式得到对状态微分方程组求导得：对状态微分方

9、程组求导得：1212321101121:.nnnnnnnxxuxxuxxuxa xa xaxu 向量形式的状态方程和输出方程为向量形式的状态方程和输出方程为120121010.0001.0:.nnxuaaaax010.0yxu例：已知微分方程，求状态空间表达式。例：已知微分方程，求状态空间表达式。18192640160640yyyyuu03122021211030221100001602240bbabaabaaa 0100001160640192182240uxx100yx8.4 8.4 传递函数描述导出状态空间描述传递函数描述导出状态空间描述101110.( ).mmnnnb sbsbG s

10、sasa samn1、直接分解、直接分解11101( ).nnnD ssasa sa10( ).mmN sb sb sbD(s)N(s)uzy( )(1)110nnnzaza za zu()10.mmyb zb zb z取状态变量取状态变量1xz2xz (1)nnxz状态方程状态方程0121010.00001.00:.1nxxuaaaa 01.0mxybbb2、能观测标准型、能观测标准型0011000.100.:1:000.10mnabxxabuba00. 1 xy 3、并联分解（相异极点）、并联分解（相异极点）1212( )( ).( )nnkkkY sG sU ss ss ss s 1212( )( )( ) .( )nnkkkY sU sU sU ss ss ss s 111( )( )( )nnnkXsUssskXUsss向量形式的状态方程和输出方程为向量形式的状态方程和输出方程为112200.000.0:000.nnskskusxxk1 1 . 1 xy k1k2k3s1s2snx1x2x3yu+8.5 状态方程与频域转换状态方程与频域转换(了解）了解） 单输入单输出系统单输入单输出系统xAxBuyCxDu( )( )( )( )( )( )sX sAX