北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学理试题

1、北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试(理工类)2013.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分第一部分(选择题共40分)、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.(1) i为虚数单位，复数的虚部是1 i(2)已知集合m x 2 x 3 , nc. 1id. 1i22x lg(x 2) 0 ,则 m。n(3)a. ( 2,)已知向量oa3,4 ,obb.(2,3)6, 3occ.(2,2m,m 11.若d./o1,3),则实数m的值为a.3(4)在极坐标系中，直线ao

2、b的大小为18. 一71 cos -与曲线2c.d.2cos相交于a, b两点，。为极点，则a . -b . -c.-(5)在下列命题中，“ 一”是“sin 1”的充要条件； 2d. 一6x 1 4-(- -)的展开式中的常数项为 2；2 x设随机变量n (0,1)，若1p( 1) p,则 p( 10) - p.其中所有正确命题的序号是a. (2)b.c.d./一 2 正视图(6)某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为a. 4b. 4.2c. 6.2俯视图d. 8(7)抛物线y22 px(p 0)的焦点为f ,已知点a, b为抛物线上的两个动点，且满足

3、afb120.过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn垂足为则 lmn i |ab|的最大值为a.b. 12.3c.3d.f(x)*2x 1,x nxo,nf (xo)f(xo 1)ihf (xon) 63成立，则称(xo,n)为函数f(x)的一个“生成点”.函数f (x)的“生成点”共有a. 1个b .2个c .3个d .4个二、填空题：本大题共(9)在等比数列an第二部分(非选择题共11。分)6小题，每小题5分，共3o分.把答案填在答题卡上.中，2a3 a2a4 o ,贝u a3bn为等差数列，且b3 a3,则数列bn的前5项和等于(1o)在abc中，a,b,c分别为角a,b ,c所对的边.

4、已知角a为锐角，且b 3asinb,(11)输出的结果s=(12)(13)如图，圆o是abc的外接圆，过点则 tan a .执行如图所示的程序框图,c作圆。的切线交ba的延长线于点 d .若cd 73,ab ac 2 ,则线段ad的长是.；圆。的函数f(x)是定义在r上的偶函数，且满足.若在区间2,3上方程f(x 2) f(x).当 x o,1时,f (x) 2xax 2a f (x) o 恰有24x y 0(2wxw4)上的一个动点，点c在线段oa的延长线上.当20时，则点c的纵坐标的取值范围四个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是(14)在平面直角坐标系 xoy中，已知点a是半圆x2三、

5、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 (15)(本小题满分13分)32x1 一已知函数f(x) sin x sin 一(0)的最小正周期为222(i)求的值及函数f(x)的单调递增区间;(n)当x 0,时，求函数f(x)的取值范围.2(16)(本小题满分13分)盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01,2 .称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响)(i)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(h)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(m)在两次试验中，记卡片上的数字

6、分别为,，试求随机变量x=的分布列与数学期望ex .(17)(本小题满分14分)如图，在 四棱锥 p abcd中，平面 pac 平面 abcd且 pa ac ,pa ad 2 .四边形 abcd 满足 bc ad , ab ad , abbc1 .点e, f分别为pe侧棱pb,pc上的点，且pepbpfpc(i)求证：ef 平面pad1(n)当 一时，求异面直线2(id)是否存在实数bf与cd所成角的余弦值;,使得平面afd 平面pcd?若存在,试求出 的值；若不存在，请说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数2f (x) x (a 2)x aln x 2a2 ,其中a 2.(i)求函数

7、f (x)的单调区间;(h)若函数f(x)在0,2上有且只有一个零点,求实数 a的取值范围.(19)(本小题满分14分)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c过点(1,y3),离心率为y3,点a为其右顶点. 22过点b(1q)作直线1与椭圆c相交于e, f两点，直线ae , af与直线x 3分别交于点m ,n .(i)求椭圆c的,方程；(n)求em fn的取值范围.(20)(本小题满分13分)设(x1,x2，w，x10)是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的任意一个全排列，定义10s( )| 2xk 3xk 1 | ,其中 x11 x1.k 1(i)若 (10,9,8,7,6,5,4,

8、3,2,1),求 s()的值；(n)求s()的最大值；(出)求使s()达到最大值的所有排列的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案(理工类)2013.4解：(i) f(x) sin 21 cos x3 .sin21 -cos2sin( x因为f(x)最小正周期为所以2.、选择题：题号(1)(2)(3)(4)(6)(8)答案adaccdab二、填空题:题号(9)-(10)(11)(12)(13)(14)-答案2, 10显 4201,2(|导5,53分，第二空2分)(注：两空的填空，第一空三、解答题：(15)(本小题满分13分)所以 f(x) sin(2x -). 6由 2k 2

9、x 2k 26所以函数f(x)的单调递增区间为一，k3(n)因为 x 0, t ,所以 2x 266一,1所以 一 sin(2x ) 1.2610分12分所以函数f(x)在0,上的取值范围是2(16)(本小题满分13分)12,1.13分解：(i)设事件 a:在一次试验中，卡片上的数字为正数，则答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是2(n)设事件 b：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数.由（i）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是匚l【、f 01 / c 0af 0 0 1 1 0 01 1 4 4lx 1 11 1 3 3q11所以 p（b）1c4（-）（-）c4-（-

10、） .222 216答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为121116（出）由题意可知，的可能取值为1,0,1,2 ,所以随机变量x7分的可能取值为p(x= 2) 一4p(x=0)4 4p(x=2)三4 4p(x= 1)7一；161-；8p(x=1)p(x=4)42414 41-；81-；81162, 1,0,1,2,4.所以随机变量x的分布列为x210124p11711188168816，117111113分所以 e(x)= 210 124 .88168816 4(17)(本小题满分14分)证明：（i）由已知，所以ef/bc .pepbpfpc因为bc，ad ,所以ef/a

11、d .平面pad ,而ef 平面pad , ad所以ef 1平面pad .(n )因为平面 abcd 平面pac ,平面 abcd。平面 pac ac ,且 pa ac ,所以pa 平面abcd.所以 pa ab , pa ad .又因为ab ad ,所以pa, ab, ad两两垂直.如图所示，建立空间直角坐标系,因为 ab bc 1 , pa ad 2所以 a 0,0,0 , b 1,0,0 ,c 1,1,0 ,d 0,2,0 ,p 0,0,2 .1，一时，f为pc中点, 2所以1 1f(2,2,1),所以bf (2,2,1),cd ( 1,1,0).设异面直线bf与cd所成的角为所以cos

12、1 1|cosbf,cd|(2,2,1)(1,1,0)1所以异面直线bf与cd所成角的余弦值为(出)设 f(x0, y0,z0),则 pf(x0, y0,z见.32),pc (1,1, 2).由已知pfpc,所以（x,y,z。2)(1,1,2),x0所以 y,z02 2 .所以af,2 2)设平面afd的一个法向量为n1(xi,yi,zi),因为ad 0,2,0 ,n1所以1n1af 0,即ad 0.xiv1(2 22y0.)zi0,，得 n1(22,0,)设平面pcd的一个法向量为n2(x2,y2,z2),因为 pd 0,2, 2 ,cd1,1,0 ,n2所以2n2pd 0,即 2y2cd0

13、.x22z2 0, y20.令x21,则n2(1,1,1).若平面afd 平面pcd，则n1n2 0 ,所以(22)2 _14分2分(0,1),所以当 一时，平面afd 平面pcd 3(18)(本小题满分1 3分)解：函数定义域为xx 0,且 f(x) 2x (a 2) a (2x a)(x 1).xxa当a 0,即一0时，令f(x) 0,得0 x 1,函数f(x)的单调递减区间为 2令f (x) 0,得x 1 ,函数f(x)的单调递增区间为(1,).aa当0 1,即0 a 2时，令f (x) 0,得0 x 或x 1,22 a函数f(x)的单调递增区间为(0,a), (1,).2a . 一 .

14、 .a令f (x) 0,得 x 1 ,函数f (x)的单调递减区间为(一，1).22当a 1,即a 2时，f (x) 0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0,).7分2(n)当a 0时，由(i)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1), f(x)在(1,2单调递增.所以f (x)在0,2上的最小值为f (1) a 1,，112 a 12 a由于 f ()2 (-1)-10,eeee e e要彳f (x)在0,2上有且只有一个零点，需满足f(1) 0或f(1) 0,解得a 1或a f(2) 0,ln 2当0 a 2时，由(i)可知，(i)当a 2时，函数f(x)在(0,2上单调递增；一

15、414一 .一且f(e ) t 2 0, f (2) 2 2ln 2 0,所以f(x)在0,2上有且只有一个零 e e与 八、.(ii)当0 a 2时，函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1,2上单调递增；2a 一又因为f(1) a 1 0,所以当x咨,2时，总有f(x) 0.22a 2因为e a 1a 2,2a 22a 2 2a 22a 2所以 f(e a ) e a e a (a 2) (aln e a 2a 2) 0.一aa所以在区间(0,a)内必有零点.又因为f (x)在(0, a)内单调递增，22从而当0 a 2时，f(x)在0,2上有且只有一个零点2，、 一综上所述，0 a 2

16、或a 或a 1时，f(x)在0,2上有且只有一个零 ln2点. 13分(19)(本小题满分14分)22解：(i)设椭圆的方程为与_y21ab 0 , a b2, 22a b c ,c 、3cc依题意彳导- 火，解得a2 4, b2 1.a 2i a 1a2 4b22所以椭圆c的方程为y2 1 . 4分4(n)显然点 a(2,0).(1)当直线l的斜率不存在时，不妨设点e在x轴上方，易得e(1,), f(1,),22m(3,/)小(3,困)，所以221.(2)当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y k(x 1),显然k 0时，不符合题意., y k(x 1), ,口 2222由二 2

17、八得(4k2 1)x2 8k2x 4k2 4 0.4k2 44k2 1x2 4y2 4 0八8k2仅 e(xi, y)，f(x2, y2),贝u 不 x22 ),陷4k 1直线ae, af的方程分别为：y -y(x 2), y (x 2), x1 2x2 2令 x 3 ,则 m (3, 1), n (3, -).x1 2x2 2所以 em(3 x1,y1(3xi), tn(3 x2,y2(3x2). 10 分x12x22所以(3x1 )(3x2 )yi(3 xi) y2(3 x2)x1 2x2 2(3xi)(3x2)(1丫供 )(x1 2)(x2 2)(3xi)(3x2)(1k2(x1 1)(

18、x2 1)(x1 2)(x2 2)x1x23(x1x2)91 k2x1x2 (x1 x2) 1x1 x2 2( x1x2 ) 44k2 4(4k2 19)(1k2224k 4 8k224k2 1 4k24k2 4。224k2 18k4k2 1-)4一2 (16k)4k 1(116k2 516k2 4116k2 412分因为k2 0 ,所以16k2 4 4 ,所以1皿二5,即16k2 445(1p综上所述,1 em fn5的取值范围是1,5)14分(20)(本小题满分13分)解：(i) s()1012xk 3xk 1 | 7 6 5 4 3 2 1 0 1 28 57 . k 1(n )数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下:20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203 72 131,所以s( ) 131 .对于排列 0 (1,5,6,7, 2,8,3,9, 4,10),此时 s( 0) 131 ,所以s()的最大值为131.(出)由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数 7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使s()取最大值的排列中，必须保