常微分方程的大致知识点

1、常微分方程的大致知识点 常微分方程的大致知识点 (一)初等积分法 1线素场与等倾线 2、可分离变量方程 g(x)h(y) N,则 u(x,y) x C ,(留意书上公式) 若卫 y N,则找积分因子,(留意书上公式) x g(x)dx 3、齐次方程(一般含有-或y的项) y x dy f(x,y) f(x,ux) g(u) dx 4、一阶线性非齐次方程 半a(x)y b(x) dx 常数变易法，或y e a(x)dx b(x)e心抵C 5、伯努力方程 字 a(x)y b(x)yn y 哼 a(x)y1 n b(x) dxdx 令z y1 n ,则dZ (1 n)y n史，可将伯努力方程化成一阶

2、线性非齐次或一阶线性齐次 dxdx 6、全微分方程 M (x, y)dx N (x, y)dy 0 7、可降阶的二阶微分方程 器 f(x) dx d2y dx2 你),令乎 dx dx dy dx d2y dx2 吒),令dx p,则密 dx P乎 dy x y1y。x x0 x f (x, y2)dx，其余类推 x0 8、正交轨线族 (二)毕卡序列 x f (x, yo)dx, y2y。f (x, yi)dx,y3y。 x0 常微分方程的大致知识点 (三)常系数方程 1、常系数齐次 L(D)y 0 方法:特征方程 单的实根 1 , 2 , y C1e 1xC2e 2x 单的复根 1,2 x

3、i ,y e (C1 cos x 重的实根 1 2 ,y (C1 C2X)e x 重的复根 1,2 i ,3,4 i,y 2、常系数非齐次L(D)y f (x) 方法:三部曲。 第一步求 L(D)y 0的通解Y 第二步求 L(D)y f (x)的特解 * y 第三步求 L(D)y f (x)的通解 * y Y y 如何求y ? 当 f(x) Pm(x)e x*k 时,y x Qm(x)e x C2 sin e x(Ci 当 f(x) Pm(x)eux cosvx x) C2x)cos x (C3 C4x) sin x f (x)就是一般形式时 Qm(x)euxsin vx时,y xkeux(R

4、m(x) cosvx Sm(x)sin vx) XW(x, )f( )d ，其中W(、)就是郎斯基行列式 x0 W() (四)常系数方程组 牛 A(t)X 方法:三部曲。 f(t) 第一步求 第二步求 第三步求 dX dt dX dt dX dt A(t)X A(t)X A(t)X 1、分析方程组 dx dt 业 dt ax cx 的通解,(t)C。 f(t)的特解, f(t)的通解, by 利用特征方程 A I 0，并分情况讨论。 (t)1(s) f (s)ds,(定积分与不定积分等价) (t)C (t)1(s)f(s)ds (五)奇点与极限环 dy 的奇点的性质，用特征方程：A I 常微分方程的大致知识点 特征方程的根有3种情况：相异实根、相异复根、相同实根。 第一种情况：相异实根，12 当1，2,鞍点，图像 当1，2,稳定结点，图像 当1，2,不稳定结点，图像 第二种情况：相异复根，1 当，中心，图像 当，稳定焦点，图像 当，不稳定焦点，图像 第三种情况：相同实根，12 当b，c同时为时，如果 如果 当b，c不同时为时，如果 如果 ，不稳定临界结点，图像 ，稳定临界结点，图像 ，不稳定退化结点，图像 ，稳定退化结点，图像 x X（x，y） 2、方程组的奇点的性质，Perr