数学物理方法-15 方程的分类与化简

1、两变量二阶线性偏微分方程的分类和化简fcuububuauauayxyyxyxx212212112考察一般二阶线性方程其中，系数为(x, y)的已知可微函数；aij不同时为0引入新自变量(, ),(),(yxyx偏导数的链导法则FCuuBuBuAuAuA212212112关于新自变量的二阶线性方程系数表达式见课本p360. 22212211222212111222212211112)(2yyxxyyxyyxxxyyxxaaaAaaaAaaaAyxyyxyxxyxyyxyxxbbaaaBbbaaaB21221211221221211122),(),(),(),(yxfFyxcC系数表达式如下 FC

2、uuBuBuAuAuA212212112关于新自变量的二阶线性方程方程的分类和化简fcuububuauauayxyyxyxx212212112原方程原方程新方程新方程FCuuBuBuAuAuA212212112存在关系式)(221121222211212aaaJAAA其中J为所取变换的Jacobi行列式yxyxJ若变换是可逆的，则J0. 记2211212aaa2211212AAA为方程的判别式。变换前后，判别式符号不变。变换前后，判别式符号不变。二次曲线的分类fcuububuauauayxyyxyxx212212112考察常系数二阶线性方程常系数二阶线性方程与之对应的二次曲线方程二次曲线方程0

3、2212212211cybxbyyaxyaxa此曲线方程的类型由 唯一确定，即2211212aaa当0时，此曲线是双曲线；当=0时，此曲线是抛物线；当0时，两条特征线：当=0时，一条特征线：当0时，两条特征线时，两条特征线tynxmylx,特征方程0)(5)(422dxdxdydy特征线是两族直线21,4cxycxy0时，该方程属于双曲型时，该方程属于双曲型取线性变换xyxy,4方程变为9231uu是否可以继续化简？是否可以继续化简？双曲型常系数方程的化简fcuububuauauayxyyxyxx212212112FCuuBuBuAuAuA212212112，因变量变换21 veuvvvv21

4、12),(),(yxyx021令vv1221,特征方程的积分曲线当0时，两条特征线：tynxmylx,212121,BB双曲型常系数方程的化简例6：化简方程245yxyyxyxxuuuuu取线性变换xyxy,4方程变为9231uu取变换3/veu 方程变为3/92ev抛物型常系数方程的化简fcuububuauauayxyyxyxx212212112FCuuBuBuAuAuA212212112?),(yx特征方程的积分曲线条件：当条件：当=0时，只有一条特征线时，只有一条特征线mylx 22212211222212111222212211112)(2yyxxyyxyyxxxyyxxaaaAaaa

5、AaaaA观察系数0)()(2221122112222111112yxyxyyxyyxxxaaaaaaaaA0)(222211222221121111yxyyxxaaaaaaA012证明还有什么方法A不变号变换前后 抛物型常系数方程的化简fcuububuauauayxyyxyxx212212112FCuuBuBuAuAuA21221211221 veu?),(yx特征方程的积分曲线；与线性无关例7：化简方程02uuuuuuyxyyxyxx0222xddxdyyd解：特征方程是yx :取特征线yxyx或者或者线性无关的以及与椭圆型常系数方程的化简fcuububuauauayxyyxyxx2122

6、12112),(),(yxyx特征方程的积分曲线+-i；与线性无关条件：当条件：当0时，没有一条实特征线，具有复数形式时，没有一条实特征线，具有复数形式111211221121212aiaaaaaadxdyFCuuBuBuAuAuA212212112用Z=+i和Z= -i作为新变量，满足方程0222212211yyxxZaZZaZa分离实部和虚部，可知2211AA012A椭圆型常系数方程的化简fcuububuauauayxyyxyxx212212112FCuuBuBuAuAuA21221211221 veu),(),(yxyx特征方程的积分曲线+-i；与线性无关2211AA例8：化简方程0uuuuuuyxyyxyxx条件：当条件：当0时，没有一条实特征线，具有复数形式时，没有一条实特征线，具