复积分的各种计算方法与应用

1、第1章引言1.1研究背景及研究内容复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重 要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问 题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运 用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要复积分中的Cauchy积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计 算却需要Laurent展式.因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至 是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，

2、研究复变函数积分计算的各 种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献3中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献4-7的结果，总结复积分计算的各种方 法，并通过应用1,2,8,9中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.1.2预备知识定义1.1 3复积分 设有向曲线C : z = zt , r t ，以a = z 为起点，b = z ：为终点，f z沿C有定义.顺着C从a到b的方向在C上依次取分点：a =Zo,Z1,，Zn4,Zn二b.把曲线C分成若干个弧段.在从Zk到Zk k=1,2,.,n的每 n一弧段上任取一点k .作成和数Sn八f k，其中込=互- Zk.

3、当分点无限 增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数Sn的极限存在且等于J，则称f z沿C (从a到b )可积，而称J为f z沿C (从a到b )的积分，并记以 Jcf(z)dz. C称为积分路径.fc f (z dz表示沿C的正方向的积分，Jc_f(zdz表 示沿C的负方向的积分.定义1.2 3解析函数 如果函数f z在Z0点及f z的某个邻域内处处可导，那么称f z在Z0点解析，如果f z在区域D内解析就称f z是D内的一个解析 函数.定义1.3 孤立奇点 若函数f z在点的z邻域内除去点z外处处是解析的， 即在去心圆域N&Z0)=z Z Zo| 右内处处解析，则称点Z0是f(z)的

4、一个孤立奇 占八、定义1.4 留数 函数f(z在孤立奇点z0的留数定义为 士 J(z)dz，记作 Res|_f z ,zo .第2章复积分的各种计算方法2.1复积分计算的常见方法(1) 参数方程法定理 设光滑曲线C:z=z(t)=x(t) iy(t)(： rt), (z(t)在：上连续,且 z(t)=O)，又设 f(z)沿 C 连续，则 f(z)dz二-fz(t)z(t)dt.(、1 分别与c応起、终点对应)1.若曲线C为直线段，先求出C的参数方程C为过Zi,Z2两点的直线段，C :z = z+亿-zjt, t乏0,1, z为始点，Z2为终占八、i例1计算积分Rezd z，路径为直线段.解设

5、z = -1 (i 1)t=(t1) it,t 0,1，则i11 2Rezdz 二 0(t -1)id -t-t i2.若曲线C为圆周的一部分，例如C是以a为圆心，R为半径的圆. 设C : z-a二R，即a ReU 0,2二，(曲线的正方向为逆时针) 例2计算积分J zdz,C为从-1到1的下半单位圆周解 设 z = eiTl, d z = ie v, v -比0，J zdz=J i(cos+isin日)d 日=2.CJI用Green公式法也可计算复积分，Green公式法是参数方程法的一种具体计 算方法.例3设C为可求长的 简单闭曲 线，A是C所围区域的面积，求证： zdz 二 2iA .c证

6、明设x iy，贝uzdz xdx ydy i xdy - ydxccc由Green公式，有：xdx ydy =0cc xdy -ydx = 2A得证本题目用Green公式解决了与区域面积有关的复积分问题(2) 用Newton-Leibnize公式计算复积分在积分与路径无关的条件下(即被积函数f z在单连通区域内处处解析)也可直接按类似于实积分中的 Newton-Leibnize公式计算.例 4 计算:(z 2)2dz.解 因为f(z) =(z 2)2在复平面上处处解析，所以积分与路径无关2 2N (z 2)2dz =j (z2 4z 4)d z =132z 2z 43_2 -i_2(3) 用C

7、auchy定理及其推论计算复积分Cauchy积分定理 设函数f(z)在复平面上的单连通区域 D内解析，C为D内任一条周线，则.f(z)d z = 0. CCauchy积分定理的等价定理 设函数f (z)在以周线C为边界的闭域D = D C上解析，贝U . f (z)d z = 0C例5计算CtC为单位圆周z =1.z =1 是 f (z)=12z 2z 2的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy积分定理注1利用Cauchy积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析 区域是单连通的，计算起来较为方便.注2此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy积分定理很简单 另外，Cauchy

8、积分定理可推广到复周线的情形.定理3设D是由复周线 C0 Cf CC所围成的有界n，1连通区域，函数f z在D内解析，在D二D C上连续，则.f zdz = 0， C或写成 C f zdz ,_f zdz ,_f zdz = 0.或写成 c f z dz c _f z dz c_f zdz = O.这也是计算复积分的一个有力工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区 域内边界积分的和适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形例6计算j 生dz的值，C为包含圆周z=1的任何正向简单闭曲线.C z -z解二 -dz，分别以z=0,z=1为心做两个完全含于C、C Z-Z9z -1 丿d z且互不相交的

9、圆周C-, C2，则有2z2 z - z1111d zd zd zd zC1 zC1 z - 1C2 zC2 z _ 1=2二 i 0 0 2 二 i = 4: i .(4) 用Cauchy积分公式计算复积分Cauchy积分公式 设区域D的边界是周线(或复周线)C, f(z)在D内解析,在D = D C上连续，则有f (z)1(zD).2加C C -zCauchy积分公式可以解决积分曲线内有被积函数的奇点的积分问题z例7计算JC 土 dz，其中C为圆周z=2.解因被积函数的两个奇点是i,-i，分别以这两点为心做两个完全含于C且互不相交的圆周g,c2.则有zd z =2z21C1 z2 1z=

10、2：i ez izjdz+J2 Czdz= f2 z2 1C1 Z Tz2i ez三z-e4).z=rize壬1dzC2 z i此题是Cauchy积分公式与Cauchy积分定理复周线情形的结合.(5) 用解析函数的高阶导数公式计算复积分Cauchy积分公式解决的是形如f( )d ,( D)的积分，那么形如C r Z-f-d ,( D)的积分怎样计算呢？C( - z)n利用解析函数的高阶导数公式f(n)(z) n! U )-1d ,(z D) (n=1,2,)可2也C (匚z严解决此问题.z例 8 计算2e 2dz,C 为 z=2.C(z2+1)2解因被积函数的两个奇点是i,-i，分别以这两点为

11、心做两个完全含于 C而且互不相交的圆周Ci,C2.22 dz(z2 1)2Ci(z2 1)2dz.22 dzC2 (z2 1)2ze(z i)2dz ze(z-i)2Ci (z _i),2 d zC2 (z i)2=2二i - 22_(z i)ez1Fz=t：,ez兀i_L)注Cauchy积分公式与解析函数的高阶导数公式在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数是否为一次因式，二者在计算时都常与Cauchy积分定理复周线情形相结合(6) 用留数定理计算复积分留数定理 设函数f z在以C为边界的区域D内除ai,a2/ ,an外解析，且连n续到 C，贝U f zdz=2二Resf z .C心厲

12、5z -2z(z-i)2解心叮打在圆周“内有一阶极点，二阶极点zRes f 5z_2FZeisf(z) =2，由留数定理ZdzBi Rze1sf(Z) FZe0sf(Z) =2：i(2-2)e留数计算方法的改进留数是复变函数中的一个重要的概念，一般的复变函数专著对函数在极点处的留数通常采用下面三个引理中叙述的计算方法进行计算，即 / ( z)引理1 若a为f (z)的m阶极点，即f(Z)二,其中- (z)在a解析,且(z a)(a) = 0 ,则 Res f (z)=z =af(z)：(z)(z)其中:(z )二z (在a解析，;:(a戶 0,- (a)=0(a)=0.贝U Re s f (z

13、)=z=a(a)(a)引理3设f (z)在扩充复平面上除印总；,an,：外解析,，则f(z)在各点的n留数总和为零，即Resf (z) 7 Resf(z)=0.在实际运用中，发现以上三个引理所给公式应用范围有限，对有些留数的计算效果不佳.为了使计算简化、公式更为通用，下面通过三个定理给出三个改进的留数计算公式，并相应的给出算例定理16设a是h(z)的m阶零点，也是g z的m阶零点，贝U f(z) = g1dm点的留数为Res f (z)-lim訂z=a(mT)! dz证明 因为a为f (z)的m-n阶极点，贝U f (z)在点a的邻域内可展开为z :a(z-a)mf .h(z)在 af (Z)

14、二Sm*)(z-a)如刖 G如/z-a)1切 (z-a)1 C。Vz-a)则(z-a)m f (z)二C“r)(z-a)n C13_n)(z-a)n 1C/(z-a)m* C(z-a)m两端求m -1阶导数，令z_. a，则Cj1d心(1)!ZmadzmJL运用定理1只需判断f(z)分母零点的阶数，不必判断分子的零点阶数及f极点的阶数，它简化了一些分式函数留数的计算推论16设f(z)=禺，其中“z)在点a解析，则里sf(Z)=F 心)(a).例 10 求 f (z)=(1-e2z)2z5在孤立奇点处的留数解 因为z=0是h(z)=z5的5阶零点，据推论16，有即冷四禺(z5 f(z) T四(1

15、)2定理26设a为f(z)=(彳的一阶极点，且:(z)/ (z)在a解析，z二a为 :(z)的m阶零点，为*的m 1阶零点，贝U Res f二也盟 色.心(a)证明由假设可得 二am(za)m am1(za)m1(z)二1(za)m 1 bm2(z a)m 2 :又a为 f (z)的一阶极点，贝U f (z)二Cz-a) C0 G(z-a) ，即(z)(z) C(z-a)Co Cjz-a).比较系数得C_,如，而bm出am(m (am!a(m1)(m 1) (m)(a)(a)例11计算积分| zsin;.帕(1ez)3解被积函数在单位圆内只有z=0 个奇点，且z = 0是*二(1 -ez)3的

16、三阶零点，是，(z)二zsin z的二阶零点，又:(z)二 2cos z 一 zsinz,(z) - -3ez 24e2z 一 27e3z.由定理 2-，得 Resf (z) J2 1(3)(2)(O-1.z 卫 屮(3) (0)另外，对于多个奇点留数的和利用定理1、定理2相当麻烦，于是通过对引理3进行改进得到如下一种更简便的方法定理36设f(zP(z)，其中P(z)yzn何显卫十0)，Q(z)Q(z) =bmzm - bmlzml -(bm -0)，则有以下结论：(1) 当 m_n_2 时，Resf(z) = 0 ；z攻当m n =1时,Re s f (z)二anbm(3)当 mn 乞 0

17、时，设 P(z)二R (z)Q(z) r(z)，其中 R(z),r(z)为 z 的多项式，且 r(z)的次数小于m，则Res f (z)Resz =:r(z)Q(z)化为1)或2)此定理的结论是求有理函数f (z)在：点留数的一个好方法，使用起来很方便.当分 子次数比分母高时，可用综合除法转化为1)或2)的情形.15例12计算积分I2吕4 dz.卡H(z2 +1)2(z4 +2)解 被积函数在|z=4内部有6个奇点，计算它们十分麻烦，利用留数定理及引理 3 3有 I =-2二iResf(z).再利用定理 3 6， am =1,5=1，则Z攻aR es f (z=) - m = -，故 I =2

18、 二 i.z - -bmz2n zn +4例 13 求 Iz一2dz (n N).z=2 zn 1解 设被积函数f (z)的n个极点为zk (k =1,2/ n)，并且f (z)在z=2外部无极点，利用留数定理及引理33，nI =2二卜 Resf (z) = -2二i Res f (z)，而 f (z)二 k4 T52n n二1 = Zn -2 亠,利用定理z 1z 1=-2 i Res-z- z0, n 1;6i, n =1.36注 运用定理36 求有理函数f(z)在二点的留数特别简洁，并且利用它求f(z)在孤 立奇点的留数可以达到事半功倍的效果.(7) 用级数法计算复积分连续性逐项积分定理

19、3设fn z在曲线C上连续(n =1,2,3,)，L fn z在Cn吕上一致收敛于f z ,则f z在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：L云fn (z dz = f (z Jdz 将函数展成Taylor级数或Laurent级数就解决了该类复 n 4积分的有关问题例14计算积分(迟zn dz, C : z=j1 11 解在z2内，有：三宀；+仁所以f閃)门 1I 送 zn dz = f I + dz = 2兀 i + 0 = 2兀 i 丿Uz 1-z 丿例15设f (z 在圆环0aza f z =0，证明:在圆环 0vz-avR 内，有 f(z) =f (z)在圆环 0 |z -a:内解析f(尸

20、瓦n(C- R0v|z -a ，RF是.2j,n 十CoC 3C(z a)f =C(za)+G(za) + +C(z a) + +C-+亠 + z_a (z_a)(z_a)由 |im (z a )f (z )=0，得 = C2 二=C_n =0，zaqQ则f (z )=无CnZn在ZavR内解析，根据Cauchy积分定理可得：n=0f Z -f dz 0 ： r R . 丿 2兀iEunz(8) 用Lap lace变换法计算复积分定义4设f t是定义在0,二 上的实函数或复函数，如果含复变量 p is (匚,s为实数)的积分： f t edt在p的某个区域内存在，则由此积 分定义的复函数 F

21、p二o f t edt称为函数f t的Laplace变换，简记为 F p 二L f t .计算该类复积分时，可先运用Laplace变换的基本运算法则(线性关系、相似定理、位移定理、象函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积 定理等)，将该类复积分化为F p的形式，再参照Laplace变换表，得出相应的 复积分结果.: 1 1例16计算积分 :cose*dz.0 寸az2 az1 1解令 f az ：-cosJa 兀 z 2az由相似定理有 L f az二丄F卫a a J由Lap lace变换表得所以:1 11cose YZdz 二 一 F0 az 2azaa1a, p/ae_ p

22、/a cos、, p/a2.2各种方法的选择原则及其联系上一节给出了复积分的各种计算方法那么,碰到有关复积分计算的题目时, 我们到底应该如何选择具体的计算方法，简便而快捷地进行计算呢这是本节所要 探讨的主要问题.我们知道，复积分是由三部分构成的，即积分路径、被积函数以及积分微元。 其中积分路径和被积函数对复积分起着决定性的作用.因此，如何才能正确选择上 节中的各种复积分计算方法进行复积分的计算就要从这两方面进行分析(1) 若所给复积分的积分路径是闭的，则有以下两种情况：1. 被积函数为解析函数时，可选用 Cauchy积分定理及其等价定理直接得出结 果；2. 被积函数在积分路径所围区域内有奇点时

23、，则需根据奇点个数进行讨论： 若奇点个数有限，则可选用Cauchy积分公式、高阶导数公式或留数定理进行计算； 若奇点个数无限，则可先对奇点类型进行判断，再利用参数方程法进行计算(2) 若所给复积分的积分路径是非闭的，则有以下两种情况：1. 被积函数为解析函数时，则可选用Newt on-Leib nize公式进行计算；2. 被积函数为非解析函数时，可选用参数方程法进行计算.在很多复积分的计算中，Cauchy积分公式、高阶导数公式在运用往往与 Cauchy 积分定理相结合，还有一些题目也常常需要将Cauchy积分公式与Cauchy积分定理相结合.因此，复积分的多种计算方法在应用时并不是完全独立、没

24、有联系的.例如，Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式就是留数定理的特例. 下面给出说明.Cauchy积分定理 设函数f(z)在复平面上的单连通区域 D内解析，C为D 内任一条周线，则.f(z)d z = 0.CCauchy积分公式设区域D的边界是周线(或复周线)C, f(z)在D内解析，在D = D C上连续，则有f(z)二丄上 (z D).2兀i 9z尸高阶导数公式 f (n)(z) n! d ,(zD)( n=1,2,)2町、C (： _z)留数定理 设函数f z在以c为边界的区域D内除ai,a2,，务外解析，且连n续到 c，贝U f z dz =2二宀 Resf z

25、.ck4 z-k说明(1)根据Cauchy积分定理，函数f (z)在复平面上的单连通区域D内解析，即函数f(z)在D内无奇点，故可解释为奇点处的留数之和为0.则根据留数定理，有c f (z)d z=0.(2) 令F 二一，根据Cauchy积分公式的条件可知，F 作为一Z的函数在D内除点z外均解析.根据留数定理，F d =2二iResF .cjT且.二 Z为 F的一阶极点，故 ResF - -z i f z .12二i c -z即 cF d =2二if z . . f z 二石 cF d 二(3) 高阶导数公式是在Cauchy积分公式的条件下得到的，这里令亠F 二 _.根据Cauchy积分公式的条件可知，F 作为的函G-z)数在D内除点z外均解析，根据留数定理，有 cF丄2二iRejsF.且.=z为F的n 1阶极点，故ResF-z即 F d 2二 i*cn!f(n) z 吩参考文献1 刘玉琏等编数学分析讲义上、下册（第五版）M.高等教