专题18：动态几何之和差问题探讨(20200915065135)

1、七年级数学（下）教学教案（人教版）专题18:动态几何之和差问题探讨、静态和差冋题:典型例题:例1 : （ 2012海南省3分）如图，在 ABC中，/ B与/ C的平分线交于点 O.过0点作DE/ BC,分别交AB、AC 于D、E.若 AB=5, AC=4,21【答案】【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【答案】Co【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质,正方形的性质，勾股定理。【分析】/ OB 是/ B 的平分线，/ DBO=/ OBCo又 DE/ BC,./ OBC =/ BOD。./ DBO=/ BOD。； DO=DB。同理，EO=EC 又 AB=5, AC=4,

2、ADE 的周长=AD + DE+ AE=AD+ DO+ EO+ AE=AD+ DB+ EC+ AE=AB+ AC=5 + 4=9。例2: （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形 ABCD的对角线长为2迈，将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为【A.82【分析】如图，正方形 ABCD的对角线长为 2J2，即 BD=2j2 , / A=90 , AB=AD,/ ABD=45 , AB=BD?cos/ ABD=BD?cos45=272咒岁=2 o AB=BC=CD=AD=2由折叠的性质： A M=AM , D N=DN, a d =AD,图中阴影部分的周长为A M+BM+BC+CN

3、+DN+AD =AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=。故选Co将矩形ABCD例3: （2012四川内江 3分）如图，在矩形 ABCD中，AB=10, BC=5点 E F分别在 AB、CD上,沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点Ai、Di处，则阴影部分图形的周长为【巧】EA.15B.20C.25D.30【答案】Do【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得 AiE=AE, AiDi=AD, DiF=DF,则阴影部分的周长即为矩形的周长,2 (10+5) =300 故选例4:(2012山东枣庄Do3分）如图

4、：矩形ABCD的对角线AC=10, BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为A、 14C、20D、28【答案】Do【考点】平移的性质,勾股定理。【分析】由勾股定理,得 AB=aC2 -BC2 = J102 -82 =6，将五个小矩形的所有上边平移至AD,所有下边平移至BC,所有左边平移至 AB,所有右边平移至 CD,五个小矩形的周长之和 =2 （AB+CD）=2X （6+8） =28o故选D。例5: （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形 ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线 CD于点F,若AB= 5, BC= 6,贝U CE CF的值为【A.C.117311

5、+一211x/3 十.117311 + 或 11 -2 211/3B. 112-D. 11- 或 1 +2【答案】Co【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x DF=y。如图 1,由 AB= 5, BE=x 得 AE =尿2 be2 =j25-x2 o由平行四边形 ABCD的面积为15，BC= 6,得625-x2=15，5訂3解得X=子（负数舍去）o1/由 BC= 6，DF=y,得 AF = JaD 2 -DF2 = $36-y2 o由平行四边形 ABCD的面积为15，AB= 5，得5j36-y2=15，解得y= 3（3 （负数舍去）。 CE+ C

6、F= (6-2+ ( 5 一 3*3 ) =11 一1232如图2,同理可得BE=凶3，DF=3 o2 CE+ CF= (6+2+ ( 5+ 3j3) =11 +11732图2F故选CoCD丄AD, AD2+ CC2= 2AB2.例6: （2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形 ABCD中，/ ABC= 90(1) 求证：AB= BC;（2）当BE丄AD于E时，试证明：BE= AE+ CD.D【答案】解：（1）证明：连接 ACo/ ABC= 90 A AB2 + BC2= aC2。/ CD丄 AD,. AD2 + CD2= AC2。/ AD2 + CD2= 2AB2,. AB2+ BC2=

7、 2AB2。AB= BCo(2)证明：过 C作CF丄BE于F。/ BE丄AD,.四边形 CDEF是矩形。二CD= EF。/ ABE+/ BAE= 90 / ABE+/ CBF= 90 / BAE=/ CBR又 AB= BC,/ BEA=/ CFB / BAEA CBF (AAS)。/ AE= BF。 BE= BF+ EF = AE+ CD。【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC,构造直角三角形，利用勾股定理证明。(2)可采用 截长”法证明，过点 C作CF丄BE于F，易证CD=EF只需再证明 AE=BF即可，这

8、一点又可通过全等三角形获证例7: (2012内蒙古呼和浩特 7分)如图，四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点，DE丄AG于E，BF/ DE,交 AG于 F.(1)求证：AF- BF=EF(2)将 ABF绕点A逆时针旋转，使得 AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F,若正方形边长为 3，求点F与旋转前的图中点 E之间的距离.【答案】(1)证明：如图，正方形 ABCD,. AB=AD,/ BAD=/ BAG+/ EAD=90。DE 丄 AG,./ AED=90 / EAD+/ ADE=90。/ ADE=/ BAF。又 BF/ DE,. / AEB=/ AED=90。在 AED和 BFA

9、中，/ AEB=/ AED,/ ADE=/ BAF, AD = AB AEDA BDA ( AAS。 BF=A&/ AF- AE=EF, AF- BF=EF(2)解：如图,D根据题意知：/ FAF=90, DE=AF=AF,/ FAE=/ AED=90,即/ FAE+Z AED=18O。 AF/ EDoA四边形 AEDF为平行四边形。又/ AED=90, 四边形 AEDF是矩形。 EF=AD=3o点F与旋转前的图中点 E之间的距离为3o【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）由四边形 ABCD为正方形，可得出Z bad为90 AB=AD,进而得

10、到Z BAG与Z EAD互余，又DE垂直于AG,得到Z EAD与Z ADE互余，根据同角的余角相等可得出ZADE=Z BAF,利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE由AF- AE=EF等量代换可得证。将 ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F,连接EF如图所示，由旋转的性质可得出ZFAF为直角，AF=AF，由（1）的全等可得出 AF=DE，等量代换可得出DE=AF =AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到AF与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为AEDF为矩形，根平行四边形可得出 AEDF为平行四边形，再由一

11、个角为直角的平行四边形为矩形可得出据矩形的对角线相等可得出EF =AD由AD的长即可求出EF的长。例8: （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形 ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线 AC交于点M,过M作ME丄CD 于点E,Z(1) 若CE=1,求BC的长;(2) 求证：AM=DF+ME.【答案】解：（1 ）四边形ABCD是菱形，A AB / CDo/Z 1 = Z ACD。 Z 1 = Z 2 , aZ ACD=Z 2oA MC=MDo / ME 丄 CD,. CD=2CE CE=1, A CD=2oA BC=CD=2证明： F为边BC的中点BF=CF=2BCoA CF=CE 在菱

12、形 ABCD中，AC平分Z BCD, /-Z ACB=Z ACD。在 CEM 和 CFM 中， CE=CF / ACB=/ ACD, CM=CM, CEMBA CFM ( SAS,二 ME=MF。延长AB交DF于点G,/ AB/ CD,. / G=/ 2。/ 仁/2，/ 1 = / Go-AM=MG。A在CDF和 BGF中,/ G=/ 2,/ BFG=/ CFD, BF=CF CDFA BGF (AAS)。 GF=DR由图形可知， GM=GF+MF,. AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】(1)根据菱形的对边平行可得 AB/

13、 D,再根据两直线平行，内错角相等可得/仁/ ACD,所以CE=DE然后求/ ACD=/ 2,根据等角对等边的性质可得 CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得出CD的长度，即为菱形的边长 BC的长度。(2)先利用SAS证明 CEM和 CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF,延长AB交DF于点G,然后证明/ 1 = / G,根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明 CDF和 BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF最后结合图形 GM=GF+MF即可得证。例9: (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，线段AC=n+1 (其中n为正整数)，点B

14、在线 段AC上，在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF连接AM、ME、EA得到 AME.当AB=1时, AME的面积记为 S仁当AB=2时， AME的面积记为 Sz；当AB=3时， AME的面积记为 Ss；当AB=n时， AME的面积记为 Sv当n支时，Si - Sn-1= 【答秦土1.2【若点】正方形的性质平行的判定和性质，同底等高的三角形积，整式的混合运算.【分析】连接BE,丁在建段AC同侧作正方形ABMN斥正方形BCEK.*. AAMEAAMBfja等高.AAME的面积=AAMB的面积。当 AB=n 时，A AKE 的面积为 = n,当 AB=ti 1 BtAAME 的面积为

15、 ； = iin-l |二当论価讼厂討弓叶泞弓n+52竽例10: （2012贵州铜仁4分）如图，在 ABC中，/ ABC和/ACB的平分线交于点 E,过点E作MN / BC交 AB 于 M，交 AC于 N,若 BM+CN=9,则线段MN的长为【】A.6 B. 7C. 8 D. 9【答案】D。【考点】角平分线的定义，平行线的性质,等腰三角形的判定和性质。【分析】/ ABC / ACB 的平分线相交于点 E,A/ MBE=/ EBC / ECN=/ ECB/ MN / BC,. / EBC=/ MEB,/ NEC=Z ECB / MBE=/ MEB,/ NEC=/ ECIN BM=ME , EN=

16、CN / MN=ME+EN,即卩 MN=BM+CN。/ BM+CN=9. MN=9。故选 D。例11: （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将 ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若/ A=75则/ 1 + / 2=【】A.【答案】【考点】150 B. 210 C.翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】/ ADE是 ABC翻折变换而成，/ AED=/ AED,/ ADE=/ ADE,/ A=/ A = 75 Z AED+Z ADE=Z AED+Z ADE=180-75105 l + Z 2=360-2 X105150故选

17、A。例12: （ 2012湖北孝感3分）已知Z a是锐角，/ a与Z B互补，Z a与Z 丫互余，则Z 3-Z 丫的值是【】【答案】Co【考点】余角和补角、【分析】根据互余两角之和为90，互补两角之和为 180,结合题意即可得出答案由题意得，Za+Z3 =180；Z a+Z Y =90；两式相减可得：Z3 Z Y =90o 故选 Co例13:（2012湖南长沙3 分）如图，AB/ CD/ EF,那么ZBAC+Z ACE+Z CEF=ABcDEF【答案】360 o【考点】平行线的性质。【分析】/ AB/ CD,.Z BAC+Z ACD=180-。C. 90oA. 45oB. 60oD. 180o

18、/ CD/ EF, / CEF+Z ECD=180 。度. + 得，/ BAC+Z ACD+Z CEF+Z ECD=180180360 即 Z BAC+Z ACE+Z CEF=360练习题:1.（2012辽宁本溪 3分）如图 在直角 ABC中，Z BAC=90, AB=8, AC=6, DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则 ACE的周长为【】A、16B、15C、2.（2012吉林省3分）如图，在等边 ABC中，D是边AC上一点，连接 BD.将 BCD绕点B逆时针旋转60得到 BAE,连接ED.若BC=10, BD=9,则 AED的周长是_3.（ 2012福建龙岩3分

19、）如图，RtABC中，/ C=90 AC = BC =,6E是斜边AB上任意一点，作 EF丄AC于F, EG丄BC于G,BABCD中，AB=2,则矩形CFEG的周长是4.（2012福建宁德4分）如图，在矩形BC= 3,点 E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF/ HG, EH/ FG,则四边形EFG H的周长是【】C. 210D.5. （2012内蒙古包头10分）如图，已知AB为O O的直径，过O O上的点C的切线交AB的延长线于点E ,AD丄EC于点D且交O O于点F，连接BC , CF , AC。(1)求证：BC=CF(2)若 AD=6 , DE=8，求 BE 的长;求证：AF +

20、 2DF = AB6.(2012山东东营10分)(1)如图1,在正方形 ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点，且 DF= BE.求证：CE= CF;(2)如图2，在正方形 ABCD 中,E是AB上一点,G是AD上一点，如果/ GCE= 45请你利用(1 )的结论证明:GE= BE+ GD.(3)运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题:AB= BC, E 是 AB 上一点，且/ DCE3，在直角梯形 ABCD 中，AD/ BC ( BO AD), / B= 90如图S 17. (2012黑龙江牡丹江 8分)如图， ABC中。AB=AC, P为底边BC上一点，PEXAB,

21、 PF丄AC, CH丄AB,垂足分别为 E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下:图如图，连接ARrPE丄AB, PF丄AG CH丄AB，* PE, S心右AOPF.又*耳砂*氐恵席=氐遊PE-|-；AC*PF=AB CH,2 2 27AB=AC,APE+PF=CH,(1)如图，P为BC延长线上的点时,其它条件不变，PE PF、CH又有怎样的数量网关系？请写出你的猜想，并加以证明:（2）填空：若/ A=3O0,A ABC的面积为49,点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=.点P至U AB边的距离PE=B8.（2012江苏南通3分）如图,在 ABC中

22、，/ C= 700,沿图中虚线截去/ C,则/1 + / 2=【 】A. 360oB.250o9. （2012江苏南京2分）如图,10. （2012四川绵阳3分）如图,A. 225B. 235C. 180oD. 140oN3、N4是五边形 ABCDE 的 4个外角,将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，/1 + / 2=【C. 270若 NA =120，则】。11. (2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/的度数是【A. 180B.220C.、和差为定值问题:典型例题:例1 :( 2012广西崇左10分)如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、

23、CD上移动，但点 A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中;(1)/ EAF的大小是否发生变化？请说明理由【答案】(2 ) ECF的周长是否发生变化？请说明理由解：(1)在正方形 ABCD中， AH丄 EF,A/ AHF=/ D=9C ,/ AF=AF, AH=AD,.RtAAHF RtA ADF(HL)oA/ HAF=/ DAF。同理 RtA AHE RtA ABE, / HAE=/ BAE./ HAF+/ DAF+/ HAE+/ BAE=90，/ EAF=/ HAF+/ HAE=45。/ EAF的大小不会发生变化。(2)A ECF的周长不会发生变化。理由如下:由(

24、1)知：RtA AHFB RtAADF, RtA AHE RtA ABE FH=FD, EH=EB EF=EH+FH=EB+FD CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD【考点】【分析】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。(1) 由 HL 证得 RtA AHF RtAADF和 RtA AHE Rt ABE即可得/ EAF=/ HAF+/ HAE=45，即/ EAF的大小不会发生变化。(2) 由(1)两个全等即可得 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD CE+CF+EF= CE+CF+

25、 EB+FD=BC+CD【点评】第二问， ECF的周长即CE+CF+E为定值：正方形 ABCD边长的2倍。例2: (2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点 A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.(1) 求证：/ APB=/ BPH;(2) 当点P在边AD上移动时， PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论;(3) 设AP为X,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问 S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在，请说明理由.GG(备用图(

26、2 ) PHD的周长不变为定值 &证明如下:如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Q。GG【答案】 解: (1)如图 1,v PE=BE / EBP=ZEPB又/ EPH=/ EBC=90 ,/ EPH- / EPB=/ EBC-/ EBP,即/ PBC=/ BPHo又 AD / BC, / APB=/ PBC./ APB=/ BPH。由(1)知/ APB=/ BPH,又/ A=/ BQP=90, BP=BF, ABPA QBP (AAS)。 AP=QP, AB=BQ。又.AB=BC,. BC=BQ又/ C=/ BQH=90, BH=BH, BCHA BQH ( HL)。 CH=QHP D+DH+P

27、H=A P+P D+DH+HC=AD+CD=8（3）如图3,过F作FM丄AB,垂足为M，则FM=BC=AB又 EF为折痕， EF丄BP。/ EFM+/ MEF=/ ABP+/ BEF=90。/ EFM=/ ABP。又/ A=/ EMF=90 AB=ME,:. EFMA BPA (ASA)。DBHG EM=A P=x.在 RtA APE 中,(4 - BE) 2+x2=bE2,即2xBE =2+L。82- CF =BE -EMC x=2+ x。8 又四边形 PEFG与四边形BEFC全等, S 丄(BE+CF)BC丄 4+xl2 丿 24-X【4=1 x2 -2x+8=丄(X -2 $ +6。0

28、1 4，当x=2时，S有最小值6。2【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二 次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出/PBC=/ BPH,进而利用平行线的性质得出/APB=/PBC即可得出答案。(2) 先由AAS证明 ABPA QBP,从而由HL得出 BCHA BQH,即可得 CH=QH=因此， PDH的周长=P D+DH+PH=AP+P D+DH+HC=AD+CD= 定值。（3）利用已知得出 EFMA BPA从而利用在 RtAAPE中，（4 - BE） 2+x2=bE2，利用二次函数的最值求出即可。例3: （2012黑龙江绥化8

29、分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且 BE=BC AB=3, BC=4,点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q , PR BD于点R.12（1） 如图1,当点P为线段EC中点时，易证：PR+ PQ=（不需证明）.5（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不口与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结 论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【答案】【考点】【分析】12解：(2 )图2中结论PRP Q=仍成立。证明如下:5

30、连接BP,过C点作CK1BD于点Ko四边形 ABCD为矩形，/ BCD=90。又 CD=AB=3, BC=4,. BD XcD2 +BC21122. 1 1 1.$ bcE= BE?CKSxbeP= PR?BESxbcf= PQ?BC,且 SxbcE=Sabep+ sbcp,2 22111- BE?CK二 PR?BE- PQ?BG222111又.BE=BC CK= PR+ PQoA CK= PRb PQ2221212又.CK=r , PR+PQ亠 o5512(3)图3中的结论是PRPQ=12 .5矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。 $ bcd=1 BC?CD=1BD?CK,a 3 X 4=5

31、CK - CK=12 o-5(2)连接BP,过C点作CKaBD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。(3)图3中的结论是 PR-PQ=125 。连接BP, &BPE &bcf=SbegBEC是固定值，BE=BC为两个底,12PR, PQ分别为高，从而 PRPQ= o5例4: (2012山东潍坊11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2, O)、B(2, 0)、C(0, I)三点,过坐标原点0的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点.分别过点 C、D(0, 2)作平行于x轴的直线|1. |2 .(1)求抛物线对应二次函数的解

32、析式;求证以ON为直径的圆与直线li相切;MN的长.【答案】 解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为2y=ax + bx+ c,i6I _1解得b=0。c= 14a 2b+c=0 则 4a+2b+c=0Ic= i抛物线对应二次函数的解析式所以 y= 1 x2 1。4(2)设 M（xi，yi）, n（x2，y2），因为点M、N在抛物线上,足为P、F,则-旳二卜/, y2 = x22 -i ,442 x =4(y2+i) o又ONx2y2y2 +1 J+y?2 =(y2 +2 j ON =|y2 +2|。设ON的中点E,分别过点 N、E向直线|1作垂线，垂OC+NP 2+y2EF =2ON=2E

33、F,即ON的中点到直线li的距离等于 ON长度的一半,以ON为直径的圆与11相切。过点 M 作 MH 丄 NP交 NP于点 H,贝U MN 2 =MH2 +NH2 =(X2 f +(yyi f ,2 2 2 2 2又yi=kxi, y2=kx2,；( y2 yi)2=k(X2 Xi)。二 MN =(l+k )(X2一 X|)o又点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上,1 2 2- kx=x -1，即 X 4kx 4=0,-.X2+ Xi =4k, X2 xi= 4。 4【考点】的条件,元二次方程根与系数的关系，勾股定理。2 2 2 2 2 2 2 2- MN =(1+k)(X2 一 X|)

34、=(1+k )(X2+ X|) 4X2 Xl =16(1+k)。二 MN=4(1+k )。延长NP交l2于点Q,过点M作MS丄l2交l2于点S, 贝y MS+ NQ=y1 + 2 + y2+ 2= ix? -1 +-1+44 14 2122!2I 1222= -(x1 +x2 )+2= - (x1+X2 ) -2x1 X2 j+2=-(16k +8 )+2=4k +4=4(1+k ) MS+NQ=MN，即M、N两点到I2距离之和等于线段 MN的长。二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切51【分析】解析式。根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待

35、定系数法即可求出抛物线对应二次函数的(2)要证以ON为直径的圆与直线li相切，只要证ON的中点到直线li的距离等于ON长的一半即可。运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线l2的距离之和，相比较即可。例5:(2012江苏苏州9分)如图，正方形 ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形 ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点 A与点F重合在移动过程中，边 AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段 GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为 x (s)

36、,线段GP的长为y (cm),其中试求出y关于X的函数关系式，并求出 y=3时相应X的值;记 DGP的面积为S , CDG的面积为Q .试说明S Q是常数;当线段PD所在直线与正方形 ABCD的对角线AC垂直时，求线段 PD的长.F_ 4 -Xy=。3-XCD=- p-x )1 =-x+-，2 丿 2 2【答案】解：(1 ) CG/ AP， / CGD=/ PAG 则 tan ZCGD= tanPAG。二 CD = PG。 GD AGGF=4, CD=DA=1 AF=XGD=3 x, AG=4 x。丄 =-，即。二y关于X的函数关系式为3 -X 4 -X3 -X4 _ X当 y =3 时，3=

37、 ，解得：x=2.5。3 -X S1=GP G冋xl2x+2，S2=rGD S1 -S2= (1x+2用x+l尼为常数。(3)延长PD交AC于点Q.正方形 ABCD中，AC为对角线，/ CAD=45。/ PQ 丄 AC,. / ADQ=45。/ GDP=/ ADQ=45。 DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。F 3-x= _X，化简得：X2 5x+5=0，解得：x= 5 “53-X_25-府/ 0W x 2,5 - x=。2在 RtA DGP 中，PD= GD逅(3 _xCOS450I 2 丿【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函

38、数定义，特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据题意表示出 AG、GD的长度，再由tanNCGD=tanNPAG可解出x的值。(2)利用(1)得出的y与X的关系式表示出 0、S2,然后作差即可。(3)延长PD交AC于点Q，然后判断 -DGP是等腰直角三角形，从而结合 x的范围得出x的值，在Rt DGP中，解直角三角形可得出 PD的长度。练习题:1.(广东广州14分)已知关于X的二次函数y= ax2 +bx+ c(aH0 )的图象经过点 C ( 0, 1)，且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1，0)(1)求C的值;(2)求a的取值范围;(3) 该二次函数的图象与直线y = 1交于C、D两

39、点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点卩，记 PCD的面积为&, PAB的面积为S2,当0V a 0)的图象与边BC交于x点F。(1) (4分)若 OAE、 OCF的而积分别为 Sp S且S + S=2，求k的值:(2) (6分)若OA=2. 0C=4.问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少4.(2011黑龙江龙东五市 8分)如图，点E是矩形ABCD的对角线 BD上的一点，且BE=BC AB=3, BC=4,点P为直线EC上的一点，且 PQ丄BC于点Q, PR丄BD于点R。（1）如图1,当点P为线段（2）如图2,当点P为线段12EC中点时，易证：PR+

40、 PQ=（不需证明）。5EC上的任意一点（不与点 E、点C重合）时，其它条件不变，则（1 ）中的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立，请说明理由。（3）如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。C5.（ 2011湖南永州10分）探究问题:方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E, F分别为DC,BC边上的点，且满足/EAF=45,连接 EF,求证 DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空: 将 ADE绕点A顺时针旋转90得到 ABG,此时AB与AD重合，由旋转可得:AB=AD, BG=DE,/仁/ 2,

41、/ ABG=/ D=90, / ABG+/ ABF=90+ 90 丄180 ,因此，点G, B, F在同一条直线上./ EAF=45/ 2 + / 3=/ BAD- / EAF=90 45=45 ./ 仁/2,/ 1 + / 3=45.即/ GAF=/又 AG=AE, AF=AF. GAF=EF,故 DE+ BF=EF方法迁移:EAFJ / DAB.试猜2如图，将 RtA ABC沿斜边翻折得到 ADC,点E, F分别为DC, BC边上的点，且/想DE, BF, EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.问题拓展: 如图，在四边形 ABCD中，AB=AD, E, F分别为DC,BC上的点，满足/ E

42、AF / DAB试猜想当/ B与/ D2满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）G6.（ 2011福建莆田14分）已知菱形 ABCD的边长为1 ./ ADC=60,等边 AEF两边分别交边DC CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E F分别是边DC、CB的中点.求证：菱形 ABCD对角线AC BD交点0即为等边 AEF的外心;（2）若点E、F始终分别在边DC CB上移动.记等边 AEF的外心为点 P. （ 4分）猜想验证：如图2.猜想 AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明;笑（6分）拓展运用：如图3，当 AEF面积最小时，过点 P任作一直线分

43、别交边 DA于点M，交边DC的延长线于点N,试判断1 1+ 是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由。三、和差最大问题:典型例题:例1 :（ 2012广西崇左10分）如图所示,抛物线 y = ax2+bx + c (aO的顶点坐标为点 A （- 2, 3）,且抛物线y=ax2+bx + c与y轴交于点B （0, 2）.(1)求该抛物线的解析式;明理由;是否在x轴上存在点P使 PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说若点P是x轴上任意一点，则当 PA PB最大时，求点P的坐标.【答案】 解：（1 ）抛物线的顶点坐标为a（ 2,可设 抛物线的解析式为 y = a（x +2）

44、2 +3。1由题意得 a （叶2 ）+3，解得a =。4物线的解析式为y =（x+2）2+3，即y=-1x2x+2。4 4（2）设存在符合条件的点P,其坐标为（P，0），则PA2=(2 P)2+32, PB=p2 +22 , AB2 = (32)2+22 =5当pa=pb时,(-2 -P)2 +3 = p2 十2，解得 p= 94当PA=PB时,（_2-p ）2 +32=5，方程无实数解;当PB=AB时,p2+22=5，解得 p = 1。9- x轴上存在符合条件的点P,其坐标为（一，0）或（-1,0）或（1,0）。4（3）v paPBC AB 当A、B、P三点共线时，可得 PAPB的最大值，这

45、个最大值等于AB,此时点P是直线AB与x轴的交点。设直线AB的解析式为y=kx+b，则1 1b 2lk = 1b，解得r 2。直线AB的解析式为y = -1x+2，2k+b=3b=221当 y =-x +2 =0 时，解得 X =4。2当paPB最大时，点P的坐标是（4, 0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。（2）分PA=PB PA=PB PB=A三种情况讨论即可。（3）求得paPB最大时的位置，即可求解。例b C2012四川内江&分已知A（h 5）, B （3, -1）两昌 在蛊轴上取一

46、点M,AM-BM取得a大值时，则M的坐标酋4【答案】（-，0）o2【考点】一S函数综合题，线段中垂线的性质，三角形三边关系，关于签轴对称ffi点的坐标，待定:系数法,直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组【分析】如圈，作点.B关于龙轴的对称点B；连接总B-并延长与K轴的交点,目卩対所求的M点此时 AM- BM= AM- B AB不妨在藍轴上任取一个另一点Ml连接M虫、MB ME刚MA IVTAM-AMAE（三角形两辺之差小于第三边）目卩此时女M最犬.是B（3,】）关于签轴的对称点，二By，1）设直线AB解析式为y-b+b,把A （1,幻和BUS, 1）代入得:丁一2 二直绘阳懈析式为 L

47、昭了.0=777令尸山解得迁也点坐标術（T 0）.例3: （2012广东广州14分）如图，在平行四边形 ABCD中，AB=5, BC=10,F为AD的中点，CE1 AB于E,设/ ABC=a (60w在平行 四边形 ABCD中，AB/ CD, / G=/ DCF。在 AFG和 CFD中,/ G=Z DCF,/ G=Z DCE AF=FD, AF3A CFD (AAS)。 CF=GF AG=CD/ CEL AB,. EF=GFAEF=/ G。1 1 AB=5 , BC=10,点 F 是 AD 的中点，二 AG=5 , AF=-AD=-BC=. AG=AF。 22/ AFG=/ Go在 AFG中，/ EFC=Z AEF+Z G=2/ AEF,又/ CFD=/ AFG, / CFD=/ AEFO / EFD=/ EFC+/ CFD=2Z AEF+Z AEF=3/ AEE因此，存在正整数 k=3,使得Z EFD=3/ AEFO 设 BE