椭圆的定义及几何性质题库.

1、椭圆的定义及几何性质考点突破：圆锥曲线的定义及几何性质多以基础题为主，侧重基础知识的掌握和基本数学思想方法的灵活应用， 难度不大。考查形式一是定义及基本性质为主的客观题，是容易题；二 是以综合题的形式考查圆锥曲线的定义和性质，中档题。预计2015考查椭圆、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质，双曲线的的标准方程技几何性质较大。复习中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同时注意运算中的减负如设而不求，活用定义，妙用平面的几何性质等，勇于联想、探索、大胆实践，提升解题能力。题型一：椭圆的定义及其应用1判断轨迹：例:已知Fi,F2是定点，动点M满足| MFi | | MF2 8，且| F1F2 |=

2、8则点M的轨迹为（）A 椭圆 B.直线C.圆D.线段分析：紧扣椭圆的定义。解：由题意得 |MF1| |MF2| = 8，且 |旺| = 8 则 |MF1 | - |MF21= | RF21 = 8所以点M的轨迹为线段F1 F2。点评：求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变.（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上）,又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）.检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形.变式：x

3、2y2、1已知FF2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于 代B两点.若259F2A +|F2B =12，则 AB =.【知识点】椭圆的定义解：因为 F2A + F2B + AB =4a=20, F2A +IF2B =12，所以 AB =8.【思路点拨】在圆锥曲线中，当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时，注意应用其定义建立等量关系进行解答.2、利用定义2 2 2例：已知椭圆X6+笃=1与双曲线X3 y2= 1的公共焦点F1, F2,点p是两曲线的一个公共点，1113则 cos/ F1PF2 的值为（） A.4 B.3 C.9 D.”审题视点结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求.B 因点P

4、在椭圆上又在双曲线上，所以 |PF1|+ |PF2|= 2 ,6, IPF1|PF2|= 2 3.设門| |PF2|,解得 |PF1|= 6+ .3, |PF2|= .6 .3,方法锦囊：涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线由余弦定理得沁F时幕1/唧的定义涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离.丫+也-也f-16=片卜 3 .6- ；33.变式：2 21、（2011青岛模拟）已知Fi、F2是椭圆C：拿+古=1（a b 0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 薛薛2.若 PF1F2的面积为9，贝U b =.审题视点关键抓住点P为椭圆C上

5、的一点，从而有|PF1|+ |PF2|= 2a,再利用 弗1丄弄2, 进而得解.解析 由题意知|PF11 + |PF2|= 2a,弗1丄PF2,2 2 2 2 2 2 |PF1| + |PF2| = |F1F2| = 4c，二（|PF1|+ |PF2|） 2|PF1|PF2|= 4c ,2222-2|PF1|PF2|= 4a 4c = 4b . /. |PF1|PF2|= 2b , SA PF1F2= |PF1 |PF2|= 1X 2b2 = b2= 9. b = 3.答案 3方法总结：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|P

6、F 1| |PF2|;通过整体代入可求其面积等.22、 已知 ABC的顶点B, C在椭圆x3 + y2= 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC边上，则 ABC的周长是（）.A . 2,3 B . 6C. 4.3 D . 12解析 由椭圆的定义知：|BA|+ |BF|= |CA|+ |CF|= 2a,周长为4a= 4 3（F是椭圆的另外一个焦点）.答案 C2 2x y3、 已知F1, F2是椭圆16+ 9 = 1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于 A, B两点，在 AFB中， 若有两边之和是10,则第三边的长度为（ ）A. 6 B . 5 C . 4D . 3解析：选A由椭圆

7、定义，知 AFB的周长为4a= 16,故所求的第三边的长度为16 10 = 6.2 24、 已知F1, Fa是椭圆 y 1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于 A（X1,yJB（X2,y2）两2516点， AFB的内切圆的周长为 竈，则|y1丫2|为（）A.5B. 10C.D33331解析：选A由椭圆定义，知 AFB的周长为4a= 20, , S -二r2 -二 r ：211115AF1B 的面积为 s, TS4a _r222233、转化定义2 22例：设椭圆X + y = 1和双曲线y x2= 1的公共焦点分别为 F1、F2, P为这两条曲线的一个2 m3交点，贝V |PF1| |PF2|的值等

8、于 .解析：焦点坐标为(0,塑)，由此得m 2 = 4,故m = 6根据椭圆与双曲线的定义可得|PFi|+ |PF2|= 2 6, |PFi|PF2|= 2 .3 两式平方相减得 4|PFi|PF2| = 4X 3, |PFi| |PF2|= 3. 知识总结：要深刻理解椭圆的定义， 其定义是由椭圆上得点到焦点的距离来刻画的，只要涉 及椭圆上的点到焦点(定点)的距离时多考虑椭圆的定义。变式练习：2 21. 已知P为椭圆穆+奚=1上的一点，M N分别为圆(x + 3)2+ y2 = 1和圆(x 3)2+ y2 = 4上 2516的点，贝U | PM +1 PN的最小值为()A. 5 B . 7 C

9、 . 13 D . 15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且| PF| + | PF2| = 10， 从而| PM + I PN的最小值为|P冋+ | PF2| 1 2 = 7.2 2x y2. 设F1, F2分别是椭圆25+ 16= 1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点 M的坐标为(6,4)，则| PM + | PF|的最大值为.解析：|PF| + | PR| = 10, |PF| = 10|PB| , | PM + |PF| = 10 + |PM |PF|，易知点 M 在 椭圆外，连接 MF并延长交椭圆于 P点，此时| PM | P冋取最大值|MF|，故|PM +

10、 | PF|的 最大值为 10+ | MF| = 10+(6二3厂42 = 15.点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.2 23. 已知P为椭圆 笫+ y = 1上的一点，M N分别为圆(x+ 3)2+ y2 = 1和圆(x 3)2+ y2= 42516上的点，贝y | PM + | PN的最小值为( )A . 5 B . 7 C . 13 D . 15 解析：选B由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2分别是两圆的圆心，且|PF| + | PR| = 10,从 而| PM + |PN 的最小值为 | PF| + |PB| 1 2 = 7

11、.题型二：椭圆的标准方程和性质例：例于2,则C的右焦点为F(1,0)，离心率等2 2x y1(1)(2013 广东高考)已知中心在原点的椭圆2 2x yB. + 一3 = 1 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点2yC. 7+2 = 1 d. 7 +E =1F1, F2在x轴2 2c的方程是()a. +y = 1 34)在平面直角坐标系-岳阳模拟 上，离心率为*.过(2014F1的直线l交椭圆C于A, B两点，且 ABF的周长为16,那么椭圆 C的方程为.1 C 1222解：(1)由右焦点为F(1,0),可知c= 1,因为离心率为-,即=-,故a= 2,由a = b + c ,2 a 22 2

12、知b2 = a2 c2 = 3,因此椭圆C的方程为弓+ y = 1.43 由厶ABF的周长为4a = 16,得a= 4,又知离心率为 ，即-=乎，c = a= 2 . 2,所2 a 222 2 以a2 = 16, b2 = a2 c2= 16 8 = 8,所以椭圆C的方程为令+ y = 1.16 8【互动探究】 在本例 中若将条件“焦点在 x轴上”去掉，结果如何？2 2解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为 魚+鲁=1;当焦点在y轴上时，椭圆2 2 2 2y卜8 = 1.综上可知c的方程为祐+鲁用待定系数法求椭圆方程的一般步骤x轴上，2设方程：根据上述判断设方程才+p= 1(ab0

13、),的方程为16【方法规律】(1)作判断：由条件判断椭圆的焦点是在2x还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；2 2x y22仔 + a2= 1( ab0)或 mx+ ny = 1( n0,n0).(3) 找关系：根据已知条件，建立关于a, b, c或m(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为变式练习1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过A (3,0 ),并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程解：法一：分类讨论焦点的位置求解。n的方程组;再定量”，不能确定焦点的位置时,2 2mx+ ny = 1( m0,

14、n0).先定2 ,法二：设椭圆的方程为:2 2x y1(m0, n 0, m = n).m n/殳1由题得：m解得:24m=324n2jn=3_2vm2所以椭圆的方程为：-92 2=1 或.1=181922.(2012山东)已知椭圆 C: a +淳=1(ab0)的离心率为甲双曲线x2 y2= 1的渐近线与椭圆C有四个交点,2 2+ 匚=1A. 8 2以这四个交点为顶点的四边形的面积为2 2B.& + y = 112 616，则椭圆C的方程为 ()2 2d.m + y = 1205解析：椭圆的离心率为宁C= a b =-t3, a= 2b.椭圆方程为a a 2x2 + 4y2 = 4b2.双曲线

15、x2 y2= 1的渐近线方程为 xy= 0,渐近线x= 0与椭圆x2+ 4y2= 4b2在第一象限的交点为2.5. 2 5由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2i_5b x _5b= 4,552 2 b2= 5, a2= 4b2= 20. 椭圆 C 的方程为茅 5 = 1.点评：已知椭圆的性质求标准方程的步骤：一确定焦点位置即椭圆的方程的形式；二建立 a,b,c的方程关系求其值；三写出标准方程。题型三：椭圆的重要性质 -离心率椭圆离心率的求解是高考的一个热点，分离心率的值的求解和取值范围的求解。特别是离心率的取值范围的求解更是一个难点。1离心率的值的求解求解时若方程给定分别求a,b

16、, c；若不知方程构建a, c的齐次式两边同时除以a得e的方程，以此解e。2 2x y示例：如图A B、C分别为云+ b2= 1 (ab0)的顶点与焦点,若/ AB(=90。，则该椭圆的离心率为()A.1+ .52B. 1 22 G2 - 1D.a= 1,即1 e= 1.ae解之得e =1土 *52又e 0, e= - 1 ；5.答案：a解析：|AB2 = a2+ b2, |BC2= b2 + c2, |AQ2= (a+ c)2./ABC90,.| AQ2=|AB2 + | BQ2，即(a+ c) 2= a2+ 2b2+ c2, 2ac= 2b2，即 b2= ac. /. a2 c2= ac.

17、 /.点评：求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a, c的值；二是由已知条件得出关于 a, c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.变式2 2x y1 .把条件A B、C分别为-2+ 2= 1 ( a b 0)的顶点与焦点，a b22若/ ABC90“改为“ R、F2分别为椭圆 笃+每=1(ab0)，的左、a b右焦点，A为椭圆的上顶点，直线 AB交椭圆于另 一点B.若/ RAB=90 ”求椭圆的离心率;解：若/ F1AB= 90,则厶AOF为等腰直角三角形， 所以有 6= OE，即 b= c.所以 a= ,2c

18、, e= ： = #2 22.把条件“ A、B C分别为+占=1 (ab0)的顶点与焦点，若/ AB(=90 ”改为“椭圆通过A, B两点，它的一个焦点为点 C,且AB= AC = 1, BAC=90，椭圆的另一个焦点 在AB上”，求椭圆的离心率为 .解析：设另一个焦点为F，如图所示，T |AB|=|AC|= 1 , ABC为直 角三角形， 1 + 1 + 2 = 4a,则 a = 2+2,设 |FA| = x,x+ 1 = 2a,1 x+ 2 = 2a,I 1 +3.把条件“ A B C分别为2 2a2+b2=1 ( a b 0)的顶点与焦点，若/AB(=90“改为“ F1、 c=屮，e=

19、a = 6 3. 答案 -J6 3F2分别为圆锥曲线的左、右焦点，曲线上存在点P使| PF| ： | F1F2I ： | PF| = 4 : 3 : 2,则曲线r的离心率等于()1亠32亠1亠2亠3A.或 B. 或2 C. 或2 D. 或三2 2323 2解：设 | F1F2I = 2c(c0)，由已知 | PF| ： | F1F2I ： | PFF = 4 : 3 : 2，得84口|PF| = 36 |PF = 3c，且 |PF| P冋，c 1若圆锥曲线为椭圆，则 2a= | P冋+ |P冋=4c，离心率e=-=&；a 24c 3若圆锥曲线为双曲线，贝U2a= | PF| | PF| =c，

20、离心率e=-=厅，故选A.3a 24.椭圆x22y2 (a b 0)的左、右顶点分别是 b2A，B左、右焦点分别是 F1，F2.若|AF1|，|FF|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 【知识点】椭圆的基本性质；离心率 .2 2x V解：因为椭圆 2 =1 a b 0的左右顶点分别为 A B，左右焦点分别为 FF2，若a b|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列 AF1 二 a-c, RF2 = 2c, F1B 二 a c，a -c a c = 4c2 a2 =5c2 e【思路点拨】直接利用椭圆的定义，结合|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，即可求出椭圆的离心率2

21、2x V5.已知椭圆a5+ b2 = 1(ab0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F， FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率A.B.,5 12C.)D.3 +14解：选 B 由题得 a2 + b2 + a2 = (a+ c)2,222即 c + ac a = 0，即 e + e 1 = 0,得 e=又因为e0,故所求的椭圆的离心率为2 2x V6.设椭圆C：-+2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点，PB丄F1F2,a b/ PF1F2 = 30解析：选D所以e= 2c=2a | PF| + |P冋2 27.已知椭圆C: x2 +a，则C的离心

22、率为()A. b C. 1 D.电3在 Rt PFF1 中，令 | PF| = 1，因为Z PFF2= 30，所以 | PF| = 2, | F1F2I =3.I F冋=3 .D.y2= 1(a b 0)的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点,连接AF,A.|C.5D.6解析：在厶ABF 中，由余弦定理得 |AF|2= |AB|2 + |BF|2 2|AB| |BF|cos/ ABF , |AF|2= 100 + 64 128 = 36, AF|= 6,从而 |AB|2= |AF|2 + |BF|2，贝U AF丄 BF .1-c= |OF|= 2|AB|= 5,利用椭圆的对称性，设

23、F为右焦点，贝U |BF |=|AF|= 6, 2a =|BF|+ |BF |= 14, a = 7因此椭圆的离心率c 5e= = a T2 2x y8.椭圆r :孑+話=1(ab0)的左、右焦点分别为与椭圆r的一个交点 M满足/ MFF2= 2 / MFF1，则该椭圆的离心率等于Fi, F2,焦距为2c.若直线y=3(x+ c)4BF.若|AB|= 10, |BF|= 8, cosZ ABF =，贝U C 的离心率为()5解析：如图， MFR 中，/ MFF2= 60, / MFF= 30, / RMF= 90,又 | F1F2| = 2c,c 2| MF| = c, |MF| = .；3c

24、,.2a=| MF|+ |MF|= c+ 3c,得 e = = 3 1.a 3 + 12、离心率的取值范围的求解解题的关键在于如何建立不等关系定离心率的取值范围2 2示例：椭圆G :令岂-1(a b 0)的两焦点为F1(-c,0), F2(c,0),椭圆上存在点 M使a bFM F2M =0.求椭圆离心率e的取值范围;解：设 M(x, y),FM F2M 0二x2y2-c2将y2二 b2b 2222 x代入得x 二a aa2b222 2 :;20 _ x a 求得 e ： 1 .2点评:2X2a2+計1(amo)中x ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视变

25、式1.把条件“椭圆上存在点M使FM F2M =0 ”改为“满足MF, MF2 =0的点M总在椭圆内部”则椭圆离心率的取值范围是()A. (0,1) B . (0 ,弓 C . (0, #)D . -T2, 1)解析：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a b、c,I IMF, MF =0, M点的轨迹是以原点 O为圆心，半焦距 c为半径的圆.又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cv b, c2 b2= a2- c2.- e = a2 2, 0 ev#.答案： C2将条件“椭圆上存在点m使FM F21M -0”改为“椭圆上存在p满足PF, PF2 =0且有且只有两个这样的点求离心率的值？若这样

26、的点有且只有四个呢？ 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,I I MF, MF =0,当这样的点有两个时 M点在椭圆的短轴端点上.b = c,即 a = 2cc42.e 二a 2当这样的点有四个时则b c 即 a2 : 2c2 所以: e : 123.把条件“椭圆上存在点m使FJM F2M0 ”改为“在椭圆上存在点p,满足|PFi|=5|PF2| ”则椭圆的离心率的取值范围为()。a5a5a解：/|PFi|=5|PF2|, |PFi|+|PF 2|=6|PF2|=2a , |PF2|, |PFi|，所以a 2c333322所以 e b0), | PF| = m I PFd =

27、n.在厶PFF2中，由余弦定理可知，4c2 =m2 + n2 2mncos60.m n = 2a, m2 n2 = (m n)2 -2mn = 4a2 -2mn4c2 =4a2 -3mn,即3mn =4a2 -4c2又；mn （m n）2 二 a22222 C 13a - 4a 4c ,.a 21 i.e ,又;0 ： e ： 1, e : 12 2. . 2 25.已知椭圆x + my= 1的离心率e(0 3、0厂JI 4丿解析：选C在椭圆A.B.Cmy= 1 中，丄,1 ，则实数m的取值范围是()20；433-ksc |D.当 0m1 时，a2= mm11 m=1 mm11 m11C2.2

28、 “ 2 2 2 2b = 1, c = a b = 1，二 e = 2 ma11” E3又2e1,. 41 m1,解得 0m1 时，a2=1, b2=m 沦1-m，e2=1114又 2e1，A 41 m3,综上可知实数 m的取值范围是 0,4U3,xcI 3八3丿点评：在解题学习课或试卷讲评课的教学过程中，利用此类变式问题可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力、探究创新的能力以及灵活多变的思维能力。解题策略：1. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1) 作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；2 2 2

29、2(2) 设方程：由上述判断设方程 2 + y2= 1( ab0), X2+ y= 1( ab0)a bb a22或 mx+ ny = 1(m0, n0). 找关系：根据已知条件，建立关于a, b, c或m n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，22可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx+ ny = 1( m0, n0).2. 利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x, y的范围，离心率的范围等

30、不等关系.利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴 等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.2.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a, b, c的等式或不等式，利用a2= b2 + c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.巩固提高右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么.1 C . 2 D . 2 2f2 =(1 -xo, yo),| =；.：4xo+ 4yo = 2、2 2yo + yo = 2 %； yo+ 2.pf1+tf2 i取最小值为2.1.已知点F1, F2分别是椭圆X2

31、+ 2y2 = 2的左、 | PF1 + TF2 |的最小值是()A . 0 B 解：设 P(X0, yo)，则 PF = ( 1 X0, yo), pf1+pf2 = (2xo, 2yo), | pf1+f2.22点P在椭圆上， 0bo)的左、右焦点分别为 F1、F2, P为椭圆M上任一点，且PFi PF2的最大值的取值范围是1 1 1是( )A . 4，2】B .【2,c2,3c2,其中c= .a2 b2,则椭圆M的离心率e的取值范围】C. J “1D. -, 1)解析设 P(x, y), Fi(- c,0).F2(c,0)，则 PF 1 = ( c x， y), pf2= (c x， y),PF1 PF2 = X2 + y2 c2.又x2 + y2可看作P(X, y)到原点的距离的平方，所以(/+ y2)max= a2,12 c2 2c2，即1 w e2b0)的离心率为1 2e=2 右焦点为 F(c,O)，方程ax2 + bx c= 0的两个实根分别为X1和X2,则点Pg,x2 + y2= 2 内x2 + y2= 2 外A .必在圆C.必在圆解析T Xi + X2ba，X2)B.必在圆x2 + y2= 2上D.以上二种情形都有可能2 2c 2.2,.?q