2020年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)

1、2021年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题参考答案及评分标准讲明:i 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2假设考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次.-、此题总分值50分如题一图，给定凸四边形ABCD， B D 180：， P是平面上的动点，令f(P) PA BC PD CA PC AB .I求证：当f(P)到达最小值时， P, A, B,C四点共圆；n设E是ABC外接圆O的AB上一点，满足：-J，_BC3 1，AB 2 ECECB 2ECA，又 DA, DC 是 0。 的切线,A

2、C .2，求f (P)的最小值.解法一 I如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有PA BC PC AB PB AC 因此 f(P) PA BC PC AB PD CAPB CA PD CA (PB PD) CA.因为上面不等式当且仅当P, A,B,C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在ABC的外接圆且在 AC上时，Af (P) (PB PD) CA .10分答一图1又因PB PD BD，此不等式当且仅当 B, P, D共线且P在BD上时取等号因此当且仅当P为 ABC的外接圆与 BD的交点时，f (P)取最小值f (P)min AC BD .故当f (P)达最小值时，P,A,B,C四点

3、共圆.20分n记ECB.那么ECA 2，由正弦定理有AEABsin 23从而sin 32 ，.3sin 32sin 2，即.3(3sin4si n3)4si n cos ，因此3 34 3(12 cos)4cos0，整理得4.32 cos4cos30， 30分解得cosfl3 或2cos612,3舍去，故30，ACE 60、.BCsin EAC 300_sin EACBC 3 1 =,有 sin( EAC 30：)(j3 1)sin EAC ,即EC灵iinEAC1 cos EAC(3 1)sin EAC，整理得23sin EAC1 cos EAC ,2222故tanEAC123，可得 EAC

4、 75 ,40分23从而E 45；, DACDCAE 45；,ADC为等腰直角三角形因AC 2，那么 CD 1 又 ABC也是等腰直角三角形，故BC 2 , BD21 2 2 1 . 2cos1355 ,BD 5 故 f (P)min BD AC 5210 解法二I如答一图 2,连接BD交 ABC的外接圆O于P0点因为D在0O外，故F0在BD上.过A,C,D分不作PA, F0C,F0D的垂线，两两相交得A1B1C1，易知P。在ACD内，从而在 A B1C1内，ABC之三内角分不为x,y, z50分记么BAPC 180 y zB1C1PABAF0C，得 B1y，同理有答一图210分AB，那么对平

5、面上任意点 M，有因此 A1B1C1 s ABC f(P)(P)A BCP)D CAP)CAB)P0A B1C1R D C1A1RCAB12 S A, B1C1MA BGMD C1A1MCAB1(MA BCMD CAMCAB)Ai B1设 B1C1BC , C1A1CA ,f(M),从而 f (P0) f (M ) 由M点的任意性，知 R点是使f (P)达最小值的点.由点P。在O上，故P0, A,B,C四点共圆.20分由I, f (P)的最小值2S ABC ,记 ECB，那么ECA2 ，由正弦定理有即,3(3sin4si n5 ) 4sin cos ，因此匕3 34、3(12cos ) 4co

6、s整理得4 . 32cos4cos.3 0,解得cos舟或cos1 舍去,2,3故30：,ACE60： 由BC3 1 =sinEAC 3000,ECAEABsin 2sin3，从而.3 sin32sin2 ,230分sin EACsin(EAC30：)(、3 1)si n EAC , 即i3sin EAC1 cos22 f31EAC 心 1)sin EAC，整理得 丁 前 EAC 2COsEAC ,故 tan EAC2.3，可得 EAC 75 ,40分因此 E 45， ABC为等腰直角三角形，AC -.2 ,S ABC 1 , 因为 ABQ 45,B1点在 i$O 上，AB1B 90，因此 B

7、1BDC1 为矩形，B1C1故5，因此 f(P)min 2 5 1 J0 BD ,1 2 2 1、2cos135,5 ,50分解法三I弓I进复平面，仍用A,B,C等代表A,B,C所对应的复数.由三角形不等式，关于复数z1,z2，有Z2当且仅当Z1与z2复向量同向时取等号.PA BC 琵 AB ,PA bC PC A,因此 (AP)(CB) |(C P)(B A)(AP)(CB) (C P)(B A)P从而PB lAC iPi iACiC A10分1式取等号的条件是复数(A P)(C B)与(C P)(B A)同向，故存在实数0 ,使得(A P)(C B)A PC P(C P)(B A)，B A

8、C B，因此向量arg(算)arg(| bPC旋转到pA所成的角等于A)，BC旋转到AB所成的角,从而P,A,B,C四点共圆.2式取等号的条件明显为 B,P,D共线且P在BD 上.故当f (P)达最小值时P点在ABC之外接圆上,P, A,B,C四点共圆.20分由I知 f(P)mm BD AC .以下同解法二、此题总分值50分设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0 T 1.证明：1I假设T为有理数，那么存在素数 p，使-是f (x)的周期；Pn假设 T为无理数，那么存在各项均为无理数的数列an满足1 an an 1 0(n 1,2,)，且每个an (n 1,2,)差不多上f (x)的周

9、期.证I假设T是有理数，那么存在正整数 m, n使得T -且(m, n) 1，从而存在整数 mma nb 1.a, b，使得因此归辿 a bT a1 bT丄m10分是f (x)的周期.又因0 T 1,从而m 2 .设p是m的素因子，那么m pm , m N，从而120分m p m是f (x)的周期.n假设t是无理数，令a, 1 丄 T , T那么0 a,1，且a,是无理数，令a?1 a ，a1an 11 an，an30分111由数学归纳法易知 an均为无理数且0 an 1.又1，故1 anan ,ananan1即an 1 1an an 因此an是递减数列.40分an最后证：每个an是f (x)

10、的周期.事实上，因1和T是f (x)的周期，故a1 1 - T亦T是f (x)的周期.假设ak是f (x)的周期，那么ak 1akak也是f (x)的周期.由数学50归纳法，已证得an均是f (x)的周期.三、此题总分值50分设ak0 , k 1,2,2021 .证明：当且仅当2021akk 11时,存在数列Xn满足以下条件:i 0x0XnXn 1 ,1,2,3,iilimnx.存在;说xnn 1,2,3,2021Xn 1ak Xnk 12007ak1xn k ，k 0证必要性：假设存在Xn满足iii， iii.注意到iii中式子可化为Xn Xn 12021*ak (Xn k Xn k 1)，

11、 n N ,将上式从第1项加到第n项，并注意到x00得X2021) 10分Xna1(Xn 1X1 ) a2(Xn 2X2)a2021(Xn 2021由ii可设b lim x.，将上式取极限得nb ai(b Xi) a2(bX2)卅 a2021(b X2021)2021ak (a1 X1k 182X282021X2021)2021ak，k 12021因此akk 120分充分性:假设2021ak1 k 1定义多项式函数如下:f(s)2021k1akSk 10,1，那么f(s)在0,1上是递增函数,f (0)1 0 , f(1)2021akk 1因此方程f(s) 0在0,1内有唯独的根ss0，且 0s01,即卩 f(s)0 .30 分 Xn为 XnnkS0 ,k 1n 1,2,|那么明显地Xn满足题设条件i，且Xnnks0k 1S0S01S0因0 s01