2.1方向导数和梯度ppt课件

1、二、方向导数的定义二、方向导数的定义一、问题的提出一、问题的提出四、小结、思考题四、小结、思考题五、作业五、作业第六节、方向导数与梯度第六节、方向导数与梯度三、梯度的概念三、梯度的概念1513xy32 2实例：实例：一、问题的提出一、问题的提出应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？原点的距离成反比原点的距离成反比金属板受热金属板受热(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，在坐标原点处有一个火焰，它使它使假定板上任意一点处的温度与该点到假定板上任意一点处的温度与该点到在在(3,2)处有一个蚂蚁，处有一个蚂蚁， 问这只蚂蚁问这只蚂蚁问

2、题的实质：问题的实质： 应沿由热变应沿由热变冷变化最骤烈的方向即冷变化最骤烈的方向即梯度方向爬行梯度方向爬行一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，二、方向导数的定义二、方向导数的定义（如图）（如图）的变化率问题的变化率问题讨论函数讨论函数),(yxfz 在一点在一点沿某一方向沿某一方向0P设设l是是xoy平面上以平面上以000(,)P xy为始点的一条射为始点的一条射线，线，(cos ,cos)le 是是与与l同方向的单位向量。同方向的单位向量。oyxl( , )P x y000(,)P xyle射线射线l的参数方程为的参数方程为00cos , (

3、0)cos.xxttyyt 方向导数方向导数,内有定义，内有定义，0()U P的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数000(,)P xy( , )zf x y00(cos ,cos)P xtyt 为为l上的另一点，上的另一点，且且0().PU P若函数增量若函数增量0000(cos,cos)(,)f xtytf xy 与与P到到0P的距离的距离0PPt的比值的比值0000(cos ,cos)(,),f xtytf xyt 当当P沿着沿着l趋于趋于0P时的极限存在，时的极限存在，则称此极限为则称此极限为函数函数( , )f x y在点在点0P沿着方向沿着方向l的的记为记为00(,)xyfl即即

4、定义定义或或00(,),xyzl0000000(,)(cos ,cos)(,)lim.txyff xtytf xylt 方向导数的几何意义：方向导数的几何意义： 方向导数方向导数00(,)xyfl就是就是函数函数( , )f x y在点在点沿方向沿方向000(,)P xyl的变化率。的变化率。若函数若函数( , )f x y在点在点000(,)P xy的偏导数存在，的偏导数存在，(1,0),lei那么那么00(,)xyfl00,;xfxy又若又若(0,1),lej那么那么00000(,)(,)limtf xt yf xyt00(,)xyfl00,;yfxy00000(,)(,)limtf xy

5、tf xyt同理：同理：函数函数( , )f x y在点在点000(,)P xy沿着沿着x轴负向和轴负向和y 轴负向的方向导数分别为轴负向的方向导数分别为00,xfxy00,.yfxy和和反之，反之，00(,)xyzl假设假设,lei存在，存在，那那么么00,xzxy未未必存在。必存在。如如22zxy在原点在原点(0,0)O处沿处沿li方向的方向导数方向的方向导数(0,0)zl0( ,0)(0,0)limtz tzt0limttt1,而偏导数而偏导数0,0 xz不存在。不存在。证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为(,)( ,)0000f xx yyf x y 关于方

6、向导数的存在及计算，有关于方向导数的存在及计算，有定理定理 且有且有 如果函数如果函数在点在点是可微是可微( , )zf x y000(,)P xy分的，分的， 则函数在该点沿任意方向则函数在该点沿任意方向l的方向导数都的方向导数都存在，存在，(,)(,)cos(,)cos.000000 xyxyffxyfxyl 其中其中cos,cos 为方向为方向l的方向余弦。的方向余弦。但点但点00(,)xx yy在以在以000(,)P xy为始点的射线为始点的射线l上时，上时， 应有应有( ,)( ,)( ),0000 xyf x yxf x yy o cos ,xt所以所以(cos,cos)(,)li

7、m00000tf xtytf xyt 00000( )lim(,)cos(,)cosxyto tfxyfxyt 00(,)xyfl故方向导数存在，故方向导数存在，0000(,)cos(,)cos .xyfxyfxy 且且0000(,)cos(,)cos,xyfxyfxy cos,yt, t (,)( ,)0000f xx yyf x y ( ,)( ,)( ),0000 xyf x yxf x yy o 13,22le解解(1,2)(1,2)22,xfx(1,2)(1,2)24;yfy(1,2)fl12 3. 例例1 1 求函数求函数在点在点处沿从点处沿从点到点到点的方向的方向导数。的方向的方

8、向导数。22( , )f x yxy(1,2)(1,2)P(2,23)Q方向方向l (2 1,232)PQ (1, 3),与与l同方向的单位向量为同方向的单位向量为所求方向导数所求方向导数122342解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx cossin sin(),24 故故(1 ）当）当时，时， /4 方向导数达到最大值方向导数达到最大值2;（2) 当当时，时， 5 /4 方向导数达到最小值方向导数达到最小值2;（3）当）当和和时，时，3 /4 7/

9、4 方向导数等于方向导数等于0.例例2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点(1,1)沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l（1最大值；最大值； （2最小值；最小值； （3等于零？等于零？的方向导数的方向导数.并问并问在怎样的方向上此方向导在怎样的方向上此方向导 数有数有该函数在原点不连续当该函数在原点不连续当但在始于原但在始于原点的任何射线上，点的任何射线上，然也不可微），然也不可微），含原点的充分小的一段，含原点的充分小的一段， 在在这段上这段上f的函数值恒为零，的函数值恒为零， 于是由方向导数的定义，于是由方向导数的定义，1f1f0f0f在原点处沿任何方向在

10、原点处沿任何方向l都有都有(0,0)0.fl都存在包都存在包时，时，例例3 设设 1,( , ) 0,f x y 当当20,yxx 其余部分，其余部分，研究研究f在原点的方向导数。在原点的方向导数。解解,(,)(cos ,cos ,cos )(, )lim,00 00000000tx y zff xtytztf x y zlt 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义它在空间一点它在空间一点 导数为导数为对于三元函数对于三元函数( , , ),uf x y z沿着方向沿着方向的方向的方向0000(,)P xy z(cos ,cos,cos )le 同理可以证明：同理可以证明

11、： 若函数若函数( , , )uf x y z在点在点000(,P xy0,)z可微，可微， 则函数在该点沿着方向则函数在该点沿着方向(cos ,cos,le cos ) 的方向导数为的方向导数为,(,)(,)cos(,)cos000000000 xyxy zffxy zfxy zl ,(,)cos .000zfxy z 例例4 求函数求函数222ux yy zz x在点在点(1,1,1)M沿向量沿向量(1, 2,1)l 方向的方向导数。方向的方向导数。解解 ,121666le(1,1,1)xu( , , )21 1 12xyz, 3(1,1,1)yu( , , )21 1 12xyz, 3(

12、 , , );1 1 13zu(1,1,1)ul136. 0236136解解令令, 632),(222 zyxzyxF44,xPPFx66,yPPFy22,zPPFz故故,xyxPPPnFFF4, 6, 2 ,2224622 14,n 方向余弦为方向余弦为例例5 设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点)1 , 1 , 1(P处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu 在此处沿方向在此处沿方向n的方向导数的方向导数.,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzy

13、xzu22286 .14 coscoscosPPuuuunxyz .711 故故12221(68) ,(1,1,1)uxyPz4, 6, 2 , 2 14nn三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P定义定义一阶连续偏导数，一阶连续偏导数，都可定出一个向量都可定出一个向量设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域内具有内具有D则对于每一点则对于每一点000(,),P xyD0000(,)(,) ,xyfxy ifxyj记为记为00 (,),f xygrad即即00 (,)f xygrad0000(,)(,) .xyfxy i

14、fxyj这向量称为函数这向量称为函数),(yxfz 在点在点000(,)P xy梯度，梯度，的的000000(,)(,)cos(,) cosxyxyffxyfxyl 00|grad(,)|cos ,f xy 由方向导数公式知由方向导数公式知00 (,)f xygradle当当0 时，时，即沿梯度方向时，即沿梯度方向时，00(,)xyfl方向导数方向导数取得最大值，取得最大值，这个最大值就是梯度的模这个最大值就是梯度的模00 |grad(,)|.f xy结论结论它的模它的模它的方向是函数在该它的方向是函数在该(2) 与函数在该点的梯度相反的方向是函数在该点与函数在该点的梯度相反的方向是函数在该点

15、的方向导数取得最小值的方向，的方向导数取得最小值的方向， 其最小方向导数为其最小方向导数为是一个向量，是一个向量，00() ,f xygrad就是方向导数的最大值就是方向导数的最大值00 |grad(,)|f xy 00|grad(,)|.f xy点的方向导数取得最大值的方向，点的方向导数取得最大值的方向，垂直的方向的方向导数等于零。垂直的方向的方向导数等于零。函数函数的梯度的梯度000(,)P xy在点在点( , )f x y(1)( , )f x y在点在点000(,)P xy处沿与梯度处沿与梯度00 (,)f xygrad(3)当当xf 不为零时，不为零时，x轴到梯度的轴到梯度的转角转角

16、 的正切为的正切为tan.ffyx 例例6设设2( , )ln(),zf x yxy(1) 求求f在点在点(0,1)P处沿从处沿从P到到(2,0)Q方向的变化率方向的变化率.(2) f在点在点(0,1)P处沿什么方向具有最大增长率，其处沿什么方向具有最大增长率，其最大增长率为多少？最大增长率为多少？解解(1)(2, 1),PQ 21 ,.55le又又22(0,1)12(0,1),yfxyxygrad(1,2),(0.1) fl(1,2)21,550.211255 在几何上在几何上 表示一个曲面。表示一个曲面。),(yxfz 所截得所截得cz ,),( czyxfz投影如图投影如图.oyx2),

17、(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线( , )f x ygrad梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P(2)f在点在点(0,1)P处沿梯度处沿梯度(0,1)(1,2)fgrad方向方向具有最大的增长率，具有最大的增长率， 其最大增长率为其最大增长率为(0,1)fgrad5.曲面被平面曲面被平面所得曲线在所得曲线在xOy面上面上等高线的画法等高线的画法播放播放图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：函数函数( , )zf x y 在点在点( , )P x y的梯度的方向的梯度的方向( , )f x yc

18、在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，个方向相同， 且从数值较低的且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。线方向的方向导数。与点与点P的等高线的等高线( , , ).gradffff x y zijkxyz 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域G内具有一阶内具有一阶义一个向量义一个向量(梯度梯度)连续偏导数，连续偏导数，( , , ),P x

19、 y zG 则对于每一点则对于每一点都可定都可定方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值导数的最大值.类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，的等量面，),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与此函数在点此函数在点czyxf ),(过点过点P的等量面的等量面在这点的法线的一个方在这点的法线的一个方向相同，向相同，面，面，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量且从数值较低的等量面指向数值较高的等量而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.解解 由梯度

20、计算公式得由梯度计算公式得( , , )uuuu x y zijkxyzgrad(23)xi故故(1,1,2)5212 .uijkgrad例例7 求函数求函数 yxzyxu2332222 在点在点 )2 , 1 , 1 (处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？哪些点处梯度为零？(42)yj6,zk在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为0.下面简单介绍数量场与向量场概念：下面简单介绍数量场与向量场概念：若对于空间区域若对于空间区域G内的任一点内的任一点,M都有都有一个确定的数量一个确定的数量(),f M则称则称()f M在在G上确定了一个上确定了一个数量场数量场一个数量场可

21、用一个一个数量场可用一个数量函数数量函数()f M来确定。来确定。数量场数量场（1）向量场向量场（2）若与点若与点M相对应的是一个向量相对应的是一个向量(),F M则称在则称在G上确定了一个向量场上确定了一个向量场一个向量场可以用一个向量值函数一个向量场可以用一个向量值函数()F M来确定，来确定，从而从而()()()() ,F MP M iQ M jR M k其中其中(),(),()P M Q MR M都是点都是点M的数量函数。的数量函数。（如温度场、密度场等）。（如温度场、密度场等）。(如力场、速度场等如力场、速度场等)。于是向量函数于是向量函数 ()f Mgrad确定一个向量场，确定一个

22、向量场，称为称为梯度场，梯度场，它是由数量函数它是由数量函数()f M产生的，产生的， 通常称通常称函数函数()f M为这个向量场的势，为这个向量场的势，而这个向量场又称而这个向量场又称为势场。为势场。注：注：任何一个向量场不一定是势场，任何一个向量场不一定是势场，因为它不一因为它不一定是某个数量函数的梯度。定是某个数量函数的梯度。mr解解 mxr 2mrrx3,mxr同理同理 myr 3,myr mzr 3,mzr从而从而mrgrad2.mxyzijkrrrr若用若用re表示与表示与OM 同方向的单位向量，同方向的单位向量， 那么那么mrgrad2.rmer因此数量场因此数量场mr的势场即梯度的势场即梯度222rxyz为原点为原点O与点与点( , , )M x y z的距离。的距离。例例8求数量场求数量场所产生的梯度场，其中常数所产生的梯度场，其中常数 0,m 场场mrgrad称为引力场，称为引力场，而函数而函数mr称为引力势。称为引力势。1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯