2025年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合人={1官}避={2,3,4},且AUB={1,2,3,4},则实数a取值的集合是（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{3}

2.（5分）已知4ABC的三个角A,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=2b,B=2A,则cosB=（）

A.—B,2

C.D.-

“16R

3.（5分）二项式（2标一白：8的展开式中的常数项为（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

4.（5分）如图，A,B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的勺士，则B杯容积与A杯容积之比

4

最接近的是（）

AB

A.1:3B.2:5C.3:5D.3:4

5.（5分）已知数歹U{an},贝！］“an-2+an+2=2an（n23,nGN*）”是“数列{an}是等差数列”的（）

A.充分不必烈条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（5分）若0<a<b<l,c>l,则（）

A.cb<caB.logca>logcb

C.sin->SinTD.aC<bO

ah

7.（5分）如图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间（0,1）中的实数m对应数轴上

的点M,如图1;将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针），如图2;再

将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0,1）,如图3.图3中直线AM

与X轴交于点N(n,O),则m的象就是n,记作f(m)=n.则下列说法中正确命题的是()

A⑻

AMBn

c.--------1-----------(-.■

0m|

图1图2图3

A.6)=1

B.f(x)是奇函数

C.f(x)在定义域上单调递增

D.f(x)的图象关于y轴对称

8.(5分)已知点知-c,0)(c>0)是双曲线公三一1的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直

a2b2

线与圆x2+y2=c2交于点P,且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率是()

V5-1

D.<5

、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知复数zl,z2满足：zl为纯虚数，z2-l|=2|z2-4|,则下列结论正确的是()

A.z2=-|zil2

B.3<|z21<7

C.|zl-z2l的最小值为3

D.jzl-z2+31的最小值为3

(多选)10.(6分)已知函数f(x)=|l-2sin2x|,下列结论正确的是()

A.f(x)的最小正周期为n

B.函数y=f(x)的图象关于直线融=-今对称

C.函数f(x)在喘，冷上单调递增

D.方程f(x尸1在［-口，上有7个不同的实根

(多选)11.(6分)勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始

终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个

球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体ABCD作勒洛四面体，如图4,则下列说法正确

的是（）

A.平面ABC截勒洛四面体所得截面的面积为8n-8V3

B.记勒洛四面体上以C,D为球心的两球球面交线为弧AB,则其长度为丁（47r

C.该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D.该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为4-V6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知向£=2，贝打谒-1吐2=

13.（5分）已知直线l:ax+by-3=0经过点（a,b-2）,则原点到点P（a,b）的距离可以

是.（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）

14.（5分）已知a,bER,若函数f（x）=|asinx+bcosx-l|+lbsinx-acosxl的最大值为5,贝如2+匕=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA_L平面ABCD,AC与BD相交于点E

点F^EPC上,EF±PC,AC=4^2,BD=4,EF=2.

（1）证明:DF_L平面PBC;

（2）若PA与平面BDF所成的角为a,平面PAD与平面PBC的夹角为B,求a+6.

16.（15分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过

程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性

积分数据，整理如下表：

科普测试成绩x科普过程性积分人数

90WxW100410

80^x<903a

70<x<802b

60<x<70123

0Wx〈6002

(I)当a=35时，

(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分

之和，估计X的数学期望E(X);

(II)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为Yi,上述100

名学生科普测试成绩的平均值记为Y2.若根据表中信息能推断YKY2恒成立，直接写出a的最小值.

17.(15分)已知函数=整

(I)求f(x)的单调区间；

(11)若函数8(*)=厅(*)+6-22属£(0,+一)存在最大值，求a的取值范围。

18.(17分)已知圆Ai：(x+l)2+y2=16,直线li过点A2(l,0)且与圆Al交于点B,C,BC中点为

D,过A2c中点E且平行于AQ的直线交AiC于点P,记P的轨迹为1

(1)求F的方程；

(2)坐标原点O关于A1,A2的对称点分别为B1,B2,点A1,A2关于直线kx的对称点分别为Cl,

C2,过Al的直线12与「交于点M,N,直线BiM,B2N相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确

的结论并给予证明.

①△QB1C1的面积是定值；②△QSBZ的面积是定值：③△QGC2的面积是定值.

19.(17分)如果无穷数列｛an｝满足“对任意正整数i,j(irj),都存在正整数k,使得ak=ai-aj”，则称

数列｛an｝具有“性质P”.

(1)若等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且公比q>l,Sz=12,S4=120,求证：数列｛an｝具有“性质P”；

(2)若等差数列｛bn｝的首项b=l,公差dez,求证：数列｛bn｝具有“性质P”，当且仅当deN;

(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列｛cn｝具有“性质P”，且T3,5i2,4i5,10"四个数中恰有两

个出现在数列｛cn｝中，求cl的所有可能取值之和.

2025年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

参考答案与趣解析

-、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.（5分）已知集合人={13},：6={2,3,4},且AUB={1,2,3,4},则实数a取值的集合是（)

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4)C.{2}D.{3}

【解答】解：\•集合A={l,a},B={2,3,4},且AUB={1,2,3,4},

实数a取值的集合为{2,3,4}.

B.

2.（5分）已知4ABC的三个角A,B,C的对边分别是a,b,c,若3a=2b,B=2A,贝!］cosB=()

A.Y7

B.—C.D5

16

【解答】解：因为3a=2b,B=2A,

由正弦定理可得：3sinA=2sinB=2sin2A=4sinAcosA,

因为Ae(0,冗)，所以sinA>0,

所以3=4cosA,即JCOSA=7

4

所以cosB=cos2A=2COS2A-1=2X(1)2-1=1

故选：D.

3.(5分)二项式(24一白：8的展开式中的常数项为()

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

［解答］解：因为胃+1=4(268T.T)r=(-l)rX2®-rCJx4-r

令4-r=0,得r=4,

所以二项式展开式中的常数项为Ts=（V）&X24c8=1120.

故选：C.

3

4.（5分）如图，A,B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的勺一，则B杯容积与A杯容积之比

4

最接近的是（）

A.1:3B.2:5C.3:5D.3:4

【解答】解：因为A,B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的勺;

4

3

所以底面半径比也是

4

所以两个杯子的底面积之比为Sp§4=弓)％

所以B杯容积与A杯容积之比红竺=(―)2x—=—*0.4=2：5)

SA4464

B.

5.(5分)已知数列｛an｝,则“an-2+an+2=2an(n23,ndN*)”是“数列｛an｝是等差数列”的()

A.充分不必烈条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：判断充分性：因为an-2+an+2=2an,所以an+2-an=an-an-2,

令n=2k(kEN*),则a2k+2-a2k=a2k-a2k-2=...=a4-a2,所以数列｛an｝的偶数项成等差数列,

令n=2k-l(kGN*),则a2k+l-a2k-l=a2k-l-a2k-3=..=a3-a,,所以数列｛an｝的奇数项成等差数列，

但数列｛an｝不一定是等差数列,如：1,1,2,2,3,3;

所以“an-2+an+2=2an(n23,n6N*)”不是“数列｛an｝为等差数列”的充分条件；

再判断必要性：若数列｛an｝是等差数列，则12册=册_1+册+1=维亭出+咄抖^=册+竽+

Qyi+2

所以2an=an-2+an+2,所以“an-2+an+2=2an(n23,n£N*)”是“数列｛an｝为等差数列”的必要条

件；

综上，“an-2+an+2=2an(n^3,ne»”是“数列｛an｝为等差数列”的必要不充分条件.

雌：B.

6.（5分）若0va〈bvl,c>l,则）

A.cb<caB.logca>logcb

cC

C.Sin->sin^D.a<bC

【解答】解：对于A「・・c>l,・・・指数函数产c在R上单调递增,

又a<b,c<cb,故A错误；

对于对数函数y=logex在(0,+一)上单调递增,

又,.,(KaVbVl,，logcaVlogcb,故B错误；

对于C「・・()vavbvl,c>l,

CC

:>—>1,

ab

•.•正弦函数尸sinx在(1,+0)上不具有单调性，.•.无法判断小濡与川清的大小，故C错误；

ah

对于幕函数尸x"在(0,+0)上单调递增，

又•.•0<a〈b〈l,...aybC,故D正确.

W：D.

7.(5分)如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上

的点M,如图1;将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合(从A到B是逆时针)，如图2;再

将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1),如图3.图3中直线AM

与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n,记作f(m)=n.则下列说法中正确命题的是()

A./&)=1

B.f(x)是奇函数

C.f(x)在定义域上单调递增

D.f(x)的图象关于y轴对称

【解答】解：由题意知，f(3=-1,故A错；

J4

又•..函数f(x)的定义域为(0,1),不关于原点对称,

，函数f(x)是非奇非偶函数，故B、D错.

当x从0-1变化时，点N从左边向右边移动，其对应的坐标值渐渐增大，

故f(x)在定义域上单调递增，所以C正确。

腌：C

8.(5分)已知点F(-c,0)(c>0)是双曲线久至一丝=1的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直

a2b2

线与圆W+y=(?交于点P,且点P在抛物线y2=4cx上，贝ij该双曲线的离心率是()

3+V5IJ5+IV5-1,

AA--B.J竽C.-DW5

【解答】解：如图，设抛物线产kx的准线为1,作PQL1于Q

设双曲线的右焦点为F,P(x,y).

由题意可知FF为圆X斗产C2的直径，

--.PF'±PF,直lan/PRF'=-\FF'\=2c,

Cl

fy2=4cx①

满足."+y2=c2②，

Vr+ca

将①代入②得X2+4CX-C2=0,

贝!Jx=-2c±V5c,

即x=(0-2)c,(负值舍去)

2

代入③，即v=(西二1)加再将丫代入①得，L._:黑-e-1

7aa2(V5-1)2

即.=.+1

匕7

.175+1

..e=J丁

SfcfeB.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知复数zl,z2满足：zl为纯虚数，z|2-l|=2|z2-4,则下列结论正确的是()

A.z2=-|zil2

B.3<|z21<7

C.Izl-z2|的最小值为3

D.|zl-z2+3i的最小值为3

【解答】解：：zl为纯虚数，.•.可设zl=bi(bWO),.•.zi=-b2=Tz/2,选项A正确；

对B:设z2=m+ni(m,neR),|z2-l|=2|z2-4|,

则(m-iy+n2=4(m-4)2+4n2,即(m-5)2+n2=4,

则z2所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，以2为半径的圆，

.,.3<|z21<7,.,.选项B正确；

对C:：zl为纯虚数，...zl对应点在y轴上(除去原点)，

z2所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，以2为半径的圆，

•,.|zl-z2|的取值范围为(3,+0),|zl-z21无最小值，选项C错误；

对D:Y|zl-z2+3il=|(b+3)i-z2|,

表示点(0,b+3)到以(5,0)为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，

V(b+3)i(b^0)为纯虚数或0,(0,b+3)在y轴上(除去点(0,3)),

.•.当b=-3时|zl-z2+3i［取得最小值3,.•.选项D正确.

故选：ABD.

(多选)10.(6分)已知函数f(x)=|l-2sin2x］,下列结论正确的是()

A.f(x)的最小正周期为Ji

B.函数y=f(x)的图象关于直缘=:福尔

C.函数f(x)在尊卷上单调递增

D.方程f(x)=l在［-〜m上有7个不同的实根

1—2sin2x,sin2x<i

【解答】解：由题意，函数/<(%)=|1-2sin2x|=,彳

2sin2x-1/sin2x>

作出f(x)在［-兀，口上的图象，

将y=2sin2x的图象向下平移1个单位可得到y=2sin2xT的图象，

将所得图象在X轴下方的部分沿X轴翻折,

如图所示：

由图可知f(x)的最小正周期为",故A正确；

曲线y=f(x)关于直线无=—左对称，故B正确；

函数f(x)在4，器：上单调递减，则C错误；

方程f(x)=l在［-n,n］上有7个不同的实根，所以D正确.

故选：ABD.

(多选)11.(6分)勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始

终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个

球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体ABCD作勒洛四面体，如图4,则下列说法正确

的是()

A.平面ABC截勒洛四面体所得截面的面积为8n-8V3

47r

B.记勒洛四面体上以C,D为球心的两球球面交线为弧AB,则其长度为寸刀

C.该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D.该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为4-V6

【解答】解：对于A,平面ABC截勒洛四面体所得截面如图甲,

它的面积为三个半径为4,圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为4的正三角形的面积,

即3—2x坐x4?=8“一8>/5,故A正确;

对于B,如图乙，取CD中点G,

，AB=4,记该勒洛四面体上以C,D为球心的两球交线为弧AB,

则该弧是以CD的中点G为圆心，以2J3为半径的圆弧，

设圆心角为/AOB=a,则=(2何?+及何；4?=1q,2y[3*in,

47r

所以弧长不等于:W，故B错误；

对于C,如图丙，设弧AB的中点是M,线段AB的中点是N,设弧CD的中点是H,线段CD的中点

是G,

则根据图形的对称性，四点M,N,G,H共线且过正四面体ABCD的中心O,则MG=GA=NH=2包

NG=>JAG2-AN2=J(2>/3)2-22=2V2,MN=GH=2A/3-2^2,MH=4^3-2^2,

即勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于4,最大值为4V3-2V2,故C错误;

对于D,勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图乙，其中点E为该球与勒洛四面

体的一个切点，

由对称性可知O为该球的球心，内半径为OE,连接BE,易知BOE三点共线，

设正四面体ABCD的外接球半径为r,如图丁，

则由题意得：正四面体ABC.D的高，222

B0l=-5AOI=A/AB-BO=J4-(43=436

则(华F+(第、洛解得：r=V6,所以BE=4,0B=r=J6,内半径0E=4-V6,D

正确.

AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)已知Ing=2,l/!!jlna2-Inb2=4

【解答】解:Ina1-1^=21/10-2lnb=2Una-Inb)=2/n^=4.

故答案为:4.

13.(5分)已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是2(答案

不唯一).(答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以)

【解答】解：由于直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),

即a2+b(b-2)-3=0,

BPa2+(b-I)2=4,

故P(a,b)在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上，

由于CP+(0-1)2<4,

即原点在该圆内，

故|0P|e[l,3],

则原点到点P(a,b)的距离可以是2.

故答案为：2(答案不唯一).

14.(5分)已知a,bER,若函数f(x)=|asinx+bcosx-l|+|bsinx-acosx|的最大值为5,贝Ija2+b2=8

【解答】解：设asinx+bcosK^+tAinlx+cp)淇中匕叫H=^^”7",,.一.h...

JQT*[d+b-

JJl!jbsinx-acosx=^a2+b2(sinxsin(p-cosxcos(p)=-^a2+b2cos(x+(p),

f(x)=|Na2+b2sin(x+(p)-l|+|Va2+b2cos(x+(p)|,

当sin(x+(p)取负值时，f(x)取得最大值，

f(x)达到最大值时，f(x)=-Va2+b2sin(x+4))+1+Va2+b2|cos(x+4))1

=—Va2+b2[sin{x4-<p)±cos(x+(p)]+1=—y/a2+b2•迎(辛sin(x+伊)±与cos«+(p))+1

=-Va2+•V2s/n(x+尹±今)+1,

,当1sin(x+<p±j)=TH寸,f(x)max=V2(a2+b2)+l=5,MWa2+tf=8.解题过程中同时取“+”

或“-”)

sin(x+(p)是负值，x+(p的终边在x轴下方，即最大值能取到.

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PAL平面ABCD,AC与BD相交于点E

点F在PC上,EF±PC,AC=4^2,BD=4,EF=2.

(1)证明：DF±平面PBC;

(2)若PA与平面BDF所成的角为a,平面PAD与平面PBC的夹角为B,求a+6.

【解答】解：（1）证明：•.,底面ABCD是菱形，；.AC，BD,

:PA_L平面ABCD,且BDC平面ABCD,

.'.PA±BD.

又：ACNPA=A,AC,PAc平面PAC,

，BD_L平面PAC,

VPCc平面PAC,

.'.BD±PC,又：EF_LPC,且EF,BDc平面BDF,EFNBD=E,

；.PC,平面BDF,：DFc平面BDF,

/.PCJ.DF,

:EF=ED=EB=2,

；./DFB=90。,BPDF±FB,又；PC,FBC平面PBC,且PCNFB=F,

.'.DF±平面PBC

(2)以E为原点，以EA,EB所在直线分别为x轴、y轴，过点E且平行PA的直线为z轴建立空间直

角坐标系，如图所示，

则八(2也,0,0)。(-2也,0,0),口(0,-2,0),

:EF=2,AC=4、2,BD=4,

.,.EC=2A/2,又VEF±PC,

在AFEC中由勾股定理得

即FC=2,乙FEC=1

F(A2,0、2).；.DF=(-^2,2^2),AD=(-2^2,-2,0),

："EFIPC,EF=2,EC=2^2,

.NACP=45。

.：PA=AC=4e,•：/APC=45。,

:PC_L平面BDF,

；.PA与平面BDF所成的角为a=90°-ZAPC=45°,

:DF_L平面PBC,

；.DF是平面PBC的一个法向量，

\'PA±平面ABCD,PAc平面PAD,

，平面PAD_L平面ABCD,

设iRxyO),只需11，AD,则nl平面PAD,

则n・AD=(x,y,0)(-2V2,-2,0)=-2V2x-2y=0,

茄J_3夜_百

令n=(T,J2,0),则cos0

|n||DF|仔2&2

B=30°,

/.a+0=45°+30°=75°

16.(15分)某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过

程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性

积分数据，整理如下表：

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90«00410

80^x003a

70Wx<802b

60<x<70123

0Wx〈6002

(I)当a=35时，

(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分

之和，估计X的数学期望E(X);

(II)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为Yi,上述100

名学生科普测试成绩的平均值记为Yz.若根据表中信息能推断YEY2恒成立，直接写出a的最小值.

【解答】解：(I)当a=35时，

(i)由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45,

45

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为一=0.45,

1AA

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45;

(ii)根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3

分的频率沏上35一=47

9

所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，

这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为:

Q

同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的

概率估计为

由表可知X的所有可能取值为6,7,8,

P(X=6)=弓7x7弓=舒P(X=7)=2X弓7x12=含P(X=8)=32X32=而4

所以X的数学期望E(X)=6端+7乂霁+8><言=等

(11)7.

17.(15分)已知函数=xea4

(I)求f(x)的单调区间；

(11)若函数8(*)=及《)+62a1,xE(0,+一)存在最大值，求a的取值范围.

ax

【解答】解：(I)因为/1(x)=x-e-i

所以/(x)=

令f(x)=0,得x=2,

所以在(-0,2)上f(x)〉0,f(x)单调递增，

在⑵+0)±f(x)<0,f(x)单调递减，

所以函数f(x)的单调递增区间为(-0,2),单调递减区间为(2,+0).

(II)令h(x)=f(x)+e?a,则hf(x)=f(x),

由(I)得，函数h(x)得单调递增区间为(-0,2),单调递减区间为(2,+0),

所以h(x)在x=2处取得最大值h(2)=2ea」+e，a,

所以当X>2时，h(x)=jr»ea-2x+e2a>e-a=h(C),

当0<x<2时,h(x)>h(0),

即当XG(0,+)时，he(h(0),h(2)),

所以g(x)=Ih(x)|在(0,+0)上存在最大值的充分必要条件是12-ea-i+e^alNle"2al

f-------------------------=e0'+e2a20,

令m(x尸ex」+e—?x,贝！Jmf(x)=ex-1+e-2,

因为m'(x尸xeT+e-2>0,

所以m(x)是增函数，

因为m(-1)=e?-e-2=0,

所以m(a)=ea」+e-2aeO的充要条件是a2-l,

所以a的取值范围为［T,+一］.

18.(17分)已知圆&:(x+，+y2=16,直线li过点A2(l,0)且与圆Al交于点B,C,BC中点为

D,过A2c中点E且平行于AQ的直线交AC于点P,记P的轨迹为r

(1)求F的方程；

(2)坐标原点0关于A1,A2的对称点分别为Bl,B2,点A1,A2关于直线y=x的对称点分别为Cl,

C2,过Al的直线12与F交于点M,N,直线BlM,BzN相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确

的结论并给予证明.

①△QBC1的面积是定值；②△QBB2的面积是定值：③△QCiC2的面积是定值.

【解答】解：⑴由题意得，Al(-l,0),A2(l,0).

因为D为BC中点，

所以AQLBC,即AiD±A2C,

XPE//A1D,

所以PELAzC,

又E为A2c的中点，

所以|PA2Hpe

所以|PA1国PA21=|PA,+1PC=|A1C|=4>A,A21,

所以点P的轨迹F是以Al,A2为焦点的椭圆(左、右顶点除外).

设—:I+£=1(**±孙其中a>b>0,a2-b2=c2

贝(j2a=4,a=2,c=l,b=Va2-c2=V3.

故「:卷+《=l(x¥±2)

(2)结论③正确.下证：△QC£2的面积是定值.

由题意得,BI(-2,0),B2(2,0),CI(0,-1),C2(0,1),且直线L的斜率不为0,

可设直线12：x=my_l,M(xl,yi),N(x2,y2),且xi#2,x2丹2.

*2y2

由I彳+3=1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,

x=my-1

所以为+旷2=忌，为、2=品

所以2my1y2=・3(y1+y2).

直线B1M的方程为:、=焉(、+2)

直线BzN的方程为：y=-2Z-(x-2),

y2)

曲

，=会(4-2)

3