北京市西城区2011年高三一模数学试卷及答案(理)

1、、选择题：本大题共 8小题，每小题 符合题目要求的一项.北京市西城区2011年高三一模试卷学(理科)2011.45分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出1.已知集合a x z x 5, bxx 2 0,则 ap b等于(a) (2,5)(b) 2, 5)(c) 2,3,42 .下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(a)y2凶(b)y x2 x(c)y2x3 .设 a log 2 3, b log 4 3, c 0.5,贝u(a)cb a(b)bca(c)bac(d) 3,4, 5,、3(d) y x(d) c a b4.设向量a(1,sin ), b (3sin ,1),且 a

2、/b ,则 cos2 等于(a) -(b)5.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 则处应填的数字为31,(c)(a) 4(b) 5(c) 6(d) 7(d)6.已知函数 y sin x cosx ,y2j2sinxcosx,则下列结论正确的是(a)两个函数的图象均关于点(一,0)成中心对称4(b)两个函数的图象均关于直线x一成中心对称4(c)两个函数在区间(一，一)上都是单调递增函数4 4(d)两个函数的最小正周期相同1 .7.已知曲线 c:y (x 0)及两点 ai(xi,0)和 a2(x2,0),其中 x2 xi 0.过 a, a2 分 x别作x轴的垂线，交曲线 c于bi, b2两点，直线

3、b1b2与x轴交于点a3(x3,0),那么(a) x,a,x2成等差数列2(b) xi,0,x2成等比数列2(c) xi,x3,x2成等差数列(d) xi,x3,x2成等比数列8.如图，四面体 oabc的三条棱oa,ob,oc两两垂直,oa ob 2,oc 3, d 为四面体oabc外一点.给出下列命题.不存在点d ,使四面体abcd有三个面是直角三角形不存在点d,使四面体abcd是正三棱锥存在点d ,使cd与ab垂直并且相等存在无数个点 d,使点o在四面体abcd的外接球面上其中真命题的序号是(a)(b)(c)(d)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.在复平面内，复数 -2

4、-对应的点到原点的距离为 .1 i10 .如图，从圆o外一点p引圆o的切线pa和割线pbc ,已知pa pc 4 ,圆心。到bc的距离为73 ,则圆o的半径为.x cos ,111 .已知椭圆c :( r)经过点(m,),则m y 2sin2率e .12 .一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为 .13 .某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有 种；如果进一步要求 3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有 种.14 .已知数列an的各项均为正整数，对于 n 1,2,3,，有

5、3an 5, an为奇数，an 1a当 a1 11 时,俯视图a100an-,an为偶数.其中k为使an 1为奇数的正整数 *右存在m n ,当n m且an为奇数时，an恒为常数p,则p的值为.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .(本小题满分13分)4设 abc中的内角a, b, c所对的边长分别为 a,b,c,且cosb - , b 2.55一一(i)当a 时，求角a的度数；(n)求 abc面积的最大值.316 .(本小题满分13分)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11，、 一 上一，一一口一4 ，

6、一，一，-,-,p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为2 3(i)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;(n)求p的值;(出)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为x ,求x的分布列和数学期望 ex .17 .(本小题满分13分)如图，abcd是边长为3的正方形，de 平面abcd, afde, de 3af ,be与平面abcd所成角为600.(i)求证：ac 平面bde ;(n )求二面角f be d的余弦值；(出)设点m是线段bd上一个动点，试确定点m的 位置，使得 am 平面bef ,并证明你的结论.18 .(本小题满分14分)已知函数f(x)吗1,其中a

7、0.x(i )求函数f (x)的单调区间；(n)若直线x y 1 0是曲线y f(x)的切线，求实数 a的值；(出)设g(x) xln x x2f(x),求g(x)在区间1,e 上的最大值.(其中e为自然对数的底数)19 .(本小题满分14分)已知抛物线y2 2 px(p 0)的焦点为f,过f的直线交y轴正半轴于点p,交抛物 线于a,b两点，其中点 a在第一象限.(i)求证：以线段 fa为直径的圆与y轴相切；(n)若 fa 1ap, bf2fa, 1,1,求 2 的取值范围.24 220 .(本小题满分13分)定义(a1,a2, ,an) |a a? | | a? a31闭1an |为有限项数

8、列an的波动强度.(i )当 an ( 1)n 时，求(4,|e100)；(n)若数列 a, b,c,d 满足(a b)(b c) 0,求证：(a,b,c,d) (a,c,b,d)；(出)设an各项均不相等，且交换数列an中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列an一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学(理科)、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案cbadbcad、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9. 210. 211.-534 212. 1213. 60, 4814. 62; 1

9、 或 5注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准名合分.15.(本小题满分13分)4 3斛：（i）因为 cosb ,所以 sin b - . 25 5分一 .5a b1因为 a ，b 2,由正弦定理 可得 sin a - . 43sin a sin b2因为a b,所以a是锐角，所以a 30o. 6 分1 3(n)因为 abc 的面积 s - acsin b 一ac 72 10分所以当ac最大时，abc的面积最大.因为 b2 a2 c2 2accosb,所以 4 a2 c2 -ac. 95分22.

10、一 .一 8因为 a c 2ac,所以 2ac - ac 4 , 115分所以ac 10,（当a c j10时等号成立）12分所 以 abc 面 积 的 最 大 值 为13分16.(本小题满分13分)解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件a1,a2,a3,依题意有11一,p(a) -,p(a2)-,p(a3) p,且 a,a2,a3相互独立. 23(i)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为12 21 p(a a2) 1 - - -. 32 3 3分(n)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 b ,则有1 2p(b) p(a a2 a3) = - - (1 p)2 3分1 p 11所

11、以-,p .344分(m) x的所有可能取值为 0,1,2,3 .,1所以 p(x 0)-,p(x1)p(aa21 114 23p(x2)p(a1a1 132 34p(x 3) = p (a1 a2a3) p(a a2 a3) p(a3 12 1114 2 3 4 24?a3) p(a a2 a3) p(a12 111112 3 4 2 3 4 4、1111) = 一一一.23424a2 a3)a2 a3)11x分布列为:x0123p1111142442412分6因为be与平面abcd所成角为600,即dbe 60：所以ed 3.db由ad 3可知de 3j6, af 褥.b(3,3,0)c(

12、0,3,0),则 a(3,0,0) , f (3,0，电 e(0,0,3v6): 所以 bf (0, 3,76) , ef (3,0, 276)设平面bef的法向量为n （x, y, z）,则bfef即 3y &。, 3x 2.6z 0令z 褥，则n （4,2,褥）.(3, 3,0),因为ac 平面bde ,所以ca为平面bde的法向量,所cos n,cann63、 261313面角为锐角面角fbe d的余10分1313（出）解：点m是线段bd上一个动点，设m(t,t,0).即 4(t 3) 2t 0,解得 t2.1112此时，点m坐标为（2,2,0）bm1 ” 一一bd ,符合题意.3131

13、8.（本小题满分14分）解:a(2 x) f(x) t(x0),在区间(，0)和(2,)上,f (x) 0;在区间(0,2)上，f (x)0.所以，f(x)的单调递减区间是,0)和(2,),单调递增区间是(0, 2).v。a(x0 1)(n)设切点坐标为(x0, v0),则xa(22xv0 1 0%)117分(1个方程1分)解得x01.(出)g(x)x in xa(x1)贝 u g (x)解 g (x)in x0,所以，在区间在区间a(0, e/ a 1(e ,a 1e ,1)上,x0g(x)为递减函数,)上，g(x)为递增函数.10当ea即0 a 1时，在区间1,e上，g(x)为递增函数,所

14、以g(x)最大值为g(e)e a ae .11分e ,即a 2时，在区间1,e上，g(x)为递减函数,12分所以g(x)最大值为g(e)g(1) a所以，1 ag(1)2时,aeg(x)的最大值为g(e)和g(1)中较大者;g(x)最大值为g(e)13a 2时，g(x)最大值为g(1) 0.14综上所述，当0 a时，g(x)最大值为g(e) e a e 1ae时，g(x) e 1的最大值为g(1)0.19.(本小题满分解:(i )由已知14分)p2.f(2,0)，设 a(x,y1)，则 y 2px1,圆心坐标为(2xi p 当圆心到y轴的距离为2xi p圆的半径为_fa 122所以，以线段(n

15、)解法一：设(x1-p, y1)所以xi2x1 p4fa为直径的圆与y轴相切.p(0, y0),b(x2,y2),由fa 17p, bf 2fa,得p1( x1, y0y1), (- x2,1x1, y11(y0 y)，p.2x2、, p 、丫2)2(x1 l,%)，y22 y12pxi所以x22i ,y222 x1 .10分代入x2整理得x12y22 22 y1.22 x1p p(x1 p j(12)x1 2 (12)，12代入x12ip2 2141所以14,2.1 114因为_l _,_,所以2的取值范围是24 2解法二：设 a(x1, y1), b(x2, y2) , ab : xp 2

16、将x my 代入y2 pmy所以 yy2p2 (*),2fa,得所以,x1x2将y21(x,yo%），（万1为，必1（vo2(x1 -), y22丫1代入（*）式，得2vix2, y2)%), p 、2 (x1，y1)10分所以2 pxix112分代入x11 x113因为2的取值范围是4,2.314分20.（本小题满分13分）(i)解：(a1,a2|awo)i a a21 |a2 a31i | a99a100 |2 2 | 2 2 99 198 .3分(n)证明：因为 (a,b,c,d)| ab|bc|cd |,(a,c,b,d)|ac|cb|bd |,所以(a,b,c,d)(a,c,b,d)

17、 | a b| |c d | |a c| | b d |4分因为(a b)(b c) 0,所以 a b c,或 a b c.若a b c,则(a,b,c,d)(a, c,b,d) a当b c d时，上式 当b d c时，上式 当d b c时，上式 即当a b c时， 分 若 a b c,则(a,b,c,d)(a,c,b,d) bb所以，当(a b)(b c) 0时，b|cd|ac|bd| c b cbcd(bd)2(ccbdc(bd)2(dcbdc(db)0,(a,b,c,d)(a,c,b,d) 0.a | c d | c a | b d |, c |c d | |b d | 0.(同前) (a,b,c, d) (a,c,b, d)成立.|c d | |b d | b) 0, b) 0,6(m)证明：由(n)易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)下面来证明当a1 a2时，an为递减数列.(i)证明 a2 a3.若ai a3 a2,则由引理知交换a2,a3的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾若 a3 ai a2 ,则(a1,a2,a3)| aa? |a?si3 | aa? |a1a3|(a2,ai,si3)，与已知矛盾.所以，a1 a2 a3. 9(ii)设 a1 a2