统计物理 课件 刘泉林 LEC08

1、 授课对象：北京科技大学授课对象：北京科技大学 本科生本科生材料科学与工程专业材料科学与工程专业刘泉林刘泉林 教授教授Telmail：地点：金物楼 410研究方向：光功能材料与器件 统计物理统计物理 Statistical Physics 08 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由玻色子组成， 一个量子态可允许有多个粒子。 费米系统

2、：由费米子组成， 每个量子态最多容纳1个粒子。 三种分布三种分布 lllllaee 1lllae1lllae,lllllaNaE 问题问题1 最盖然分布和一切分布最盖然分布和一切分布问题问题2 配分函数的物理意义配分函数的物理意义问题问题3 的物理意义的物理意义问题问题4 的物理意义的物理意义问题问题5 热力学第一定律的微观含义热力学第一定律的微观含义问题问题6 热力学第二定律的微观解释热力学第二定律的微观解释问题问题7 非简并性条件，经典近似条件非简并性条件，经典近似条件回顾总结回顾总结 量子力学规律牛顿力学规律统计力学规律微观宏观热力学 体系用一组完备的宏观参量描述的状态称为宏观状态宏观状

3、态。用广义坐标和广义动量 或者波函数（量子数）描述的状态称为微观状态微观状态。用统计分布规律描述的状态称为统计态统计态。 孤立体系和外界既不交换能量，也不交换物质。这种约束可用Ni, E, V描述。封闭体系和外界可以交换能量，但不交换物质这种约束可用Ni, T, V描述。开放体系和外界既可交换能量，也可交换物质这种约束可用i, T, V描述。宏观状态: 体系用一组完备的宏观参量描述的状态 经典描述： 遵从经典力学的运动规律 （广义坐标和广义动量描述） 量子描述： 遵从量子力学的运动规律 （一组量子数描述) 微观状态 统计态统计态玻耳兹曼统计玻色统计费米统计 以统计解释精确定律Boltzmann

4、统计物理统计物理Statistical Physics我们这个世界的真正逻辑寓于概率的计算之中 一个宏观系统由大量微观粒子组成1 cm3 气体，如 Fe， Cu，如何研究1023量级原子/粒子/分子/电子运动规律？ 问题问题1 最盖然分布和一切分布最盖然分布和一切分布最盖然分布只是体系的一切分布中的一个特殊分布 最盖然分布与一切可能的分布 在粒子数N为极大时（N）有确定的关系 . .lnln()M BN 问题问题2 配分函数的物理意义配分函数的物理意义1llllllllllllllaeePeNeeZ Z称为单粒子配分函数，也称为状态和 配分函数是体系的能量在各能级中分配程度的一种度量 00li

5、mTZlimTZ 121212iiieeeZennnN 独立子体系在平衡态下，各能级上每个粒子平均具有的有效量子态数彼此相等，而且就等于体系中每个粒子平均具有的有效量子态数Z/N。 这一表述可称为粒子在能级间的平衡条件。问题问题2 配分函数的物理意义配分函数的物理意义 问题问题3 的物理意义的物理意义lnln0lllllaNEa ,lnNZZeeZNN 是每个粒子在各个能级上平均具有的有效量子态数的定量量度 Bk T 化学势就是从宏观上反映每个粒子在各个能级上平均具有的有效量子状态数彼此相等的热力学强度量。 1pdSdEdVTT1lnBVVSkETE11VBEk T 当在等容条件下增加体系的能

6、量，将增加，而它随E的增加率则等于问题 4 的物理意义lnln0lllllaNEa 1Bk T 热力学体系在封闭条件下与外界相互作用时，统计状态变发生改变，具体表现在al 和l的改变上。al是受概率规律支配的统计量，而l是取决于外参量的力学量。因此，体系平均能量的改变从统计态上看来源于两种不同性质的因素。据此，在统计力学意义上定义了热和功。 问题5 热力学第一定律的微观解释dddllllllUaa热力学第一定律的统计解释和微观图像热力学第一定律的统计解释和微观图像EEWEEQdddllllllUaa 热力学体系在封闭条件下与外界相互作用时，统计状态变发生改变，具体表现在al 和l的改变上。al

7、是受概率规律支配的统计量，而l是取决于外参量的力学量。因此，体系平均能量的改变从统计态上看来源于两种不同性质的因素。据此，在统计力学意义上定义了热和功。 231.8 10121102N问题6 热力学第二定律的统计解释 过程的不可逆完全是统计的效果，这就是熵增加原理的微观实质 。V1V2V11 mol N2VaccumlnBSk 的绝对数值，S 的绝对值 ？0d . .!laM BllllNa 非简并条件：非简并条件： 3/222()1aVmkTeNh经典近似条件经典近似条件 ：（1） 非简并性条件 （2） kT 233/2()12NhnVmkT问题问题7 7：非简并性条件和经典近似条件：非简并

8、性条件和经典近似条件再次讨论经典与量子再次讨论经典与量子1/31/21()()2VhNmkT212(21)8nnnhEEEnma 如何满足非简并条件？如何满足非简并条件？ N/V越小，气体越稀薄；越小，气体越稀薄；分子质量分子质量m越大。越大。a. 温度越高；温度越高；量子力学：量子力学：统计力学：统计力学：12212nnnEEnEnn12331=22N=1Vhhhpm kTm kTn2hhpm如何满足经典近似？如何满足经典近似？ 空间体积分布空间体积分布a越大；越大；分子质量分子质量m越大。越大。a. 温度越高；占据的能级温度越高；占据的能级n越大越大非简并条件可表达为气体中分子的平均距离远

9、大于非简并条件可表达为气体中分子的平均距离远大于德布罗意波的平均热波长。德布罗意波的平均热波长。 n3 01kTle0,0l NeakTlllll1nVNeVkTlll11化学势化学势为温度为温度T及粒子数密度及粒子数密度n的函数。的函数。在在n给定时，给定时，T越小则要求越小则要求值越高，即值越高，即|越小。越小。 12323()2( 2)lDVmdh1 23 23()/0112(2 )1lllkTkTVemdnhe 1 23 23()/02(2 )1kTmdnhe 温度降低，化学势升高，临界温度温度降低，化学势升高，临界温度TC时，时，趋于趋于0。 1CkTendemhCkT1)2(2/0

10、23321CkTx/ndxexmkThxc1)2(2210233 1 202.61212xxdxe32232)()612. 2(2nmkTCndxexmkThxc1)2(2210233 T TC时，粒子都处在激发态，时，粒子都处在激发态，= 0的粒子数可忽略。的粒子数可忽略。 T TC时，时，0的粒子数是很大的数值，不可忽略。的粒子数是很大的数值，不可忽略。 1 23 23()/012(2 )11llkTlkTmdnVhee ndemhTnkT1)2(2)(/0233021 CkTx/1 21 23 23 203/3003 222(2 )(2)11()kTxCxnmdmkTdheheTnTnd

11、xexmkThxc1)2(2210233温度为温度为T时处在最低能级时处在最低能级0的粒子数密度为的粒子数密度为)(1 )(230CTTnTn 玻色粒子，一个量子态所能容纳的玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制；粒子数目不受限制；绝对零度下玻色粒子将全部处在绝对零度下玻色粒子将全部处在0的最低能级。的最低能级。T TC时：宏观量级的粒子在能级时：宏观量级的粒子在能级0凝聚，称为玻色爱因斯坦凝聚，凝聚，称为玻色爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。简称玻色凝聚。 TC为凝聚温度。为凝聚温度。 凝聚在凝聚在0的粒子集合称为玻色凝聚体，的粒子集合称为玻色凝聚体，能量、动量能量、动量 、熵为、熵为0。

12、对压强就没有贡献。对压强就没有贡献。 在在T T 00的的粒子能量的统计平均值：粒子能量的统计平均值：3 23 23/03 23 25 2303 22(2)112(2)()10.77()lllkTxCVUmdeheVxmkTdxheTNkTT CkTx/3 25()1.925()2VVCUUTCNkTTTT TC，3Nk/2 He4沸点是沸点是4.2KKT17. 2液相在液相在发生相变，称为发生相变，称为相变相变由正常液态变为超流性。由正常液态变为超流性。 热容量随温度的变化如图所示热容量随温度的变化如图所示 计算得到计算得到TC=3.13K。 32232)()612. 2(2nmkTC612

13、. 2)2(33nmkThnC想玻色气体出现想玻色气体出现凝聚的临界条件凝聚的临界条件出现凝聚体的条件出现凝聚体的条件612. 23n实现玻色凝聚的方法：降低温度；增加气体粒子数密度。实现玻色凝聚的方法：降低温度；增加气体粒子数密度。 物质TC原子数目(个) 原子密度(个/cm3) 87Rb170 nK1032.6101223Na2K510510147Li400nK1031012感谢北京科技大学感谢北京科技大学 顾强顾强 教授教授 提供以下提供以下PPT ！ 授奖原因：授奖原因：在碱金属原子中实现玻色在碱金属原子中实现玻色-爱因斯坦凝聚，以及关于凝聚体性质的早期的重要研究。爱因斯坦凝聚，以及关

14、于凝聚体性质的早期的重要研究。“”for the achievement of Bose-Einstein condensation (BEC, 玻色-爱因斯坦凝聚) in dilute gases of alkali atoms (碱金属原子), and for early fundamental studies of the properties of the condensates“What is the significance of the 2001 Nobel Prize in Physics? 总粒子数不变的系统总粒子数不变的系统230010Nn VIt is pretty, b

15、ut is it correct?这很美这很美, , 但正确但正确吗？吗？Einstein, 1921 长期的探索长期的探索Kapitza, 197819381938，LondonLondon：超流转变超流转变玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚 3.1K3.1K19411941，LandauLandau：二流体模型解释超流现象：二流体模型解释超流现象4He：第一个例子：第一个例子 (1938)19111911，Kamerlingh OnnesKamerlingh Onnes 体积膨胀体积膨胀 T TC C2.2K 2.2K 19321932，KeesomKeesom和和ClausiusClaus

16、ius 比热反常比热反常 transition transition1938, Kapitza1938, Kapitza；AllenAllen和和MisenerMisener 粘滞系数趋于零粘滞系数趋于零超流超流！ Allen Allen和和JonesJones，喷泉效应，喷泉效应 19801980，SilveraSilvera和和WalravenWalraven 最先得到稳定的极化氢原子气体最先得到稳定的极化氢原子气体19801980 GreytakGreytak和和KleppnerKleppner，MITMIT 19981998，first BEC of atomic Hfirst BEC

17、 of atomic H2001, BEC of metable 2001, BEC of metable 4 4HeHe氢原子气体：早期的尝试氢原子气体：早期的尝试19591959，HechtHecht，理论建议，理论建议 自旋极化的自旋极化的氢原子氢原子气体气体19761976，StwalleyStwalley和和NosanowNosanow 同样的建议同样的建议Kleppner3/22)612. 2(2VNmkhTBc BEC 在碱金属原子气体中实现： 87Rb (铷), 23Na (钠), 7Li (锂) 原因： They are bosons. Each atom is a smal

18、l magnetic compass, so that a cooling technique called magnetic cooling can work. The atoms have a small repulsion, so that they do not liquefy or solidify down to a very low temperature.The Material For BEC 碱金属原子：梦想成真（碱金属原子：梦想成真（19951995）1925-19951925-1995 梦想的实现者梦想的实现者Eric A. Cornell康奈尔JILA & NIST,

19、Boulder, Colorado.1961-Wolfgang Ketterle克特勒MIT1957-Carl E. Wieman维曼JILA & University of Colorado, Boulder.1951-87Rb (铷) 23Na (钠)87Rb (铷) 激光激光冷却冷却 (Laser Cooling)激光冷却技术 1997 Nobel Prize可达最低温度 0.18K (1 K= 10-6K).Chu 朱棣文Cohen-TannoundjiPhillips BECBEC的实现的实现 激光束 其它装置: 激光设备, 计算机, 电子器件 花费：少于 US$100,000实验装置实验装置 激光调制激光调制（Tuning the Laser） Only laser light with the correct colour (frequency) can be absorbed by the atoms. If the colour is wro