等差数列知识点精讲知识点+典型例题

1、等差数列知识点精讲知识精讲1.等差数列的定义：an an 1 d （d为常数）（n 2）;【例1】设Sn是数列an的前n项和，且Si=2n 等差中项：数列an是等差数列2an an-1 an心 2） 2an 1 an an 2-5n,证明数列an是等差数列。【例2】设Si是数列an的前n项和,且 S=n2，则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2 .等差数列通项公式：an ai （n1)d dn a!d（n N ），首项为ai，公差为d，末项为推广：an am （n m）d，从而d总结：等差数列的通项公式 a

2、n a1 （n 1）d dn ai d是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；说明：等差数列的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。1【例1】（2003年全国高考题）等差数列an中，已知a1= 3，a?+ a5= 4, an= 33,则n为（）A. 48B. 49C. 50D. 51【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 。【例3】（2006年全国卷1）设an是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3= 15, a1a2a3= 80,贝V a11+a12+a13等于（）【例4】若数列an的前n项和Sn= n2-10n（n = 1,2,3

3、, 则此数列的通项公式为 ;数列nan中数值最小的项是第项。3 .等差中项（1）如果a , A , b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项即： a或2A a b2【例1】如果等差数列an中，a3a4a512,那么a1a2 La7.【例2】已知1, a , b成等差数列，3, a+ 2, b+ 5成等比数列，则等差数列的公差为（A. 3 或3B. 3 或一1C.D. 3【例3】（2010年咼考重庆卷文科 2）在等差数列a,中，a1a910 ,则a5的值为（A、5B、6D、107t3 n【例4】在等差数列an中，a2+ a6=，则sin（2a4 ）=（1D. 2【例5】（2009北京东城高三第

4、一学期期末检测）已知an为等差数列，若a1+a5+a9= n,cos(a2+a8)的值为【例6】等差数列an的前三项为x 1, x1,2x 3，则这个数列的通项公式为（A. an 2nB. an2n 1C.an 2n 3D. an 2n4 .等差数列的前n项和公式：Snn(a an)2nain(n 1)d2dn2 佝-d)n2 22An Bn （其中A、B是常数,所以当dO寸，Sn是关于n的二次式且常数项为0)特别地，当项数为奇数2n 1时，an 1是项数为2n+1的等差数列的中间项：S2n 12n 1 a1 a2n 12n 1 an 1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）【例（

5、2011年高考江西卷文科）设an为等差数列，公差d = -2, Sn为其前n项和.若Sw S）1，则3=（）【例2】设Sn是等差数列an的前n项和，若S33,S624，则a9_.【例3】设等差数列an的前n项和为Sn,若S972,则a2a4a9.【例4】设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,贝则aa5为a.【例5】设an是公差为-2的等差数列，如果 a1+a4+.+a97 =50，那么a3+a6+ a9+.+399 =（）B.-78【例6】（2006年重庆高考题）在等差数列an中，若a4+a6=12, Sn是数列an的前n项和，贝U S9的值为（）B.54【例7 （1）已知等差数列an的

6、前5项之和为25,第8项等于15,求第21项。（2）等差数列-16 , -12, -8；前几项的和为725 .等差数列的性质(1)当 m n p q时，则有 am an ap aq，特别地，当m n2p时，则有am an2ap注：a1an a2an 1 a3 an 2,【例已知an是等差数列，且a4 a7 a57, a4 a5 aa1477,若 ak 13,则k=【例在等差数列an中，若a4 a6 a$術a12120 ,则 2a10a12【例等差数列 an中，a2+a7+ a12 =24,求 S13 =【例已知an为等差数列，a1+a8+ a13+ a18=100，求 a10=【例（2005年

7、福建高考题）已知等差数列an中,a7+a9=16， a4=1，则 a12=()(2)(3)B.30an、bn为等差数列，则an25都为等差数列若an是等差数列，贝U Sn,S2n Sn,S3nS2n ,也成等差数列【例1】在等差数列an中， 若 8=1, Ss=4，贝V a9+a10+an+a12= I例2】设s是等差数列an 的前n和，若|4 1，则暑 6 .等差数列前n项和的最值a11【例1】已知数列an为等差数列，若爲0的n的最大值为（）a10A. 11B. 19C. 20D. 21【例2】已知数列an的前n项和3= n（n-40），则下列判断正确的是（）0,a21V 0 0,a21 v

8、 0v 0,a21 0v 0,a20 0【例3】等差数列an中，a10，S=S9,则S取最大值时，n= 【例4】等差数列an中，a1 25，S9 S17，问此数列前多少项和最大并求此最大值。【例5】若仙是等差数列，首项a 0, a2003a20040 , a2003 a20040 ,则使前n项和Sn 0成立的最大正整数【例1】（武汉调研）已知等差数列6 .等差数列前n项和的比值问题an，bn的前n项和分别为 S和Tn，Tn 3n 1 a8【例2】（2004年福建高考题）设Sn是等差数列an的前n项和，若弐 5，则9（）a39S5A. 1B. -1【例3】设an与 bn是两个等差数列，它们的前C

9、. 2D.2n项和分别为Sn和Tn，若Sn3n1那么色bnTn4n31&设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和7 .设项技巧:一般可设通项an a1 （n1)d 奇数个数成等差，可设为-,a2d,ad,a, a d,a 2d（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为 -,a3d,ad,a d,a 3d ,-（注意；公差为2d ）【例1】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数。当项数为偶数2n时,S奇a1a3a5na1a2n 1nanS偶a2a4a6n a2a2nnan 1a2n 12a2n 2S奇门寺1门务nan 1an=ndS奇nananS偶nan 1an 1当项数为奇数2n 1时，则S2n iS偶(2 n 1) an+i务 (n 1)an+iS奇n 1S奇S偶an+1n an+1（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）【例1】一个等差数列的前12项和胃354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d【例2】项数为2n+1的等差数列 an的奇数项的和和偶数项的和之比为