化简化归创新------想法在做法中得到升华

1、化简 化归 创新 想法在做法中得到升华【摘要】：本文通过两道习题来阐述解题的根本要求是“化简，化归 和创新”。进一步明确了学生做题的方法和方向。【关键词】：解题规律 数学知识 基本技能 学习效果 学习数学 。正解数学题 , 是学习数学的一个有机组成部分 , 它既是巩固加深 所学数学知识的必要方法 ,又是检验学习效果的一种手段 , 它也是学 生进行创造性地研究解决实际问题的前奏。 读了数学书籍而不演算其 习题,正如华罗庚教授所说 ,是“入宝山而后空返”。因此 , “中学数 学教学大纲”明确地指出 : “做足够数量的练习 , 是使学生牢固掌握 数学基础知识和基本技能的必要途径”。“解题的根本要求是

2、什么 ?是有目的、有根据的连续化简 （ 简称连 续化简）, 即在完全合乎逻辑的前提下 ,把原题连续地化成比较简单的 题目 , 直到新的题目与原题的结论或条件产生 明显的逻辑联系为 止” , “解题的根本要求就是连续化简”. 唐以荣教授指出 : “题目 的复杂部分之所以能够连续化简 , 那是由于复杂部分本来由若干简单 部分组成 , 完全可以作到每步化简都有充分根据 , 稳扎稳打 , 用不着猜 想. 当题目的已知条件在两项以上时 ,之所以能连续化简 , 是因为: 可 以把二项 （ 或一项条件与另一项条件的明显的推论 ） 联系起来引出过 渡性结论 , 而这一过渡性结论又能与其他的条件 （ 或它的明显

3、的推论 ） 联系起来 ,引出新的过渡性结论 这样连续下去 , 就得到通向结 论的一系列过渡性结论”.、_ 2题目1：设a为实数，函数f(x) = 2x + (x a)| xa|.(1) 若f(0) 1,求a的取值范围；(2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x) = f(x) , x(a，+*)，直接写出(不需给出演 算步骤)不等式h(x) 1的解集.分析：想法：(1) 求a的取值范围，即是寻求关于a的不等式，解不等式即可;(2) 求f (x)的最小值，由于f (x)可化为分段函数，分段函数的 最值分段求，然后综合在一起；(3) 对a讨论时，要找到恰当的分类标准.即 a1解 (1)因为

4、f (0) = a| a| 1,所以一a0,知 aw 1,因此，a的取值范围为(一 = ,1.2a2,x a32a2,x a(2)记f (x)的最小值为g( a),a 2则有 f (x) = 2x2 + (x a)| x a| = 3(x 3(x a)2(i )当 a0 时，比较 f(a) 2a2 , f( a) = 2a2, 可知 f (x) 2a，此时 g( a) = 2a .(ii)当 aa, f 3 = 3a2，贝S f (x) 3a2.若 xwa, f(a) 2a2，则 f (x) 2a【因为 2a22a2，此时 g(a) = 3a2,3322a , a0综上，得g(a) = 2aT

5、，a0。这一看似简单的 过程，却需要孩子们对实数的绝对值的含义透彻理解。如(2)中，本是最基本、最典型的二次函数给定区间求最值 的问题，但由于整个解题过程都是字母运算和推理，因此如果学生对此类问题只是熟悉而并未掌握，就会出现解题过程的混乱。题目 2.已知函数 f(x) = log a( ax 1) ( a0且 a 1).求证：(1)函数f (x)的图像总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都大于 0. 想法：代数问题几何条件，必然需要数形结合，还需要能够对问题的 图形特征进行准确的代数表达。当然，在题意的转化时，需要解题者 对相关的数学概念准确理解，并能对其之间的关系有深入

6、的思考。 做法：(1) 要证明f(x)的图像总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只 能在(0 , +x)或(g, 0)内取值，即确定并分析函数定义域的问题。(2) 直译：可以在f (x)上任取两点A(xi，yi)，B(x2，肩，证明 k= y220即可.意译：“函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都X2 Xi大于0”即“函数f(x)的导数大于零”也即“函数f(x)是单调递增 函数”证明(1)由 ax 10,得 axl,当a1时，x0,即函数f (x)的定义域为(0,+g),此时函数f(x)的图像总在y轴的右侧；当0a1时，x0,即函数f (x)的定义域为(一汽 0),此时函数f(x)的图像总在

7、y轴的左侧.函数f(x)的图像总在y轴的一侧.(2)设A(xi ,yi)、B(X2, y是函数f (x)图像上的任意两点，且Xi1 时，由(1)知 0xiX2,A 1axiax2,axi 1二 0axi 1ax2 1. 01,ax2 1- yi y20.又 Xi X20.当 0a1 时，由(1)知 XiX2ax21,axi 1 axi iax2 10. 1,ax2 1 yi y20.又 Xi X20.二函数f (x)图像上任意两点连线的斜率都大于 0.(2)另证：“函数f(x)图像上任意两点连线的斜率都大于 0”即“函数是增函数”函数f (x) = log a( ax 1) ( a0且az 1

8、)可以理解为函数y log a t,(a 0,a 1)和 t ax 1, (a 0,a 1)镶嵌复合而成。当 0 a 1 时，函数 y loga t, (a 0, a 1)和 t ax 1,(a 0,a1)均为减函数，所以函数f (x) = log a(ax 1) ( a0且az 1)为增函 数；当 a 1 时，函数 y logat,(a 0, a 1)和 t ax 1,(a 0, a 1)均为增函数，所以函数f(x) = log a(ax1) ( a0且az 1)为增函数； 显然，此种证法言简意赅，过程简单。但是往往简单的、巧妙地做法，是需要好的想法指导的题目3:化简：4n 14n+ 1si

9、n 4 na +cos 4 na ( n Z).做法1： (1)角中含有变量n因而需对n的奇偶分类讨论.(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需 要将角中的某一部分作为一个整体来看.解 当n为偶数时，设n=2k ( k Z)，贝S原式=sin8k 18k + 1- n a + cos - n a44=sin 2k n +n4 a +cos2kn + 7 an=sin 匸n+ cos7n=sin 7+n+ cos n=sin 7+n+sin 7+a = 0.5 分当n为奇数时，设n=2k+1 ( k Z)，则6分原式=sin8k+ 38k + 5+ COSn a=sin2k n

10、+3 n5 nv a +cos2k n+ V a=sin5 n+ cos 2 a=sin冗4 + a +COs n+ 4=sin4 +acos4 a=sinnnn才+acos2 ，+ a4=sinn4 +asinn4 +a = 0.104n14n+ 1冗冗冗分Sin厂na+cosr兀a = 0.本题的化简过程,突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想.做法2:角中虽含有变量n,可能要对n分类讨论，但是什么时候分类，按照什么标准分类都不清楚，因此，面对本题，应该先行化简,待水到渠成，不分类就说不清楚时，再分类，而此时往往分类的标准 也就清楚了卄4n 14n+1(n Z)解：sin na + cos = nasi nn() cosn (：)再往下化简，使用诱导公式，则需要讨论n的奇偶性。若n为奇数，原式sinq) cosy)又因为(匚)(匚)，所以血(；)cos(:)。44244所以无论n为奇数还是偶数，原式的值都为0.做法3:无论是法1还是法2,最后都需要分析两角的关系，而若本题