对数与对数运算汇编

1、问题提出问题提出 1. 1.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿亿. .如果今后能将人口年平均增长率控制在如果今后能将人口年平均增长率控制在1%1%，那么经过，那么经过2020年后，我国人口数最多年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到人口数将达到1818亿？亿？ t57301p21313 (1(11 1) )x x1818，求，求x=?x=?3.3.上面的实际问题归结为一个什么上面的实际问题归结为一个什么数学问题？数学问题？ 2.2.假设假设20062006年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a

2、 a亿元，如果每年的平均增长率为亿元，如果每年的平均增长率为8% 8% ，那，那么经过多少年我国的国民生产总值是么经过多少年我国的国民生产总值是20062006年的年的2 2倍？倍？ (1(18 8) )x x2 2，求，求x=?x=?已知底数和幂的值，求指数已知底数和幂的值，求指数. . 知识探究（一）：知识探究（一）：对数的概念对数的概念 思考思考1:1:若若2 24 4M M，则，则M M？ 若若2 22 2N N，则，则N N？ 思考思考2:2:若若2 2x x1616，则，则x x？ 若若2 2x x , ,则则x x？ 若若4 4x x8 8， 则则x x？ 若若2 2x x3 3

3、， 则则x x？ 41思考思考3:3:满足满足2 2x x3 3的的x x的值，我们用的值，我们用loglog2 23 3表示，即表示，即x xloglog2 23 3，并叫做，并叫做“以以2 2为底为底3 3的的对数对数”. .那么满足那么满足2 2x x1616，2 2x x ，4 4x x8 8的的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？ 41思考思考4:4:一般地，如果一般地，如果a ax xN N（a0a0，且，且a1a1），那么数），那么数x x叫做什么？怎样表示？叫做什么？怎样表示？ x xlogloga aN N思考思考6: 6: 满足满足 , , ， （其中（其中e=2

4、.7182818459045e=2.7182818459045）的）的x x的值的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？殊名称？10 xNxeN思考思考5:5:前面问题中，前面问题中， , , 中的中的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？181.0113x1.082x2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第二课时第二课时 对对 数数 思考思考1:1:当当a a0 0，且，且a1a1时，若时，若a ax xN N，则，则x xlogloga aN N，反之成立吗？，反之成立吗？ 思考思考2:2:在指数式在指数式a ax xN N和

5、对数式和对数式x xlogloga aN N中，中，a a，x x，N N各自的地位有什么不同？各自的地位有什么不同？ 知识探究（二）：知识探究（二）：对数与指数的关系对数与指数的关系 a a N N x x 指数式指数式a ax xN N 指数的底数指数的底数 幂幂 幂指数幂指数 对数式对数式x xlogloga aN N 对数的底数对数的底数 真数真数 对数对数 对数式与指数式的互化：?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N思考：1）为何对数的定义中要求底数a0且a1?思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），），lo

6、gloga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结论？ 思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），），logloga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和logloga aa a（a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 负数和零没有对数负数和零没有对数对数的真数0，而不存在0的值思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），），loglo

7、ga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和logloga aa a（a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 负数和零没有对数负数和零没有对数对数的真数0，而不存在0的值log 10,log1aaa 思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），），logloga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和log

8、loga aa a（a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 思考思考5:5:若若a ax xN N，则，则x xlogloga aN N ，二者组，二者组合可得什么等式？合可得什么等式？ 负数和零没有对数负数和零没有对数对数的真数0，而不存在0的值log 10,log1aaa 思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），），logloga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和logloga aa a（a0a0，a1a1

9、）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 思考思考5:5:若若a ax xN N，则，则x xlogloga aN N ，二者组，二者组合可得什么等式？合可得什么等式？ 负数和零没有对数负数和零没有对数对数的真数0，而不存在0的值log 10,log1aaa loglogaNNaNaN a 1在对数式中在对数式中 N 0 （负数与零没有对数）（负数与零没有对数）2对任意对任意 且且 , 都有都有 同样易知：同样易知： 3如果把如果把 中的中的 b写成写成 , 则有则有 （对数恒等式对数恒等式）4. （对数恒等式对数恒等式）0 a1 a10 a01log a1log aaNab NalogNaNa

10、log对数的基本性质几点说明：对数的基本性质几点说明：lo gNNaa(性质性质4如何证明如何证明?)例题例题1：将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：6255)1(4 6412)2(6 273)3( a4625log5 6641log2 a 27log373.531)4( mm 73. 5log31例题讲解例题讲解例题例题2：将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式：416log)1(21 7128log)2(2 201. 0lg)3( 303. 210ln)4( 16214 12827 01. 0102 10303. 2 e例题讲解例题讲解例例3625log)2(345解：设解：设27log9 x,279 x3233 x23 x则则 解：设解：设625log345x,625345x则则即即,62555434 434x 3x27log) 1 (9例题讲解例题讲解x回顾指数与指数幂运算2求求x的值：的值：32log