流体力学10相似原理和因次分析

1、1 2021-7-5 第十章第十章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析 101 力学相似原理力学相似原理 102 相似准则数相似准则数 103 模型规律模型规律 104 因次分析法因次分析法 2 2021-7-5 第十章第十章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析 实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳，解决科技 问题往往离不开实验手段的配合。 a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造的大型机械 或水工结构上的流动情况； b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，指 导这些实验的理论基础就是相似原理和量纲分析。 工程流体力学中的实验主要有两种： 3 2021-7-5 10-1 1

2、0-1 相相 似似 原原 理理 当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工程 以及研究某些复杂的水力现象时，往往要根据相似原理，设 计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的流 动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。 分析研究模型和实物间的相似关系的基本理论称为相似 理论。 实物又称为原型。 定义：定义： 4 2021-7-5 一、几何相似一、几何相似 模型参数加脚码 m ，原型参数加脚码 n 表示。 线性比尺为 n l m l l （101） 面积比尺为 2 2 2 nn l mm l l （102） 体积比尺为 3 3 3 nn l mm Vl Vl （103） 原型与模型

3、中对应的原型与模型中对应的几何线性尺寸成比例几何线性尺寸成比例，对应的，对应的几何角几何角 度相等度相等，称为几何相似。，称为几何相似。 定义：定义： 5 2021-7-5 二二 、 运动相似运动相似 时间比尺为 n t m t t （104） 速度比尺为 n nnl m mt m l t l t （105） 加速度比尺为 2 2 2 n nnl a m mt m l at l a t （106） 原型与模型中原型与模型中相应流线几何相似相应流线几何相似，即对应的运动参数如，即对应的运动参数如速速 度、加速度方向一致，大小成比例度、加速度方向一致，大小成比例，称为运动相似。，称为运动相似。 定

4、义：定义： 6 2021-7-5 三三 、 动力相似动力相似 密度比尺为 n m （107） 质量比尺为 3 nnn ml mmm mV mV （108） 力的比尺为 22 nnn Fmal mm m Fm a Fm a （109） 原型与模型中对应点处受力方向相同、大小成比例，称为原型与模型中对应点处受力方向相同、大小成比例，称为 动力相似。动力相似。 定义：定义： 7 2021-7-5 单位质量比尺为 n g m g g （1010） 据式（109）可写 22 2 2 mmm nnn m n l l F F 即 22 2 2 mmm m nnn n l F l F （1011） 式中， 为

5、一个无因次量，称为牛顿数，以 表示。22 l F Ne mn NeNe （1012） 就是说，两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必 相等；反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必然是动力相 似的。故几何相似仅是相似的必要条件，而运动相似和动力相似 才是相似的充要条件。 故式（1011）变为 8 2021-7-5 10-2 10-2 相相 似似 准准 则则 数数 一、雷诺数一、雷诺数 l L u LT 2 由式（1010）知惯性力的因次为 ，如用T 替 换F，则 22 lF 2222 mmm mmm nnn nnn l l l l 因 ，故简化上式得 v m mm n nn v l v

6、l （1013） 式中 ，称为雷诺数 数。Re v l ynoldRe 物理意义：物理意义： dy du AT粘性引起的内摩擦力为 ，从因次上可写 惯性力与粘性力的比。 9 2021-7-5 二、二、 弗诺得数弗诺得数 33 glLgG 用以代替式（1010）中的F，则 2 2 3 22 3 mmm mmm nnn nnn l lg l lg 简化后得 mm m nn n lglg 2 2 （1014） 式中 ，称为弗劳德 数。Fr gl 2 Froude 物理意义：物理意义： 惯性力与重力之比。 ,gmgG在具有自由表面的液流中，起主要作用的为重力 在因次上为 10 2021-7-5 三、欧

7、拉数三、欧拉数 在因次上为 2 PlApF 将其代替式（1010）中的F时，则 22 2 2 2 2 mmm mm nnn nn l lp l lp 即 式中 ，称为欧拉 数。 Eu p 2 Euler 物理意义：物理意义： 22 mm m nn n pp （1015） 压力与惯性力之比。 pAF 研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时， 起主要作用的力为压力 。 11 2021-7-5 定义：定义： mn mn mn EuEu FrFr ReRe （1016） 称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。 如果两个流动成力学相似，则它们的弗劳德数、欧拉数、 雷诺数必须各自相等。于是 12

8、 2021-7-5 四、马赫数四、马赫数 当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA 2 22 2222 22 2 410 1 , , , , n nm m n nnm mm nm nnmm nm a nm FEAEl F E lE l l Vl V EE VV E a Ea aaV M VVa 在因次上 代入（ ）中的时，则 即 对可压缩流体，音速因此代入上式 得其倒数 称为马赫数。 物理意义：惯性力与弹性力之比。 13 2021-7-5 五、韦伯数五、韦伯数 面张力之比。物理意义：惯性力与表 称为韦伯数。令该比值 ）中，可导出代入（将表面张力 , 104 2 22 We lV VlVl

9、 lF m mmm n nnn 六、阿基米德数六、阿基米德数 称温差流动阿基米德数）温差流动时（ 数称浓度差流动阿基米德）密度差流动时（ , 2 , 1 2 0 00 2 e r r TV Tgl A V gl A 14 2021-7-5 正。重力相似准则进行了修作用的弗劳德数，即对阿基米德数是考虑浮力 为室内热力学温度 境气流温度之差为风口气流相对室内环式中： 0 e T T 15 2021-7-5 10-3 10-3 模模 型型 律律 两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足相 似关系。例如雷诺数和弗劳德数就不易同时满足。 这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动

10、问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。 欲使雷诺数相等，将有 欲使弗劳德数相等，将有 nmn mnm lv lv 2 1 2 1 m n m n m n g g l l 312 2 v lvl l 16 2021-7-5 例：例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。 而行船引起的波浪运动、明渠水流、绕桥墩的水流、容 器壁小孔射流等主要受重力影响，相似条件要保证弗劳德数 相等。 17 2021-7-5 10-4 10-4 因次分析法因次分析法 一、一、 定理定理 假定用函数 ki nn

11、nnnfN, 321 （1018） 表示一个需要研究的物理规律，在一定的单位制下，这 k+1个物理量都有一定的单位和数值。 一物理现象所包含的各物理量间的函数关系，如果选用一 定单位制 ，则其关系的函数式就确定了，若改变单位制则函 数关系可能受影响。要使它不受单位制选择的影响，必须具有 特殊的函数关系的结构形式。 定理就是化有量纲的函数关系 为无量纲的函数关系式的方法。 18 2021-7-5 取对所研究的问题有重大影响的几个物理量。例如取 作为基本单位。 321 ,nnn 其中 单位制需满足： （1）基本单位应该是各自独立的； （2）利用这几个基本单位应该能够导出其它所需要的一 切物理量的单

12、位。 321 ,nnn 由于研究问题各不相同，对每种问题起重大影响的因素自然 也不同。满足上述两点要求的基本单位可以有很多种组合形式。 例如研究水头损失及流动阻力等问题，其影响因素常离不 开线性尺寸 ，流体运动速度 及流体密度 这三个基本物理 量。这三个物理量分别具有几何学、运动学和动力学的特性。 满足要求（1）、（2），因而以 可以组成一 组特殊单位制。 l 321 ,nnln 19 2021-7-5 因而式（1018）中的物理量都可以表示成这三种基本单 位的一定幂次组合与一个无量纲数的乘积，即 iii zyx ii zyx nnnn nnnN 321 321 （1019） 与 式中无量纲数

13、 iii zyx i i zyx nnn n nnn N 321 321 （1020）与 就是物理量N与 基本单位制下的数值，因而在 基本单位制下，式（1018）的规律仍然不变，只是各 物理量的数值有所改变。 321 ,nnn 321 ,nnn 20 2021-7-5 于是，式（1018）可写成 ), ,( 321321 321 3 321 2 321 1 321 333222111 kkkiii zyx k zyx i zyxzyxzyxzyx nnn n nnn n nnn n nnn n nnn n f nnn N （1021） 从右端前三项不难看出，其分母上的乘幂为 1 1 1 3 2

14、 1 z y x 0 0 0 33 22 11 yx zx zy 根据式（1020）可得 1 321 21 2021-7-5 于是 ki ki f f , , 1 , 1 , 1 54 54 或 （1022） 这样，运用选择新基本单位的办法，可使原来k+1个有量 纲的物理量之间的函数式（1018）变成k+1-3个即k-2个无量 纲数之间的函数式（1022），这就是泊金汉 定理。因为经常用表示无量纲数，故又简称定理。 BuckinghamE. 因为是无量纲数，因而式（10-20）右端分子分母的量纲 必须相同，对每个物理量i列出其分子分母量纲 的 幂次方程，联立求解，即可确定式（1022）中的所有

15、量纲数 。 MTL, 22 2021-7-5 二、量纲分析的应用二、量纲分析的应用 解解 根据题意知 ,ldfp 选择 作为基本单位，于是,d 666555444 654 , zyxzyxzyxzyx dd l dd p 例题例题101管中流动的沿程水头损失。 p 根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦而造成的压强 差 与下列因素有关：管路直径 d ，管中平均速度 ，流体动 力粘度 ，管路长度 l ，管壁的粗糙度 ，流体的密度 试求 水中流动的沿程水头损失。 23 2021-7-5 各物理量的量纲如下： 量纲 物理量 d L 1 LT 3 ML p 11 TML l L L 21 TML 首先分析 的量纲，因为其分子分母的量纲应该相同，所以 p yzyxz