10相似原理与量纲分析

1、解决流体解决流体 力学问题力学问题 的方法的方法 数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验 表征表征 流动流动 过程过程 的物的物 理量理量 描述几何形状的描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的 如质量力、表面力、动量等 按性 质分 应应 满满 足足 的的 条条 件件 mmm l Llh k Llh （5-1） 以下标以下标m m表示模型表示模型 的有关量的有关量 : :长度比例尺（相似比例常数）长度比例尺（相似比例常数） l k 2 2 2 mm Al Al kk Al （5-2） 体积比例尺体

2、积比例尺: : 3 3 3 mm Vl Vl kk Vl （5-3） 图图5-1 5-1 几何相似几何相似 满足上述条件，流满足上述条件，流 动才能几何相似动才能几何相似 图图5-25-2速度场速度场相似相似 时间比例尺时间比例尺: : 速度比例尺速度比例尺: : m t t k t （5-4） m mml v t l vtk k l vk t （5-5） 运动粘度比例尺运动粘度比例尺: : 体积流量比例尺体积流量比例尺: : 加速度比例尺加速度比例尺: :（5-6） 2 m mmvv a tl v atkk k v akk t （5-7） 3 3 ,2 3 m V m ml qVlV Vt

3、l qtk kk k lqk t （5-8） 2 2 2 m mml vlv t l vtk kk k lvk t 长度比例尺长度比例尺和和速度比例尺速度比例尺确确 定所有运动学量的比例尺。定所有运动学量的比例尺。 图图5-35-3 动力动力场场相似相似 （5-10） 3 2 322 3 ()m v Fllv l v l k t kk kk k k v k l t 又由牛顿定律可知：又由牛顿定律可知： 有了模型与原型的有了模型与原型的密度比例尺密度比例尺，长长 度比例尺度比例尺和和速度比例尺速度比例尺，就可由它，就可由它 们确定所有动力学量的比例尺。们确定所有动力学量的比例尺。 力的比例尺力的

4、比例尺: : （5-9） , p mm I F pI FF F k FFF 5-10) 22 1 F lv k k k k （5-11） Ne vl F 22 （5-12） 当模型与原型的动力相似，则其当模型与原型的动力相似，则其牛顿数牛顿数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是 ,Ne mNe 称为称为牛顿数牛顿数， 它是作用力与惯它是作用力与惯 性力的比值。性力的比值。 Ne 一、重力相似准则一、重力相似准则（弗劳德准则）（弗劳德准则） 二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则（雷诺准则）（雷诺准则） 三、压力相似准则三、压力相似准则（欧拉准则）（欧拉准则） 四、弹性

5、力相似准则四、弹性力相似准则( (柯西准则柯西准则) ) 五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则（韦伯准则）（韦伯准则） 六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）（斯特劳哈尔准则） 3 ()m Flg Vg kk k k Vg 12 1 v lg k k k Fr gl v 2 1 （5-13） （5-14） 称为称为弗劳德数弗劳德数， 它是惯性力与重力它是惯性力与重力 的比值。的比值。 Fr 当模型与原型的重力相似，则其当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数弗劳德数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（弗劳德准则）（弗劳德准则） ,m FrFr

6、,1 mg ggk 12 vl kk （a） 223 1 vlgl k k kk k k （5-15） （5-16） （b） , mxm Flv x Fdvdy A kk k k Fdvdy A 22 1 vlvl k k kk k k 1 vl k k kk Re vlvl 称为称为雷诺数雷诺数，它，它 是惯性力与粘性力是惯性力与粘性力 的比值。的比值。 Re 当模型与原型的粘性力相似，则其当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数雷诺数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（雷诺准则）（雷诺准则） ReRe m 1kk 1 v l k k （5-17） （5-18） 2

7、 mmm Fpl Fp A kk k FpA 2 1 p v k k k Eu v p 2 称为称为欧拉数欧拉数，它，它 是总压力与惯性力是总压力与惯性力 的比值。的比值。 Eu 当模型与原型的压力相似，则其当模型与原型的压力相似，则其欧拉数欧拉数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（欧拉准则）（欧拉准则） m EuEu 2 v p Eu 22 ()m pp vv （5-19） （5-20） （5-21） 2 v E c c 22 Fcl kkk k 1 v c k k （5-22） Ma c v 称为称为马赫数马赫数，它，它 是惯性力与弹性力是惯性力与弹性力 的比

8、值。的比值。 Ma 当模型与原型的弹性力相似，则其当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数马赫数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（马赫准则）（马赫准则） m MaMa , () m m Fl Fl kk k Fl （5-23） 2 1 vl k k kk （ 5-24） We lv 2 称为称为韦伯数韦伯数，它，它 是惯性力与表面张是惯性力与表面张 力的比值。力的比值。 We 当模型与原型的表面张力相似，则其当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数韦伯数必定相等，必定相等， 即即 ；反之亦然。这就是；反之亦然。这就是（韦伯准则）（韦伯准则） m WeWe 图图5-45

9、-4 油池模型油池模型 图图5-5 5-5 弧型闸门弧型闸门 一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则 二、瑞利法二、瑞利法 三、三、 定理定理 1 1、讨论、讨论理论力学理论力学时，基本单位（量纲）有三个：时，基本单位（量纲）有三个： 质量质量(M)(M)、时间时间(T)(T)、长度长度(L)(L)； 3 3、运动学运动学问题有两个基本单位（量纲）：问题有两个基本单位（量纲）： 时间时间(T)(T)、长度长度(L)(L)。 2 2、讨论、讨论流体力学和热力学流体力学和热力学时，基本单位（量纲）有四个：时，基本单位（量纲）有四个： 质量质量(M)(M)、时间时间(T)(T)、长度长

10、度(L)(L)、温度温度( )( )； 物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲。物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲。 任一物理量任一物理量 的量纲表示为的量纲表示为dimdim 。 QQ 流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有：流体力学中常遇到的用基本量纲表示的导出量纲有： 任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，用量 纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是纲表示的物理方程必定是齐次性的，这便是 。既然物理方程中各项的量纲相同，。既然物理方程中各项的量纲相同， 那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可那么，用物理方程中的任何一项通除整个方程，便可 将该方程化为零量纲方程。将该方程化为零量纲方程。 量纲分析法量纲分析法正是依据物理方程量纲一致性原则，正是依据物理方程量纲一致性原则， 从量纲分析入手，找出流动过程的从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数相似准则数，并借，并借 助实验找出这些相似准则数之间的函数关系。根据助实验找出这些相似准则数之间的函数关系。根据相相 似原理似原理，用，用量纲分析法量纲分析法，结合，结合实验研究实验研究，不仅可以找，不仅可以找 出尚无物理方程表示的复杂流动