2.1新多元函数的极值与最值ppt课件

1、 第六章第五节第五节 二元函数的极值二元函数的极值一、二元函数的极值定义一、二元函数的极值定义 三、条件极值三、条件极值 二、最值应用问题二、最值应用问题 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2/19回忆一元函数的极值回忆一元函数的极值设 f x0U x在内有定义，假如0 xU x 0f xf x 0f xf x有或则称0f x f x是的一个极大值或极小值必要条件：必要条件：定义：定义： f x在0 x处可导，且在0 x处取得极值，那么00fx最值最值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3/19一、一、 二元函数的极值定义二元函数的极值定义 定义定义: 若函数若函数则称

2、函数在该点取得极大值例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.00( , )(,)f x yf x y00( , )(,)f x yf xy或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某去心邻域内有xyzOxyzOxzyO(极小值). 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4/19说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.00

3、00(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy取得极值 ,取得极值取得极值函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点具有),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 具有偏导数的 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 5/19时, 具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令那么: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(

4、00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC且, 0),( yxfx0),( yxfy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 7/19例例1 1求函数解解: : 第一步第一步 求驻求驻点点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),

5、(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(22331, 3x 0,2y 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 8/19在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例7.30 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 9/19二、最

6、值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 极值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, )(Pf为极小值)(Pf为最小值( (大大) )( (大大) )根据 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 10/19（1有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法 将函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D的边界的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者

7、即为最小值值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .【二元函数的最值】【二元函数的最值】分为分为(1) 有界闭区域上的连续函数求最值有界闭区域上的连续函数求最值(2) 实际问题求最值实际问题求最值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 11/19解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用

8、料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例2 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 12/19三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz 目录 上页

9、 下页 返回 结束高等数学高等数学 13/19,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(的极值求函数yxfz 例如例如,引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 14/19推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21

10、zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 15/19例例3 要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz试问 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 16/19得唯一驻点,2230Vzyx302

11、4V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因而 , 当高为,340Vxyz考虑考虑:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 .最省,例7.34 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 17/19内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxf