简谐信号的合成与调制

1、简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制机电工程学院机电工程学院 张永忠张永忠 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制简谐信号的重要性简谐信号的重要性1. 工程实践中的普遍性：工程实践中的普遍性：如弹簧如弹簧-质量系统的振动信号，转子质量不平衡产质量系统的振动信号，转子质量不平衡产生的振动信号，交流电的电信号，弦乐发声的弦振动信号等生的振动信号，交流电的电信号，弦乐发声的弦振动信号等2. 分析研究的简易性：分析研究的简易性：内涵明确（回转矢量），数学运算非常方便（加、减、内涵明确（回转矢量），数学运算非常方便（加、减、乘、除、微分、积分等）。乘、除、微分、积分等）。3. 工程应用的广泛性：工

2、程应用的广泛性：对任何传感器、仪器、控制系统等的研究，均涉及到对任何传感器、仪器、控制系统等的研究，均涉及到系统对不同频率简谐信号的响应问题，即频率响应函数。系统对不同频率简谐信号的响应问题，即频率响应函数。4. 组成信号的基础性：组成信号的基础性：任何周期信号和非周期信号均可由不同频率的简谐信任何周期信号和非周期信号均可由不同频率的简谐信号合成，对这些信号的分析可以转换为对不同频率简谐信号的分析，带来号合成，对这些信号的分析可以转换为对不同频率简谐信号的分析，带来很大的方便。很大的方便。 工程实际中所产生的信号，常常包括很多简谐信号，所测出的信号往往工程实际中所产生的信号，常常包括很多简谐信

3、号，所测出的信号往往是这些简谐信号的综合作用结果，研究其合成形状及合成规律，有利于对所是这些简谐信号的综合作用结果，研究其合成形状及合成规律，有利于对所记录的时域信号图形进行分析。记录的时域信号图形进行分析。 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制一、同频率简谐信号的合成一、同频率简谐信号的合成合成结果仍是该频率的简谐信号，其幅值和相位计算如下：合成结果仍是该频率的简谐信号，其幅值和相位计算如下：设设 式中式中 若若 i =2 则有则有 iniitAtcos1tAcos2121sincosniiiniiiAAA21212221cos2AAAAA221

4、122111coscossinsinAAAAtg 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制二二. 不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成以以 i =2 为例进行讨论为例进行讨论设设合成信号合成信号 分为以下四种情况进行讨论：分为以下四种情况进行讨论：1、若若 、 可以通约，则可写为可以通约，则可写为 、 ，m、n 互为质数。根据周期信号的频谱分析理论可得，合成信号为周期信号，互为质数。根据周期信号的频谱分析理论可得，合成信号为周期信号， 其基频为其基频为 ，如图，如图1所示。所示。 1111costAt 2222costAt ttt211201m02n0 简谐信号的合成与调制简谐信号的合

5、成与调制 2不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 2不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成2、若频率不可通约，则合成信号为非周期信号。若频率不可通约，则合成信号为非周期信号。3、若两个信号的频率相差很小则出现若两个信号的频率相差很小则出现“拍拍”的现象。由于频率相差很小则的现象。由于频率相差很小则可设：可设：其中其中 为两个分振动的初始相位差。在本情况下，由于为两个分振动的初始相位差。在本情况下，由于 ，则可以近似用两个同频率振动的合成方法得到则可以近似用两个同频率振动的合成方法得到其中其中结论结论：合成的振幅：合成的振幅 和初相位角和初

6、相位角 随时间作周期性的变化（图随时间作周期性的变化（图2）。）。 11212221cos2tAAAAAtAAtAAtgcoscossinsin2112111 tA t).cos()cos(222ttAtAx)cos(111tAx)cos(tAx 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 2不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成 “拍拍”频频 “拍拍”周期周期 2bf2bT1212221cos2tAAAAAtAAtAAtgcoscossinsin2112111 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 （备用）（备用）2不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成 3、若两个信号的频率相

7、差很小则出现、若两个信号的频率相差很小则出现“拍拍”的现象。的现象。这里合成的振幅这里合成的振幅 随时间作周期性的变化，起了随时间作周期性的变化，起了“调幅调幅”的作用。变的作用。变化的圆频率为化的圆频率为 ，形成所谓，形成所谓“拍拍”的现象，的现象， 称称“拍拍”频，频， 称为称为“拍拍”的周期，的周期， 初相角亦随时间变化，使波形发生疏密初相角亦随时间变化，使波形发生疏密不均的现象起了不均的现象起了“调频调频”作用。可见，作用。可见，“拍拍”像是一种像是一种“调制波调制波”，其振，其振幅和幅和初相角都在改变。图初相角都在改变。图2表示表示“拍拍”的两个例子。的两个例子。 图图2（a）的波形

8、系两余弦同相波合成。所谓余弦同相是指：两个振）的波形系两余弦同相波合成。所谓余弦同相是指：两个振 动非同步，但其频率具有公约频率，它们周期地同时达到峰值；若它们动非同步，但其频率具有公约频率，它们周期地同时达到峰值；若它们 周期地同时达到零点，则称为正弦同相，如图周期地同时达到零点，则称为正弦同相，如图2（b）所示。）所示。 “拍拍”的现象在乐器中常常加以利用。这是将两个相近的振动频率叠的现象在乐器中常常加以利用。这是将两个相近的振动频率叠加加 起来，使发出的声音更加优美。在机器开动时，有时亦听到一会儿强一起来，使发出的声音更加优美。在机器开动时，有时亦听到一会儿强一 会儿弱的声音，这正反映会

9、儿弱的声音，这正反映“拍拍”的振动的强弱。的振动的强弱。 1212221cos2tAAAAAtAAtAAtgcoscossinsin2112111 tA2bf2bT t 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 2不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成 4、两信号频率之间相差甚远，合成的振动将保持振幅较大的分振动的两信号频率之间相差甚远，合成的振动将保持振幅较大的分振动的特色，容易从合成的波形中观察出原来的两信号，如图特色，容易从合成的波形中观察出原来的两信号，如图3所示。所示。 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 2不同频率简谐信号的合成不同频率简谐信号的合成 4、两信号频率之间

10、相差甚远，合成的振动将保持振幅较大的分振动的两信号频率之间相差甚远，合成的振动将保持振幅较大的分振动的特色，容易从合成的波形中观察出原来的两信号。特色，容易从合成的波形中观察出原来的两信号。 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制 以上讨论的简谐信号的合成实际上是两个时域信号相加，在工程实践以上讨论的简谐信号的合成实际上是两个时域信号相加，在工程实践中，还经常遇到中，还经常遇到两个信号相乘两个信号相乘的情况，我们称为调制。的情况，我们称为调制。 例如，无线电广播信号的调幅和调频；被测物理量，如温度、位移、例如，无线电广播信号的调幅和调频；被测物理量，如温度、位移

11、、力等参数，经过传感器变换以后，多为低频缓变的微弱信号，当采用交流力等参数，经过传感器变换以后，多为低频缓变的微弱信号，当采用交流放大时，需要予以调幅；放大时，需要予以调幅； 电容、电感等传感器采用了调频电路，这时是将电容、电感等传感器采用了调频电路，这时是将被测物理量转换为频率的变化；在信号分析中，信号的截断、窗函数加权被测物理量转换为频率的变化；在信号分析中，信号的截断、窗函数加权等，亦是一种幅值调制；对于混响信号、回声效应引起的信号的叠加、乘等，亦是一种幅值调制；对于混响信号、回声效应引起的信号的叠加、乘积、卷积等，其中乘积即为调幅现象。积、卷积等，其中乘积即为调幅现象。 有三种基本的调

12、制方式：有三种基本的调制方式： 1）幅度调制）幅度调制（调幅，（调幅，AM， Amplitude Modulation ）；）； 2）频率调制）频率调制（调频，（调频，FM，Frequency Modulation） 3）相位调制）相位调制（调相，（调相，FP，Phase Modulation）；）； 本节仅介绍调幅和调频的基本原理及实际意义。本节仅介绍调幅和调频的基本原理及实际意义。 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制 1、调幅、调幅1）特点：）特点：高频的载波信号高频的载波信号 受到低频的调制信号受到低频的调制信号 的调制，使载波信号的幅值按调制信号的幅

13、值而成比例的调制，使载波信号的幅值按调制信号的幅值而成比例地变化。在频谱图中，在载频地变化。在频谱图中，在载频 的两侧出现了相距为的两侧出现了相距为 的边带。的边带。2）图形说明（图）图形说明（图4） cmtAtxccccos)(tAtxmmmcos)( 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制 1、调幅、调幅2）图形说明（图）图形说明（图4） 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制 1、调幅、调幅3）公式说明）公式说明设调幅信号为设调幅信号为 则有则有可见可见 的幅值按的幅值按 变化，频率为变化，频率为 。又又上式表明了频谱中存在

14、上式表明了频谱中存在(c+m)和和 (c -m)的成份。的成份。4）实际例子）实际例子例如：由于齿轮的安装偏心，使齿轮啮合频率的振动幅值受到回转频率振例如：由于齿轮的安装偏心，使齿轮啮合频率的振动幅值受到回转频率振 动幅值的调制。动幅值的调制。 cm tttmcccmtAtAtAmmcccccoscoscosttAAAcmmcccoscoscmtAAAmmcccoscttAAtAmcmcmccccmcoscos2cos 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制2、调频、调频1）特点：）特点：高频载波信号高频载波信号 的频率受到低频调制信号的频率受到低频调制信号 的

15、调制，使载波信号的频率随调制信号的幅值而成的调制，使载波信号的频率随调制信号的幅值而成 比例的变化。在频谱图中，在载频比例的变化。在频谱图中，在载频c 的两侧出现的两侧出现 的边带。的边带。 2）图形说明（图）图形说明（图5） （n =1、2、3）。tAtxccccos)(tAtxmmmcos)(mcn 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制2、调频、调频 2）图形说明）图形说明 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制2、调频、调频3）公式说明）公式说明调频信号调频信号 的角频率的角频率 为为式中式中 为比例系数，即单位调制信号幅

16、值引起的角频率的变化量。为比例系数，即单位调制信号幅值引起的角频率的变化量。由上式可求出调频信号任一瞬时的相位角：由上式可求出调频信号任一瞬时的相位角：故调频信号的表达式为：故调频信号的表达式为：上式利用上式利用贝塞尔函数式贝塞尔函数式展开，可知展开，可知 展开式式中，包含有下列成分：展开式式中，包含有下列成分：cmcmtAKmmfccmcosfKdttAKdttmmfctcmcm00 costAKtmmmfcsin)sincos(tAKtAmmmfcCcmcm)3cos(),3cos();2cos(),2cos();cos(),cos(mcmcmcmcmcmc 简谐信号的合成与调制简谐信号的合成与调制 三三. 信号的调制信号的调制2、调频、调频4）实际例子）实际例子 例如，齿轮的啮合频率受到回转运动瞬时角速度变化的影例如，齿轮的啮合频率受到回转运动瞬时角速度变化的影响，产生调频现象，使啮合频率周期地发生变化。响，