圆锥曲线中的热点问题.

1、瞄准高考第3 3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】1本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景， 考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题， 试题难度较大 2 求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一 般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中.主干知识梳理1的直线Ixo =X1 + X23mm4，y0=X0+ m= 4；因为AB是等腰 PAB的底边,所以PE丄AB.所以 PE的斜率k =m2m(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).3.弦的中点问题

2、有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.热点分类突破考点一圆锥曲线的弦长及中点问题22広【例1 已知椭圆G: X2+电=l(ab0)的离心率为；，右焦点(2 2, 0)，斜率为 ab3与椭圆G交于A, B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(- 3,2).(1) 求椭圆G的方程；(2) 求厶PAB的面积.解(1)由已知得c= 2羽，c=逅.Y a 3解得 a= 2 3，又 b2= a2- c2= 4.2 2所以椭圆G的方程为12 +卷=1.(2)设直线I的方程为y= x+ m.y= x+ m,2 2x y_ + J= 1 124得 4x2 + 6mx+ 3m212

3、 = 0.设 A, B 的坐标分别为(X1, y1), (x2, y2)(X10.8- 2bk由根与系数的关系得，X1 + X2=k2 3 4 ,b2X1X2= k2,因为x轴是/ PBQ的角平分线，所以 -y = - ,X1 + 1X2 + 1即 yi(x2+ 1) + y2(xi+ 1) = 0,(kx1 + b)(x2+ 1) + (kx2 + b)(x1 + 1) = 0,2kx1X2+ (b+ k)(x1 + X2)+ 2b= 0将，代入得 2kb2 + (k+ b)(8 2bk) + 2k2b= 0,二 k= b，此时 A0,直线l的方程为y= k(x 1),即直线l过定点(1,0

4、).考点三圆锥曲线中的最值范围问题2 2例 3 (2013 浙江)如图，点 P(0, 1)是椭圆 C1： x2+ 占=1(ab0) a b的一个顶点，C1的长轴是圆C2： x2+ /= 4的直径.丨1, 12是过点 P且互相垂直的两条直线，其中11交圆C2于A, B两点，12交椭圆C1于另一点D.(1) 求椭圆C1的方程；(2) 求厶ABD面积取最大值时直线11的方程.b = 1,解(1)由题意得a = 2.2所以椭圆C1的方程为x + y2= 1.4(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), D(xo, yo).由题意知直线11的斜率存在，不妨设其为k,则直线11的方程为y= kx

5、 1.又圆 C2： x2 + y2= 4,故点0到直线11的距离所以|AB| = 242；4k2 + 3d = 2 * 1.故 Xo= 8k4 + k2所以|PD| =8k2+ 14+ k2变式训练3 3又I?丄h,故直线12的方程为x+ ky+ k= 0.x+ ky+ k= 0, x2 + 4y2= 4.消去 y,整理得(4 + k2)x2 + 8kx= 0,1设厶ABD的面积为S,贝U S= 1AB| |PD|8 4k2+ 34+ k216 1313,当且仅当k= 2时取等号.所以所求直线I1的方程为y= 2x 1.抹兀打&求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已知条件列出一个关于参

6、数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式； 由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域.已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2的顶点均为坐标原点0,从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示:x1V64y3o61(1)求C1, C2的标准方程;所以S=F在以故(.3,发现动点P的运动规律，即P点满足n_过点A(m,O)作倾斜角为6的直线I交椭圆Ci于C，D两点，且椭圆Ci的左焦点线段CD为直径的圆的外部，求 m的取值范围.解 先判断出( 6, 0)在椭圆上，进而断定点(1， 3)和(4, 6)在抛物线上，2 21)在椭圆上，所以椭圆C

7、i的方程为X +与=1,抛物线C2的方程为y2= 9x.设 C(xi, yi), D(X2, y2),直线 I 的方程为 y =-(x m),ry =TX m由 22d + 乞=16十2，消去 y 整理得 2x2 2mx+ m2 6= 0,由 40 得= 4m 8(m 6)0 ,即2 3m0,又 F( 2,0)，即 FC FD =区十 2, yj(X2 十2, y2)=X1X2 + 2(x1 + X2)十 y1y2 + 40.整理得 m(m + 3)0,即m0.由可得m的取值范围是(一2 ,3, 3) U (0,2 3).1.求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变

8、化中,的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变.(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形.2 .定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先 通过特定位置猜测结论后进行一般性证明对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值 能达到事半功倍的效果.3.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2) 代数

9、法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围; 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围名师押题我来做设直线I: y= k(x+ 1)与椭圆x2 + 3y2 = a2(a0)相交于A、B两个不同的点，与 x轴相交于 点C,记0为坐标原点.证明：a1 + 3k2；整理得右+

10、3 a23,即a23k21 + 3k2解 设 A(x1, y1), B(X2, y2)由，得 y1 + y2= 2k 2,1+ 3k因为 AC= 2CB,得 y1 = 2y2,2k代入上式，得 y2=.1 + 3k13于是， OAB 的面积 S= loci y2|= 2ly2|=3|k| 三 3|k| 卫1 + 3k22、3|k|2 .其中，上式取等号的条件是3k2= 1,即k= 3.出 2k ” 卫由 y2=，可得 y2=.1+ 3k23将 k=，y2= 3及 k=宁，y2 =于这两组值分别代入 ，均可解出a2= 5.(2)若AC= 2CB,求 OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.(1)证明

11、 依题意，直线I显然不平行于坐标轴，1故 y= k(x+ 1)可化为 x= y- 1.将x=务-1代入x2 + 3y2= a2,消去x,得 3 + k2 -罕 + 1 = 0，由直线I与椭圆相交于两个不同的点，得=所以， OAB的面积取得最大值的椭圆方程是X2+ 3y2= 5.押题精练（推荐时间：70分钟）、选择题2 2已知方程白+3k=曲R R）表示焦点在X轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A . k3B. 1k1D. ko解析若椭圆焦点在x轴上，则0解得1k3)16 )D.Z y = 1(X4)169 v 7C如图 |AD |= |AE|= 8,|BF|= |BE|= 2, |CD|= |C

12、F|,所以 |CA| |CB|= 8 2= 6.cA AO OE EX-X-R R X X=3=3B . 0,2.k+ 13 k根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为 6的双曲线2 2的右支，方程为X9 16 = 1(X3).设M（X0, yo）为抛物线C: x2= 8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y。的取值范围是A . (0,2)2 22Y032Y03+2XO02XO0 4 421，即 卩 yo= 33xo4，F1、F2,且两条曲线在若|PF1|= 10,椭圆与双曲A . (0,+ )B .(3，+)C . (5，+m m)D.

13、(9，+)解析设椭圆与双曲线的半焦距为c,答案 C解析 依题意得：F(0,2)，准线万程为y= 2,又以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |= |y+ 2|,|FM |4，即卩 |y+ 2|4,又 y0, ,y02.224.若点O和点F分别为椭圆x + y = 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP43的最大值为()A . 2 B. 3 C. 6 D. 8答案 C解析设P(x, y)，则又因为F( 1,0),所以 OP FP = X。(xo+ 1) + y0 = 4x0 + xo+ 31 2=4(X0 + 2) + 2，又 X 2,2，即(DP FP 2

14、,6,所以(OP FP)max= 6.5.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为第一象限的交点为 P, PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,线的离心率分别为 e1, e2,贝U e1良的取值范围是答案 BPF1= r 1, PF2=2.由题意知1= 10,2= 2c, e2.2a双225 c 2c10,525-2c5? 1c23. -2 1 c 二、填空题2 26._直线y kx+ 1与椭圆5 + y 1恒有公共点，贝V m的取值范围是 _5 rm答案 m1且mH 52 2解析方程5+初一1表示椭圆， m0 且 mH 5.直线y- kx+ 1恒过(0,1)点，要使直线与椭

15、圆总有公共点，应有：02 125+ 匸1, m 1， m的取值范围是m1且mH 5.27. 设FF2为椭圆x + y2- 1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P, Q两点，4当四边形PF1QF2面积最大时，PF1 PF2的值等于 _.答案 2解析 易知当P, Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大.此时，F1( 3, 0), F2(-3, 0)，不妨设 P(0,1),薛1-( 3, 1), PF2-(.3, 1),PF 1 PF2- 2.8. 已知抛物线方程为 y2-4x,直线I的方程为x y+ 4- 0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1, P到直线l的距离为d2，

16、则d1+ d2的最小值为 _.即|PF|+ d2的最小值为|1 0 + 4|5*2答案解析 过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为 A，交y轴于B,由抛物线方程为 y2 = 4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x=- 1,则由抛物线的定义可得di + d2= |PA|AB|+ d2= |PF| 1 + d2,|PF + d2大于或等于焦点 F点P到直线I,所以d1 + d2的最小值为 1.9.(2013安徽)已知直线y = a交抛物线y= x2于A, B两点若该抛物线上存在点C,使得/ ACB为直角，则a的取值范围为 _.答案 1 ,+ )解析 以AB为直径的圆的方程为 x2 + (y a)2=

17、 a,由 J： *得 y2+ (1 2a)y+ a2 a“x2 + (y a 2 = aa0即(y a)y (a 1) = 0，由已知解得a 1.10,三、解答题2 210. 已知直线x 2y + 2 = 0经过椭圆C:字+活=1(a b0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C 的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 AS, BS与直线l: x=晋分 别交于M , N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求线段MN的长度的最小值.解(1)如图，由题意得椭圆 C的左顶点为A( 2,0)，上顶点为yD(0,1)，即 a= 2, b = 1.AOX X2N N故椭圆C的方程为:+ y2=1.又B(

18、2,0)，则直线BS的方程为1y 一 4k(x 2)，联立直线10BS与I的方程解得“(亍,13k). |MN| =16k1+ 一33k当且仅当16k_ 13 _ 3k，118即k= 4时等号成立，故当k= 4时，线段MN的长度的最小值为 311.在平面直角坐标系中，点P(x, y)为动点，已知点 A( ,2, 0), B( 2, 0)，直线PA与PB的斜率之积为一2.(1)求动点P的轨迹E的方程;过点F(1,0)的直线I交曲线E于M , N两点，设点N关于x轴的对称点为 Q(M、Q不 重合)，求证：直线 MQ过x轴上一定点.(1)解由题知：y y .一=1.X+Y2 x v 222x o化简

19、得+ y = 1(yz 0).证明 方法一 设 M(x1, y1), N(X2, y2), Q(x2, y2),2I : x= my + 1,代入 x + y2= 1(yM 0)整理得22(m + 2)y + 2my 1 = 0.2my1 + y2= -2m + 2MQ的方程为y1 + y2y1=(xX1),X1 X2设S(xi, yi),由根与系数的关系得2 8k2由此得 X1 _2，1 + 4k4ky1=2,1 + 4k=,亠1 + 4k 1 + 4k1016k设直线AS的方程为y= k(x + 2)(k0),解得M(-,二厂)，且将直线方程代入椭圆C的方33程,得(1 + 4k2)x2+

20、 16k2x+ 16k2 4 = 0.216k 4(2) x1 =2.1 + 4k16k 13 3k= 3.俚 + 1 23十3k令 y= 0,得 X= Xi +yi X2 xiyi + y2沁与i = 2yi + y2Xi + X2=,i + 2k2小2k 2XiX2 =i + 2kl与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长myi y2 yi=my i + i +yi + y2直线 MQ过定点(2,0).方法二 设 M(xi, yi), N(X2, y2), Q(X2, y2),2 x 2l: y= k(x i)，代入-+ y = i(y* 0)整理得2299(i + 2k )x 4k x+

21、 2k 2= 0,yi + y2MQ 的方程为 y yi=(x xi),Xi X2yi(X2 xi令 y = 0，得 x= xi +yi + y22XiX2 Xi+ X2=2.Xi + X2 2直线 MQ过定点(2,0).i2. (20i3课标全国I )已知圆M : (x+ i)2+ /= i,圆N: (x i)2+ /= 9,动圆P与圆M外 切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.(1) 求C的方程；(2) 1是与圆P,圆M都相切的一条直线,时，求|AB|.解设圆P的半径为r,=xi +kxi i X2 xik xi + X2 2则|PM|= i + r, |PN|= 3 r, |PM|+ |PN|= 4|MN|,p1+ k2 P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外, 且 2a= 4,2c= 2, a= 2, c = 1,2 2 2b = a c = 3.2 2 P的轨迹曲线C的方程为牛+ y = 1(x = 2).43由(1)知：2r = (|PM| |PN|)+ 2 |MN|+ 2= 4,圆P的最大半径为r = 2.此时P的坐标为(2,0).2 2圆P的方程为(x 2) + y = 4.