弹性力学复习资料

1、弹性力学及有限单元法 复习提纲采矿 09 级1. 材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？ 共同点：都是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进 它们的方法。弹性力学：研究弹性体由于受外力作用、边界的约束或温度改变等原因而发生的应力、形变的位移。 材料力学：研究构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。求解方法：材料力学是除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外，大都还引用关于构件的形变状态和应力分布 的假定。而弹性力学一般都不必引用那些假定，因而得出的结果比较精确，还可以校核材料力

2、学得出的近似结果。2. 什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？ 弹性：在一定的应力范围内，物体受到外力作用产生全部变形，而去除外力后能够立即恢复其原有的形状和尺寸大小的 性质。塑性：物体受力后产生变形，在外力去除后不能完全恢复原状的性质。 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、位移和形变微小。3. 弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？ 在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式。 意义：平衡微分方程表示了区域内任一点的微分体的平衡条件，从而必然保证任一有限部分和整个区域是满足平衡条件 的。4. 为

3、什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？ 因为平衡微分方程两个方程三个未知函数，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑几何方程才可以求解。 根据微分线段上的形变分量与位移分量之间的关系式导出的。 意义：当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。5. 什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？ 考虑平面问题物理方面导出形变分量与应力分量之间的关系式的方程。表达形式满足胡克定律。6. 什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的问题，差别又在何处？如何推导出 相应的

4、物理方程？ 平面应力：在等厚度薄板中，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行于板面并 且不沿厚度变化。平面应变：在很长的柱形体中，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束， 同时，体力也平行于横截面而且不沿长度变化。可根据切应力互等性、胡克定律等求解相应的方程。7. 弹性力学问题的基本方程有哪几组？ 平衡微分方程、几何方程、物理方程，再加上边界条件。8. 什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？应力边界条件：若 S 6部分边界给定了面力分量fx(s)和fy(s)，则可以由边界上任一点微分的平衡条件，导出应力与面力之间的

5、关系。位移边界条件：若在 Su部分边界上给定了约束位移分量u(s)和v(s),则对于此边界上的每一点，唯一函数u和v应满足(u)s=u(s) ， (v)s=v(s)。混合边界条件：物体的一部分边界具有位移边界条件，另一部分边界则具有应力边界条件。9. 什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？ 按位移求解：是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方 程和相应的边界条件，并且由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量。按应力求解：是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含有应力分量的方 程

6、和边界条件，并由此解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。区别：按位移求解能适应各种边界条件问题的求解，按应力求解通常只求解全部为应力边界条件的问题。10. 什么是相容方程？相容方程的物理意义是什么？相容方程：几何方程中把 & x对y的二阶导数和 y对x的二阶导数相加得到的方程。意义：连续体的形变分量 & x, y, 丫 xy不是互相独立的，而是相关的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量 u 和 v 的存在。11. 什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达式。 称为平面的应力函数。12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.

7、双谐方程：用应力函数表示的相容方程。推导：把平衡微分方程的全解代入相容方程化简而得出。数学表达式：二=0.x:-X _y:-y应力函数与应力分量间有什么样的关系？如何求解双谐方程?关系：应力函数可以表示三个应力分量，从而简化平面问题的求解，从求解应力分量可以变换求解应力函数。双谐方程的求解：用应力边界条件、平衡微分方程求解。什么是圣文南原理？在弹性力学中有何意义？圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么，近处的应力分布将有显 著地改变，但是远处所受的影响可以不计。意义：可以简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。什么是主要边界？次要边界？为什么主要

8、边界上的边界条件必须完全满足，次要边界条件才能使用圣文南原理？占弹性体边界的大部分的，称为主要边界；占边界很小部分的，称为次要边界。什么是逆解法？半逆解法？逆解法：就是先设定满足边界条件和双谐方程的应力函数，再考察此函数能解决什么样的问题。半逆解法：假设部分应力分量为某种形式的函数，据此解出应力函数，然后再考察此函数能否满足双谐方程，以及是否所有应力分量都能满足边界条件。若有部分条件不能满足，则要修改原假设，重新考察。由直角坐标下的多项式解可以获得哪些有意义的弹性力学解？如何计算应力、应变和位移？可以求解矩形板均布受拉、均布受压、均布剪力、矩形梁受纯弯曲等的问题。用半逆解法、圣维南原理求解应力

9、。再由应力位移、形变按物理方程变化E、后求解。由弹性力学所获得的受分布荷载的简支梁以及受纯弯曲的简支梁的解答，与材料力学所得到的解答有哪些共同之处和哪 些不同之处？由此可以说明哪些问题？ 相同：两者得出的计算结果都相同。不同：各自的解法不同。弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程，以及在边界上的 边界条件而求解的，因而得出的解答是较精确。材料力学的解法中，没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。说明的问题：材料力学的解法只适用于解决杆状构件的问题，对于非杆状构件的问题，不能用材料力学的解法求解，只 能用弹性力学的解法求解。如何推导出极坐标下弹性力学的平衡微分方程

10、，几何方程和双谐方程？极坐标下弹性力学的基本方程与直角坐标下的方 程有哪些区别？平很微分方程的导出：将微分体所受各力投影到微分体中心的径向、切向轴上，列出径向、切向的平衡方程得到。 几何方程导出：极坐标下取微元计算径向线应变、环向线应变、切应变，如果径向和环向都有位移，则把它们叠加得到。区别：在直角坐标系中， x和y坐标都是直线，有固定的方向， x和y坐标的量纲都是L。在极坐标系中，p坐标线和“ 坐标线在不同的点有不同的方向； p坐标线是直线，而 “坐标线为圆弧曲线；p坐标的量纲是 L,而坐标为量纲一的 量。为什么可以求出极坐标下弹性力学方程的轴对称问题的通解？如何求出？可以解答哪些问题？因为

11、绕z轴对称的应力，在极坐标平面内应力分量仅为p的函数，不随“而变；切应力t为零；应力函数是标量函数，在轴对称应力状态下，它只是p的函数。求解方法：应力化简后用轴对称问题的拉普拉斯算子代入相容方程求解。可求解的问题：与轴对称应力相对应的形变和位移问题。带圆孔的无限大板、半平面体在边界上受集中力、对径受压的圆盘等问题的解答，是如何获得的？这些解答各可以解决 哪些工程问题？半平面体边界上受集中力：用半逆解法求解，首先按量纲分析法来假设应力分布的函数形式，将函数代入相容方程求的应力，此外还需考虑在点 0有集中力F的作用。带圆孔的无限大板：首先设有矩形薄板在离开边界较远处有半径为r的小圆孔，在四边受均布

12、拉力，集度为q,坐标原点取在圆孔的中心，坐标平行于边界，其次该矩形薄板在左右两边受有均布拉力q而在上下两边受有均布压力 q。什么是有限单元法？有限单元法求解思想和求解过程与弹性力学有哪些不同？有限单元法：是一种近似的求解方法，它不直接对弹性力学中的微分方程求解，而是把结构离散化成单元，已建立有限 单元法的基本方程而求解。使用三角形3节点单元时，单元划分时有哪些注意事项？ 任一三角形单元的顶点，必须也是相邻三角形单元的顶点，而不能是其内点。 每个三角形单元的三条边长和三个顶角均不要相差太大，否则会产生较大的计算误差。 为了既保证计算精度又节约计算工作量，计算前应对应力分布情况作一个大体上的估计。

13、 一个单元内部只能具有一种单元厚度和一个材料弹性常数。23什么是位移插值函数？为什么要引入位移插值函数？ 弹性单元体内部通过已知点的位移值构造出一个插值多项式的函数叫做位移差值函数。因为在计算出节点位移后，还不能直接利用弹性力学的公式计算单元内部2的位移，也不能计算出单元内各点的应变和应力，因此就需引入位移差值函数。24. 什么是形函数？如何推导形函数？形函数：单元体各节点的节点位移和节点坐标的线性代数方程。 将单元体节点位移、节点坐标相应的线性代数方程组代入位移差值函数求解得到。25. 什么是应变矩阵？应力矩阵？节点位移列阵？应变矩阵：几何方程中单元体内的应变的系数矩阵。即B。应力矩阵：弹性

14、矩阵与应变矩阵的乘积，即S = D B。节点位移列阵：节点位移函数矩阵的转值。26. 什么是常应变单元？常应力单元？为什么三角形3节点单元是常应变单元和常应力单元？常应变单元：应变分量在单元体内部是常量的线性位移插值函数的三角形单元。常应力矩阵：每一个单元内的各应力分量都是常数应力单元。因为单元体的应力和应变都是常数。27什么是弹性变形比能？单元刚度矩阵是如何推导出的？总刚度矩阵如何得出？弹性变形能比：弹性体单元体积内存储的弹性变形势能。单元刚度矩阵推导：通过物理方程把单元变形势能用节点位移来表示得出的矩阵。即Ke总刚度矩阵得出：由单元刚度矩阵按行列相加而得。即K28. 什么是最小势能原理？如

15、何根据最小势能原理推导出有限单元法的基本方程？最小势能原理：在所有能满足边界条件的位移中，使结构体总势能为最小值的位移，就是满足平衡条件的真实位移。 根据最小势能原理把节点位移视为自变量按照求极值的法则，使得结构体的总势能满足；v -0，求得。29. 有限单元法的基本方程是一个什么样的方程？如何求解？此方程的大小（总刚度矩阵的大小）与什么有关？ 求解方法：按静力等效法则、圣维南原理、虚功原理求解。大小与外载荷集中力有关。30. 与三角形单元相比，矩形单元有什么优点和缺点？优点：矩形四节点单元的计算精度较三角形长应变单元明显提高。缺点：单元体的边都是与坐标轴平行的，不能适应结构体复杂的边界条件，

16、只能用于少数形状简单的结构体。31. 为什么要引入任意四边形4节点单元？与矩形四节点单元相比，任意四边形四节点单元有什么优点和缺点？为什么在任意四边形4节点单元中要引入坐标变换？为解决矩形单元所带来的困难而引入任意四边形4节点单元。为解决单元形状与收敛性的矛盾。32. 与三角形3节点单元相比，三角形 6节点单元有什么优点和缺点？计算精度远高于常应变单元，但在现实计算机自动数据准备方面较为困难，且积分复杂。33. 与任意四边形4节点单元相比，曲边四边形8节点单元有哪些优点和缺点？四边形八节点单元具有很高的计算精度，可以通过较疏的网络格划分取得满意的计算结果，具有较容易实现网格自动划 分的优点。不

17、足之处计算量较大。34. 使用任意四边形4节点单元和曲边四边形 8节点单元时，单元划分时有哪些注意事项？ 四边形四节点划分注意： 任一三角形单元的顶点，必须也是相邻三角形单元的顶点，而不能是其内点。 每个三角形单元的三条边长和三个顶角均不要相差太大，否则会产生较大的计算误差。 为了既保证计算精度又节约计算工作量，计算前应对应力分布情况作一个大体上的估计。 一个单元内部只能具有一种单元厚度和一个材料弹性常数。 单元形状必须是凸多边形。 任意四边形四节点单元的边是直线型，在模拟结构的曲线型边界时，也要用折线来逼近曲线。 四边形八节点划分注意： 注意使边长和夹角不要相差太远、不要出现钝角，各边的节点

18、还应该尽可能位于边的中点。 单元为曲线边时，两相对边应该凹向同一方向。 要准确地给出边界上各节点的坐标。35. 三角形3节点单元、三角形 6节点单元、任意四边形 4节点单元、曲边四边形 8节点单元，应变矩阵和单元刚度矩阵各 为多大？三角形3节点：应变矩阵3X 6,单元刚度矩阵6X 6。三角形6节点：应变矩阵3X 12,单元刚度矩阵12X 12。任意四边形4节点：应变矩阵3X 8,单元刚度矩阵8X &曲边四边形8节点：应变矩阵3X 16,单元刚度矩阵16 X 16。36试写出有限单元法平面问题中，计算单元刚度矩阵的积分表达式，以及对应于各种单元时，此积分表达式中各矩阵以及 单元刚度矩阵的大小。E

19、二 B ： D IB tdxdy37. 什么是单元的参数？什么是等参数单元？设坐标变换的节点数为 m，位移插值函数的节点数为 n，m和n称为单元参数。当m=n，即坐标变换的节点数与位移插值函数的节点数相同时，这种单元称为等参数单元。38. 为什么要把体积力以及分布力这两类外载荷向节点移植？因为在有限单元法中，单元的边与边之间在变形后必须保持连续，不能出现相互脱离或相互重迭的情况。边与边之间并 没有力的关系，单元间力的传递只能靠节点来进行，外载荷也必须作用在节点上。因此，当外载荷是集中力时，可在网 格划分时将集中力作用点取为节点，当外载荷是分布载荷和体积力时，就需要对这些载荷进行处理，按照静力等效的法 贝V，将载荷移置到节点上，变换成等效节点载荷。39. 什么是前处理与后处理？有什么意义？前处理：是指对研究对象划分单元、节点标号、以及对各节点准备数据。后处理：是指经计算机运算后，根据所得的相关数据绘出矢量图、应力