第二章矩阵变换和计算.

1、第二章矩阵变换和计算 一、内容提要 本章以矩阵的各种分解变换为主要内容，介绍数值线性代数中的两个基本问题：线性 方程组的求解和特征系统的计算，属于算法中的直接法。基本思想为将计算复杂的一般矩阵 分解为较容易计算的三角形矩阵 要求掌握Gauss （列主元）消去法、矩阵的（带列主元的） LU分解、平方根法、追赶法、条件数与误差分析、QR分解、Shur分解、Jordan分解和奇 异值分解. （一）矩阵的三角分解及其应用 1.矩阵的三角分解及其应用 考虑一个n阶线性方程组 Ax b的求解，当系数矩阵具有如下三种特殊形状：对角矩 阵D，下三角矩阵L和上三角矩阵U，这时方程的求解将会变得简单 a D d2

2、 5 L I11 un U u21 u22 un1 un2 I21 丨22 5 dn l n1 ln2 l nn unn 对于 Dx b, 可得解为 Xi bi /di,i 1,2, ,n. 对于 Lx b, 可得解为 x b1 / l11 , xi i 1 (bil 1 ik xk ) / l ii , i 2,3, ,n. k 1 n 对于Ux b, 可得解为 Xn bn /lnn,Xj (bi l ikxk ) / l ii ,i n 1, n 2,1 k i 1 虽然对角矩阵的计算最为简单，但是过于特殊，任意非奇异矩阵并不都能对角化，因此 较为普适的方法是对矩阵进行三角分解 1）. G

3、auss消去法 只通过一系列的初等行变换将增广矩阵（A|b）化成上三角矩阵（U |c），然后通过回代 求与Ax b冋解的上三角方程组 Ux c的解其中第k步消兀过程中，在第 k 1步得到 的矩阵A（k 的主对角元素akk 1称为主元.从A（k 的第j行减去第k行的倍数ljk Jk 1) ajk a(k 1) akk （k j n ）称为行乘数（子） 2）.矩阵A的LU分解 对于n阶方阵A，如果存在n阶单位下三角矩阵 L和n阶上三角矩阵U，使得A LU ,则 称其为矩阵 A的LU分解，也称为Doolittle分解.Gauss消去法对应的矩阵形式即为LU分 解，其中L为所有行乘子组成的单位下三角矩

4、阵，U为Gauss消去法结束后得到的上三角矩 阵.原方程组Ax b分解为两个三角形方程组Ly b Ux y 3) .矩阵LU分解的的存在和唯一性 如果n阶矩阵A的各阶顺序主子式 Dk(k 1,2,n)均不为零，则必有单位下三角矩 阵L和上三角矩阵U，使得A LU ,而且L和U是唯一存在的. 4) . Gauss列主元消去法 矩阵每一列主对角元以下(含主对角元)的元素中，绝对值最大的数称为列主元为避 免小主元作除数、或 0作分母，在消元过程中，每一步都按列选主元的Guass消去法称为 Gauss列主元消去法.由于选取列主元使得每一个行乘子均为模不超过1的数，因此它避免 了出现大的行乘子而引起的有

5、效数字的损失 5) .带列主元的LU分解 Gauss列主元消去法对应的矩阵形式即为带列主元的LU分解,选主元的过程即为矩阵的行 置换因此，对任意n阶矩阵A，均存在置换矩阵 P、单位下三角矩阵 L和上三角矩阵U , 使得PA LU .由于选列主元的方式不唯一，因此置换矩阵 P也是不唯一的.原方程组 Ly Pb Ax b两边同时乘以矩阵 P得到PAx Pb,再分解为两个三角形方程组. Ux y 5).平方根法(对称矩阵的Cholesky分解) 对任意n阶对称正定矩阵 A，均存在下三角矩阵 L使A LLt，称其为 对称正定矩阵 A的Cholesky分解.进一步地，如果规定 L的对角元为正数 ，则L是

6、唯一确定的.原方程 组Ax b分解为两个三角形方程组 Ly b LTx y 利用矩阵乘法规则和 L的下三角结构可得 j 1 1 2j 1 Ijjajjl jk 1 ij1|1 i jk /Ijj， i=j +1, j+2, - n, j=1,2, k 1 k 1 计算次序为l1121, ,l A1，1 22，|32，n2，nn . 由于 1 jk 77, k=1,2, 因此在分解 过程中L的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元. 6).求解三对角矩阵的追赶法 a2 q tb C2 对于三对角矩阵 A ，它的LU分解可以得到两个只有两条对 an 1bn 1Cn 1 角元素

7、非零的三角形矩阵 anbn l2 1 U2 Ll3 ,U 1 ln 1 di ( 1,2, ,n 1 其中U1 b1 li ai /u i 1, i 2,3, ,n ui 1 bil i ci 1 , i 2,3, ,n 计算次序是 U1 l2 U2 l 3 U3 Ly b 角形方程组 计算公式为 Ux y y1 b1 7 y bihyi 1,i 2,3, Xn yn / Un ,人 (CiXiJ/uJ 该计算公式称为求解三对角形方程组的追赶法 追赶法求解，解存在唯一且数值稳定. d2 Un 1 dn 1 Un lnUn .原方程组 AX b分解为两个三 ,n, n 1,n2,1. .当A严格

8、对角占优时，方程组 Ax b可用 7).矩阵的条件数 设A为非奇异矩阵，H J为矩阵的算子范数，称cond(A) | A| A 为矩阵A的条件 数矩阵的条件数是线性方程组 Ax b,当A或b的元素发生微小变化，引起方程组解的 变化的定量描述，因此是刻画矩阵和方程组性态的量 .条件数越大，矩阵和方程组越为病态 反之越小为良态.常用的矩阵条件数为 g条件数： cond (A) A A1 1-条件数： con d1(A) A1A11 , 2-条件数： con d2( A) A2A12 max(AHA) H min(A A) 矩阵的条件数具有如下的性质： (1) cond(A) 1; cond(A)

9、1 cond(A ); cond( A) cond(A), 0, R; 如果 U 为正交矩阵，则 cond2(U) 1, cond2(UA) cond2(AU ) cond2(A). 一般情况下，系数矩阵和右端项的扰动对解的影响为 定理2.5设Ax b，A为非奇异矩阵，b为非零向量且 A和b均有扰动若 A的扰 动SAE常小，使得|A 1|训 1，则 cond(A) ( SA 叫 cond(A) ；( A b) 关于近似解的余量与它的相对误差间的关系有 定理2.6设Ax b , A为非奇异矩阵，b为非零向量，则方程组近似解的事后估计 式为 1 b A cond(A) |b| x |x| 其中称b

10、 Ax|为近似解x的余量，简称 余量。 8) 矩阵的QR分解 利用正交变换保条件数的性质，将满秩矩阵化为主对角元都大于零的上三角矩阵，保持 矩阵条件数不变 设A是n阶可逆实矩阵，则存在正交阵 Q和对角元都大于零的上三角阵R，使得 A QR,称其为矩阵 A的QR分解，并且con d2(A) con d2(R). 2 为实现矩阵一般的 QR分解，我们引入Householder矩阵H ( 3) I 3 3 ,其中 3 3 3 Rn, 30 该矩阵具有如下性质： (1 ) 特征值为: (H( ) 1 T) 即, 1 1, 1, ,1; (2)H(3)H(3),即H阵为对称阵; (3) H ( 3) H

11、 ( 3) I n，即H阵为正交阵； (4) 如果H ( 3)x y，则I y 2 |x 2 (不变长度，镜面反射)； (5) 设 x (人*, ,Xn) Rn 且 x 0，取 3 x x 2e!，则 (6) H(3)x H (x x2q)x x2. 提示：Householder变换并不是直接变换n阶矩阵A ,而是通过重复变换矩阵的下三角部分 的列向量得到上三角矩阵，因此，每次变换的 Householder矩阵 H ( 1), H ( 0), ,H (Wn-i)在逐渐降阶,然后将它们分别 嵌入” n阶单位矩阵得到相应的 n阶正交阵Qi,Q2, ,Qn-i,最后得到正交阵 Q Qi,Q2,Qn-

12、1 .具体变换过程见例子 (二) 特殊矩阵的特征系统 特征系统即为矩阵的特征值和特征向量，本节主要介绍与其计算相关的Schur分解矩 阵变换的思想主要为两点：一是三角矩阵的主对角元素即为其所有特征值，二是矩阵的特征 多项式和特征值在相似变换下是不变的因此，理论上获得矩阵特征值的方法就是通过相似 变换将其变为一个三角矩阵. Schur 定理：设 A Cn n ， 则存在酉阵 U Cnn使得 A URU H，其中R Cn n为上三角矩阵. 由于实矩阵的特征值可能是复数，因此通常在复数域中考虑Schur分解.复数域中相应 的矩阵名称及记号为： U的共轭转置： uh UT, 它在实数域即为转置矩阵.

13、U为酉阵：若U HU uuh I,它在实数域即为正交阵. a为正规矩阵 :右 ah a AAH .常见的Hermite阵(AH A )、实对称矩阵 (At A )、斜Hermite阵(AH A )、实反对称矩阵(A A八 酉阵 (AhA AAh I )和正交矩阵(At A AAt I )等均为正规矩阵. Schur分解的一些特殊情况如下 ： 上三角矩阵R为正规矩阵当且仅当 R为对角矩阵. n阶方阵A为正规矩阵当且仅当存在酉阵U使得A UDU H , D为n阶对角阵. n阶方阵A为Hermite阵当且仅当存在酉阵 U使得A UDU H ,D为n阶实对角阵. n阶方阵A为酉阵当且仅当存在酉阵 U使

14、得a UDU H , D为n阶对角阵，且对角元的 模均为1. (三) 矩阵的Jordan分解介绍 矩阵的每一个特征值有两个重要的指标：代数重数和几何重数.一个特征值作为矩阵 多项式的根个重数称为代数重数；它对应的特征子空间的维数称为几何重数.它们分别刻画 了特征值在矩阵特征系统中的代数和几何的性质.一般有，代数重数几何重数.当一个特 征值的代数重数几何重数，称它为半单的；而当代数重数 几何重数时称它为亏损的. n阶方阵A可对角化当且仅当它的所有特征值都是半单的，此时称A为单纯矩阵；否 则，a不可对角化当且仅当它有亏损的特征值，此时称a为亏损矩阵. 对于亏损矩阵 , 只能将其经过相似变换为一个三

15、角矩阵 , 即为其 Jordan 标准型 . Jordan 标准型是一个块对角矩阵， 每一个块称为 Jordan 块, 其对角元便为矩阵的特征值 所谓矩阵 A 的 Jordan 分解即为通过可逆变换矩阵 T 化为与之相似的 Jordan 标准型 J , 使得 1 A TJT 1 . 1. 关于 Jordan 标准型 J 对于特征值 i , 它的代数重复度就是 Jordan 标准型中以 i 为 特征值的 Jordan 块阶数的和，而其几何重复度（即与 i 相对应的线性无关的特征向量的个 数）恰为以 i 为特征值的 Jordan 块的个数 J 中以 i 为特征值、阶数为 l 的 Jordan 块的

16、个 数为 rl 1rl 1 2rl ,其中 rl rank（ iIA）l, r0 rank（ iI A）0 rank（I） n 2. 关于变换矩阵 T 可以通过 Jordan 链得到 将 T 按 J 的对角线上的 Jordan 块相 应地分块为TTi,T2,Tk ,其中T i为nxhi型矩阵记Ti,t；,则 At1it1 At 2it2 t1 tijCn, i 1, 2, , k, 1,2, ,ni At i ni itnii tnii 我们称向量 t1i,t2i , ,tni i 为关于特征值 i 的长度为 ni 的 Jordan 链显然该 Jordan 链的第 一个向量就是矩阵 A的关于特

17、征值i的特征向量，称其为 链首而链中的第j个向量则可 由等价的方程 A i I n tij t ij 1, j 2,3, ,ni（2-45） 求出. 但是应当注意 : 1）Jordan 链的链首 t1i 不仅要求是一个特征向量，而且还要求利用（ 2-45）可以求出 Jordan链中的其它向量t；,t；（即不是任何一个特征向量都可作为Jordan链的链首）. 2）对应于某个特征值 i 的 Jordan 链虽然一定存在，但当与 i 相对应的线性无关的 特征向量的个数大于或等于 2 时，关于特征值 i 的特征向量中的任何一个有可能都不能作 为链首 . 因此我们必须从 i的特征子空间中选取适当的向量作

18、为Jordan链的链首. （四）矩阵的奇异值分解 .对非方阵情形 ,这些方法已经 对于方阵 ,利用其特征值和特征向量可以刻画矩阵的结构 不适用而推广的特征值-矩阵的奇异值分解理论能改善这种情况利用奇异值和奇异向量 不仅可以刻画矩阵的本身结构，而且还可以进一步刻画线代数方程组的解的结构，是构造性的 研究线代数问题的有利的工具 设A Cmn, Hermite半正定矩阵AH A的特征值为i 2n ,称非负实 数i(A). (i 1,2, ,n)为矩阵A的奇异值. 奇异值分解：设A C” “，且其秩rank(A)=r,则存在m阶、n阶酉阵U、V使得 A U VH ,其中艺diag( 1, 2, r),

19、 i(i 1,2,r)为矩阵a的非零奇异 值.U与V的列向量U1,U2, , Um和V1,V2, ,Vn分别称为矩阵 A的与奇异值i对应的左奇 异向量和右奇异向量. 利用矩阵的奇异值讨论矩阵的性质： (1)矩阵A的非零奇异值的个数恰为矩阵A的秩. R(A)spanu1,U2, uj , N(A)spanvr1,Vr2,M，其中 ARmn , R(A) y Rm|Ax y, x Rn为由A的列向量生成的子空间，称为A的值域或 像空间，即 R(A) spana1,a2, ,an 。 N(A) x Rn | Ax 0称为 A 的零空间或 核，即 N(A) x Ax 0。 设 12r 0 ,则 |A

20、21 , I A F = 、12 如果A为Hermite矩阵，则A的奇异值即为 A的特征值的绝对值. n 如果A为n阶方阵，则 det(A)i . i 1 秩为r的 mxn矩阵A可以表示为r个秩为 1 u1v1H 2U2V； rUrVH A Cn n为正规阵， 是A的特征值，x是相应于的特征向量，则 是Ah的特征 值，相应于的特征向量仍为x. (8) A Cn n为正规阵， 与y正交. 是A的特征值，x, y是相应的特征向量，如果 2.2典型例题分析 例1证明在对矩阵A (ai,j)n n进行Gauss消去法的过程中，主元ak；1(k 1,2, ,n) 均不为零的充要条件是A的各阶顺序主子式

21、Dk(k 1,2, ,n)均不为零. 证明 利用归纳法 , 当 k 1 时,D1a1,1 a1(,01 ) 结论显然成立 . 假设结论直到 k 1成立, 则Gauss消去法可以进行到 k 1步，即存在k 1个Gauss变换L1, ,Lk 1, 使得 A (k 1) Lk 1 L1A 0 A(k 1) 1,2 A(k 1), A2,2 其中 A1(,k1 1)是对角元为 ai(,ii1)(i 1,2, ,k 1)的上三角阵，于是A(k 1的k阶顺序主子阵为 A1(,k1 1) 0 * (k 1) . 另一方面 , 将 A (Lk 1 ak,k k k Li) 1 A(k 1的两端在第k行k列 处

22、分块有 (Lk 1 L1) 1A(k 1) Ak(k 1) L2 其中Li为k阶单位下三角阵.因此A的k阶顺序主子式 Dk det(L*1)det(Ak(k 1)det(Ak(k 1)a1(,01)ak(,kk1), 由归纳假设知，主元akkJ0当且仅当Dk 0,即结论对k成立.故由归纳法,a；10 (k 1,2, ,n)当且仅当 Dk 0(k 1,2, ,n). 例2证明：若A (aj,j)n n为可逆矩阵，则A可进行LU分解的充要条件是 A的各阶顺序 主子式 Dk(k 1,2, ,n ) 均不为零 . 证明 充分性 . 由例 1 结论知如果 Dk(k 1,2, ,n) 均不为零 , 则主元

23、 ak( ,kk 1 )0, 于是可 对A进行Gauss消去法，从而得到A的LU分解. 必要性若存在单位下三角阵L和上三角阵U使得A LU ,则 det(A) det(L)det(U) det(U ) a1(,01) an(,nn 1 ) , 由 A 可逆知 主 元 ak(k,k1)0( k 1,2, ,n ), 再由 例 1 可得 A 的各 阶顺序主子 式 Dk0(k 1,2, ,n). 例3证明，若可逆矩阵 A可进行LU分解，则分解必唯 证明 如果A存在两个 LU分解,即A L1U1 L2U2,其中L1, L2皆为单位下三角阵, 1 1 Ui,U2皆为上三角阵由A可逆知Ui,U2也可逆,于

24、是有L2 Li U2U1 .不难验证,单 位下三角阵的逆矩阵为单位下三角阵，而上三角阵的逆也为上三角阵进一步，单位下三角 阵的乘积仍是单位下三角阵，而上三角阵的乘积也为上三角阵 因此上式左端为一个单位下 三角阵，而右端为一个上三角阵显然，等式成立当且仅当两端皆为单位矩阵 L21Li U2U11 I ,故可得 L1L2,U1 U2,即分解唯一 1 1 2 1 1 例4 n阶Hilbert矩阵为H n 2 3 丄 n 1 百，计算H 3的条件数 1 2n 1 2 3 9 36 30 解 H3 1 1 1 , H31 36 192 180 2 3 43 1 1 1 30 180 180 3 4 5

25、(1) 计算 H3 的条件数，容易 得到 H31 H3 1 1 1 11 H31 H31 IIH3IL 1.40832 , |H32 372115 ,于 是 cond(Hs)1 cond(H3) 408 , 748 , 78 cond(H 3)2 524.057 .同样可计算 cond(H 6)2.9 10 , cond(H 7)9.85 10 . 当n越大，H n矩阵病态越严重. 1113 47 (2)考虑方程组H3x (,)T b,设H3和b有微小误差(取3位有效数字)有 6 12 60 1.00 0.500 0.333 X1 X1 1.83 0.500 0.333 0.250 X2 X2

26、 1.08 0.333 0.250 0.200 X3 X3 0.783 简 记 为 (H3 H 3)(x x) b b ，其 解 为 (x x) (1.089512538,0.487967062,1.491002798)T 而方程组 H 3x b 的精确解为 TTH3I3 x (1,1,1) 于是 x (0.0895, 0.5120,0.4910),0.18 100.02% , IIH 3II bx 0.182% , 51.2%.这就是说H3和b的相对误差不超过 0.3%,而引起解 b|x| 的相对误差超过50%. 例5 n阶复Householder矩阵定义为 H ( 3) I 2 3 3H，

27、其中3 21证明H ( 3)为 Hermite矩阵，也是酉矩阵，并求它的特征值. 证明 H(3)H(I 23 3H )H I 2 3 3HH(3), Hh 2HH 2 e1 2 X H ( 3) H ( 3)H ( 3)H ( 3) (I 2 33 ) I 43 34( 33 ) I ,即 H( 3) H( 3) I 408 000 20 8 0 16 3-504-5 03- 5 为Hermite矩阵，也是酉矩阵. 由矩阵特征 值 的性质知， (H(3) 12( 3 3H ), 而 /H、. H . _ (3 3 )( 33), 0, ,0 1,0,0,因此H ( 3)的特征值为 1,1, ,

28、1. n 1个 n 1个 n 1个 例 6 已知 x (3,0,4),求 Householder 矩阵 H ,使得 Hx 3 5 解由 |x 25,取 3 x x 2e1 0 0 4 0 使得 Hx x 2e1(5,0,0)t. 例7设A为n阶正规矩阵，证明若Ak 0 ,则A 0. 证明 根据Shur定理，正规矩阵A存在分解A UDU H ,其中U为n阶酉阵，D为n阶对 角矩阵 D k 1 由 Ak UDkU H U U H 0, 当且仅当 0 , i 1,2, ,n , 即 A 0. 2 0 0 0 1 2 1 1 的 Jordan 分解 0 0 2 2 0 0 0 2 例 8 求矩阵 A

29、2)4, 于是 A 的特征值为 解 det( I A) ( 2, 代数重数为 4, 故以2 为特征 值的 Jordan 块阶数之和为 4. 而 2 的几何重数为 4 rank( I A) 2 , 故以 2为 C , i 1,2, ,n. 于是 特征值的 Jordan 块的个数为 2. 注意到 r1 rank( I A) rank ( 2I A) 2, 22 r2 rank( I A)2 rank (2I A)2 1, 故以 2 为特征值的阶数为 1的 Jor dan 块的个数为 r2 r0 2r1 1 4 2 2 1. 因此 2 0 0 0 0 2 1 0 A的Jordan标准型为J 0 0

30、2 1. 0 0 0 2 面求矩阵 A 化 Jordan 标准型的变换矩阵 T . 首先求出 2所对应的线性无关的特征向 0 0 0 0 k1 1 0 1 1 k2 t1 k1x1 k2x2 , 由 (A I |t1) 2, 为使 (A I)y t1 有解 10 0 0 2 k11 0 0 0 0 0 量 为 x1 (1,0, 1,0)T x2 (0,1,0,0)T . 其次确 定长度为 3 的 Jordan 链 的链首 , 令 只需取 k1 0 即可. 再取 k2 2 , 此时 t1 (0,2,0,0)T 为链首 , 解得 y1 (0,1,2,0)T 0 0 0 0c2 1 0 1 1c1

31、y2 (1,0,1,0)T 令 t2 汕 C22，由(A I |t2) c ，为使 0 0 0 2 2c1 C2 0 0 0 0 0 (A I )z t2有解，只需取 C20即可 再取C11，此时 t2 (0,1,2,0)T， 解得链尾 t3 Z1(1,0,1,1)T 或者 t3 Z2(0,1,2,1)T. 于是可得 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 2 1 1 T 或者T 1 0 2 1 1 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 故有A的Jordan分解为A TJT 0,则A可逆,而且| A AI2 1 n 证明 由奇异 值 的 定义 det(A) 1 2 n 0,贝

32、 y A可逆 于是， AH A也可 逆 ，且 (AHA) (A 1)H A 1 (AAh )1 的 特征 例9证明若n阶方阵A的奇异值满足 1 1 2 det(A) det(AH A) max(AHA) 的特征值为 与(Ah A) 1 10 max(A H A 1)n1 设A,B Rm n，如果存在 m阶和n阶 的正交矩阵 1 1，注意 T1 B UAV UAV ，则称A和B正交相抵.证明正交相抵的矩阵有相同的奇异值 证明由 B UAV T UAV 1 , BTB (UAV T )T UAV T VAT(U TU)AVT V(ATA)VT V(ATA)V 1，知 btb 与 At A相似，从而

33、它们由相同的特征值，故A和B有相同的奇异值 注：不难验证，正交相抵具有自反性、对称性和传递性因此正交相抵是等价关系它所形成 的等价类称为正交相抵等价类此例说明，正交相抵等价类中的矩阵都有相同的奇异值 ，所以对此类中任一矩阵 A,所作的奇异值分解 A UDV T中的对角矩阵 D相同,并由它们的 奇异值组成即D是该矩阵类中的标准型矩阵 2.3习题 1. 填空题 (1) A 1 a 2 2 1 ,当a满足条件 时， A可作LU分解. A 2 2 当a满足条件 时， 2 5 a A可作LL分解，其中L是对角兀素 为正的下三角阵，则 L. 2 1 0 (3) A 1 21，则 cond?(A)=. 0

34、1 2 (4)设A Cnn,其Schur分解为A URU H，其中UCn n为酉矩阵，R Cn n为 上三角矩阵.特别地，当A为正规矩阵时，R为矩阵，A的特征值为 , A 的特征向量为 ;当A为Hermite矩阵时，R为矩阵；当A为斜Hermite矩 阵时，R为阵. 2. 利用Gauss消去法，Gauss列主元法解方程组 532 x2 2 3 5x3 3用Gauss列主元法求解方程组，并求出系数矩阵A的行列式det ( A )的值. 12x1 3x2 3x315 18x1 X1 3x2 X315 X2 3x36 1 2 1 2 25 3 2 4设A ,利用1题消兀过程求出L和U矩阵，并验证 A

35、=LU 2 2 3 5 1323 123111126 A241,B221, C2515 46 73316 1546 6.利用Doolittle分解法，Cholesky法和三对角追赶法三种方法求解线性方程组: 4 1 X1 5 1 5 2 X2 8 2 8 X3 10 4 1 1 7设 A 3 3 2 求A的QR分解 0 4 3 &证明 (1) cond(A) 1 ； (2)cond(kA) cond(A)( k为非零常数). 9设A、B都是n阶非奇异方阵，试证 cond(AB) cond(A) cond(B) 10证明上三角矩阵 R为正规阵的充分必要条件为R为对角矩阵. n 2 n n 2 1

36、1.证明Schur不等式：iaj ，其中i为A aj n n的特征值，并证明 i 1i 1 j 1 Schur不等式等号成立的充分必要条件是A为正规矩阵. 4 1 1 0 4 0 2 0 12.求矩阵A 的Jordan分解 0 0 2 0 0 0 6 1 13.证明定理2.15. 14. 证明正规矩阵的奇异值是其特征值的模，Hermite半正定矩阵的奇异值为其特征值. 、r4 4 15. 设M C ，特征值 2的代数重数为4,已知r12 , r20 ,其中 rlrank(M 2I )l，求 M 的 Jordan 标准型. 16. 设A的奇异值分解为 3 5 4 5 0 8 0 0 4 5 3

37、50 A 4 5 3 5 0 0 6 0 3 5 4 50 0 0 1 0 0 2 0 0 1 求 A 2 , cond2(A), A F . 17.设 A 求A的奇异值分解,并据此计算A 2, cond2(A). 2.4习题解答 1. (1)当 a 1时，A可作LU分解.注：矩阵A的各阶顺序主子式均不为零只是A可作 4 2 LU分解的一个充分条件.当a 3时，A,虽然A的行列式(2阶顺序主子式)为 2 1 4 2 零，但经第一步消元可得，这已是一个上三角矩阵，说明此时A也可作LU分解. 0 0 当a 2时，A正定，可作LLt分解，L cond2(A)32一2. 设A Cnn，其Schur分解

38、为A URU H，其中U Cn n为酉矩阵，R Cn n为上三 角矩阵特别地，当 A为正规矩阵时，R为 对角 矩阵,A的特征值为 R的对角元素 A的特征向量为 Hermite矩阵时， U的列向量：当A为Hermite 矩阵时， 阵 R为 实对角 矩阵； 当A为斜 R为 对角兀素为纯虚数或零的对角 2解 (1) Gauss消兀法 1 2 1 2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 2 4 2 5 3 2 7L1 0 1 1 2 1 1 L20 1 1 2 1 2 2 3 5 1 0 2 5 1 7 0 0 3 3 9 1 3 2 3 0 0 1 1 5 4 0 0 0 3 3 1 2 0 0 1

39、 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 x2 2 1 其中L1 J L2 5 所求解为 2 . 2 0 1 0 0 2 1 0 X3 1 0 0 1 0 1 0 1 X4 1 (2)带列主兀的 Gauss消兀法 1 2 1 2 4 2 5 3 2 7 2 5 3 2 7 2 5 3 2 7 P1 1 2 1 2 4L1 0 丄 2 2 1 丄 2 2 2 3 5 1 2 2 3 5 1 0 3 6 3 6 1 3 2 3 0 1 3 2 3 0 0 丄 2 丄 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 X1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 X2 1 0 1 1 0 1 L3 ,所求解为

40、 6 0 0 1 0 X3 2 0 1 6 0 1 0 0 1 1 X4 1 L2 0 3 6 3 6 0 1 2 1 T 1 1 2 0 1 2 1 2 4 7 2 25327 L2 0 3 6 3 0 0 1 2 1 T 0 0 1 -2 7 2 6l30 3 6 30 0 4 9ooo 36 13 22 33 0 10 0 廿出1000 其中 R 0 010 0 00 1 10 0 0 4100 10 10 4001 10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1 3. 解 12 3 3 15 18 3 1 15 18 3 1 15 R1 12 3 3 15 L 1 1 3 6

41、 1 1 3 6 18 3 1 15 0 1 7 5 0 7 53 31 6 78 6 18 3 1 15 R2 7 53 31 L 0 6 6 0 1 7 3 5 18 3 1 15 0 7 6 53 78 f,其中 0 0 102 莎 66 0 1 0 R 100 ,L1 0 0 1 0 0 X1 11 1 1 0 ,解为 X2 8 17 6 33 7 1 X3 77 1001 001,l20 0100 由 L2F2L1A u 18 3 1 0 7 6 箸,det(A) det(U )/det(L2R2L1Fj)102 0 0 102 2? 4.解：由第2题中Gauss消元过程可知 1 2

42、 1 2 1 0 1 1 21 U , L (L2L1) 2 1 l2l1a ,容易验证A LU 0 0 3 3 2 2 1 0 0 0 3 1 1 0 1 5. 解A 2 4 1 第一次消元 005 不能继续消兀 ,因此不能进行 LU分解. 4 6 7 025 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 2 2 1 L1 U1 0 0 1 L2 U200 1 , 其中 3 3 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 L1 2 1 0 ,1 L20 1 0 .经过第一 次消兀得到一个上三角矩阵 U1 L1B, 3 0 1 0 2 1 由于第2列主对角线以下的元素已经是0,还可以利用L2

43、把最后一行消去，也得到一个上三 角矩阵U? L2L1B 因此得到了矩阵B两个不同的LU分解B L11U1 1 (L2L1) U2. 这说 明在某些情况下，即使矩阵的各阶顺序主子式不为0,也能进行 LU分解， 但分解不唯一 1 0 0 1 2 6 对于矩阵C,其各阶顺序主子式为1,1,1.可得唯一的LU分解C 2 1 0 1 3 . 6 3 1 1 6.解Doolittle分解 1 0 0 1 0 0 4 1 0 1 1 0 4 1 0 0 1 0 4 1 0 A 1 5 2 0 0 1 0罟 2 0 8 19 1 0 19 4 2 ,贝U A的 Dool ittle 分 0 2 8 0 2 8

44、 0 0 136 1 0 0 4 1 0 解 为 A LU 1 4 1 0 0 19 4 2 按 L Ux b 得 Ly b 由 0 8 19 1 0 0 136 79 Ux y 1 0 0 y1 5 y1 5 4 1 0 X1 5 X1 1 1 4 1 0 y2 8 解得 y2 27 4 , 再由 0 29 2 X2 27 解得 X2 1. 0 8 19 1 y3 10 y3 136 19 0 0 136 X3 136 帀 X3 1 ChoQ sky 分解 S 0 0 I11 l21 1 l31 4 1 0 2 0 0 由 llt 121 1 22 0 0 l22 l 32 1 5 2 解

45、得 L 丄 2 19 2 0 按 2 133 0 0 l 33 0 2 8 0 4 19 136 19 llt x b 得 Ly LTx b y ,由 1 T 0 19 2 4 19 2 1 2 0 x 5 2 X1 0 19 4 19 X2 27 2 19 解得 X2 0 0 136 .19 X3 136 , 19 X3 1 1. 1 (3)追赶法 yi y2 y3 5 * 5 2 8 解得 y2 2 19 再由 10 y3 136 _ 19 利用三对角矩阵的 LU分解公式可得与Doolittle分解一致的结果 7. a1 Q1 H( 1) 4 5 3 5 0 3 5 4 5 0 H( 1)

46、A a1 H( 2) 3 T 4 5 4 5 3 5 H( 2)A 1 0 Q20 H( 2) 1 0 0 5 1 2 0 3 5 4 5 ,则有 Q2 Q1 A 0 5 3 R,得到分解A QR 0 4 5 3 5 0 0 1 4 912 5 2525 31216 52525 其中Q qT q； 8证明：(1)根据矩阵范数的相容性和单位矩阵的算子范数为1的性质有 con d(A) IAA1 aA1 |l| 1. 当k 0 ,根据矩阵范数的齐次性和逆矩阵的性质有 cond(kA) |k|(kA) 1 k IIA k 1A1 |A|A cond(A). 9. 证 明 ： 由 矩 阵 范 数 的 相 容 性 con d(AB)AB (AB) 1 A B A B con d(A) con d(B). 10. 证明： 由定义， 上三角阵 R r1,1 0 0 斤,1 0 0 r1,1 r1,2 r1,n 斤,2 r2,2 0 r2,2 0 rn 1, n R,n rn 1,nrn,n 0 0 rn,n 分别比较等式两端乘积矩阵的主对角元素即可得知 为对角矩阵. r1,2 r1,n r2,2 是正规 矩 阵当 且仅当 rn 1