坐标系中的几何问题

1、中考数学重难点专题讲座第七讲坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质表达。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且根本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至总分值的同学，这类问题一定要重视。 此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。第一局部真题精讲【例1】2021,石景山，一模：如图1，等边 AB

2、C的边长为2 一 3，一边在x轴上且A 1 3,0，AC交y轴于点E，过点E作EF / AB交BC于点F (1) 直接写出点B、C的坐标；(2) 假设直线y kx 1 k 0将四边形EABF的面积两等分，求k的值；(3) 如图2，过点A B、C的抛物线与y轴交于点D , M为线段OB上的一个动点，过 x轴上一点G 2,0作dm的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论： GNM CDM MGN DCM，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明.【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不

3、太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tg60 来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来

4、当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。【解析】解：1B 1,3,0 ； C 1,3 .2过点C作CP AB于P，交EF于点Q，取PQ的中点R . ABC是等边三角形，A 13,0 . EAO 60.在 Rt EOA 中， EOA 90 .- EO AO tan60 133 33 . E 0,33 .T EF AB 交 BC 于 F , C 1 3 . - R 1,，彳.就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是 E的纵坐标的一半直线y kx 1将四边形EABF的面积两等分.直线ykx 1必过点R1,2(3)正确结论： GNM证

5、明：可求得过 A B、C的抛物线解析式为 yX2 2x 2 D 0,2 / G 2,0 . OG OD .由题意 GON DOM 90又 GNO DNHNGOMDONGO也MDOGNODMO ,OM ONONMNMO45过点D作DT CP于T DT CT 1 CDTDCT 45由题意可知DT / AB TDMDMOTDM 45DMO 45 GNO 45TDM CDT GNO ONM即： GNM CDM .(这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图)【例2】2021,怀柔，一模1 2如图,在平面直角坐标系 xoy中,抛物线y x184X 10与x正半轴交于点 A,与y轴交于点B,过点

6、B作x轴的平行线BC,交抛物线于点 C,连结AC.现有两动点P、Q分别从O C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿 OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿 CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE/ OA交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位：秒)(1)求A,B,C三点的坐标；当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形过程;9(3)当0v t v时，P QF的面积是否总为定值2此定值，假设不是，请说明理由；(4)当 t时,PQF为等腰三角形？计算求出【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的

7、题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。此题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中条件有何关系。在运动中,QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要 QC=PA寸候即可。第三问求 PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF得解。第四问因为已经知道 PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点(4t,0 ) Q(8-

8、t,-10),F(18+4t,0)此题作为1分的填空，考生只要大概猜出应该是 FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的，如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了1 2【解析】解：(1) y(x2 8x18180)，令 y 0 得 x2 8x 1800， x18 x 100由于18或 x10 - A(18,0)；x24x 10 中，令 x 0得189BC/ OA故点C的纵坐标为一10,10 即 B(0, 10)；4x 10得 x 8或 x9即 C(8, 10)疋，(2)假设四边形PQCA为平行四边形，由于QC/ PA.故只要QC=P

9、A!卩可曰 A(18,0), B(0, 10),C(8, 10)/ PA 18 4t,CQ t(3)设点P运动t秒，那么OP4t,CQ4.5,说明P在线段0A上,且不与点O A重合,由于QC/ 0卩知厶QDSA PDO故QDQCOP丄4t二 AF 4t OP PF PA AF PA OP18又点Q到直线PF的距离d 10 S PQF IgPFgd 1 18 10902 2 PQF的面积总为90(4)由上知,P(4t,0), F(18 4t,0), Q(8 t,10) , 0t4.5。构造直角三角形后易得2 2 2 2PQ (4t 8 t) 10(5t 8)100,2FO (182 2 24t

10、8 t) 10(5t 10)100假设 FP=PQ 即 182(5t8)2100，故 25(t22)224 ,假设 QP=QF 即(5t8)21002(5t 10)100，无 0 t 4.5 的 t 满足条件;124.5 或 t8 4 14假设 PQ=PF 即5t 82 100182，得5t 82224 ,二 t55不满足0 t 4.5，故无0 t 4.5的t满足方程；综上所述：当t 4 2时， PQF是等腰三角形。5【例3】2021,延庆，一模2如图，抛物线 Ci : y a x 25的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1 .(1) 求P点坐标及a的值；(2

11、) 如图(1),抛物线C2与抛物线G关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3, C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求 C3的解析式；(3) 如图(2),点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线 G绕点Q旋转180后得到抛物线C4 .抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点 P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q的坐标.【思路分析】出题人比拟仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B (1,0 )代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出 M坐标，然后设顶点式，继续代入点B即可。第三问那么需要设出N,然后分别将NP,PF,NF三个线段的距

12、离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比拟大，务必细心。【解析】解：由抛物线G : y a x 2 2 5得顶点P的为(2 ,5)点B(1, 0)在抛物线 G上 0 a 1 2 2 55解得，a -9连接PM，作PH x轴于H，作MG x轴于G点P、M关于点B成中心对称 PM过点B，且PB MB PBH MBG MG PH 5, BG BH 3顶点M的坐标为(4 , 5)(标准答案如此，其实没这么麻烦，点M到B的横纵坐标之差都等于 B到P的，直接可以得出(4,5 )抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线 C3由C2平移得到 抛物线C3的表达式为y524X5 - 9抛物线C4由Cl

13、绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称由得点N的纵坐标为5设点N坐标为(m，5)作PH x轴于H，作NG x轴于G作PK NG于K.旋转中心Q在x轴上 EF AB 2BH 6 FG 3，点F坐标为(m 3 ,0)H坐标为(2 , 0) , K坐标为(m ,5),根据勾股定理得2 2 2 2PN NK PK m 4m 1042 2 2 2PF PH HF m 10m 502 2 2NF 5334当PNF 90时,PN2NF2 PF2，解得 m44Q点坐标为，0)33当PFN 90时,PF2NF2 PN2，解得 m10y，Q点坐标为2(3，0)PN NK10NF ,NPF 工

14、90192综上所得，当Q点坐标为(一，0)或(-,0)时，以点P、N、F为顶点33的三角形是直角三角形.【例4】2021,房山，一模如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线11: y 3x 6 3交x轴、y轴于A、B两点，点M m,n 是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点.(1) 求点C的坐标；(2) 连接CM，将 ACM绕点M旋转180，得到 ACM .1当BM -AM时，连结AC、AC，假设过原点O的直线J将四边形ACAC分成面积相等的两个2四边形，确定此直线的解析式；过点A作AH x轴于H ,当点M的坐标为何值时，由点A、H、C、M构成的四边形为梯形?【思路分析】此题计算方面不是很

15、繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比拟典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握.第二小问较.只要利用好梯形两过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线 为麻烦，因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能，所以需要分类讨论去求解 底平行这一性质就可以了 【解析】(1) 根据题意：A 6, 0，B 0,6 3/ C是线段OA的三等分点 C 2,0 或 C 4, 0 2分(2) 如图，过点 M作MN y轴于点N ,那么 BMN BAO .1 BM AM .21- BM BA31- BN B

16、O3 N 0, 4 3/点M在直线y 3x 6 3上 M 2, 4 3 - ACM是由 ACM绕点M旋转180得到的 AC II AC无论是G、C2点，四边形 ACAC是平行四边形且 M为对称中心所求的直线12必过点M 2, 4 3 .直线12的解析式为：y 2 3x当Ci 2, 0时，第一种情况：H在C点左侧假设四边形AHC1M是梯形 AM与HCi不平行 AH / MC1此时M 2,4 .3第二种情况：H在C点右侧 假设四边形ACiHM是梯形 AM与GH不平行 ACi / HM M是线段AA的中点- H是线段ACi的中点/. H 4, 0由 OA 6 , OB 6.3 OAB 60点M的横坐

17、标为5二 M 5, 3当C2 4, 0时，同理可得第种情况：H在C2点左侧时，M 4, 2 3 -第二种情况：H在C2点右侧时，113M,-2 2综上所述，所求M点的坐标为：M 2,4.3 ， M 5, . 3 ，M 4, 2.3 或 M 弓【例5】通州,2021, 模一 2在平面直角坐标系中，抛物线y x 2x 3与x轴交于 A B两点，点 A在点B左侧.与y轴交于点C，顶点为D,直线CD与x轴交于点E.1 请你画出此抛物线，并求 A B、C D四点的坐标.2 将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F 不与A、B两点重合，请你求出 F点坐标.3 在点B、点F之间的抛物线上有一点 只使厶P

18、BF的面积最大，求此时 P点坐标及厶PBF的最大 面积.4 假设平行于x轴的直线与抛物线交于 G H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.【思路分析】此题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C到对称轴的距离刚好是 1所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F直接写出为(-2,-3)第三问看似棘手，但是只要将 PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻 松了。将P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在 X轴上方和下方两种情况，

19、分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画 两个图分开来看。【解析】解：(1) A 3,0 , B 1,0 ,C 0, 3 ,D 1 , 4 .(2) F 2,3R R 0，贝y H R 1 , R ,(3) 过点P作y轴的平行线与 BF交于点M，与x轴交于点H易得F 2 , 3，直线BF解析式为yx 1 .设 P x , x2 2x 3，那么M x, x 1 , 2PMx x 29PM的最大值是- 4当PM取最大值时 PBF的面积最大1927S PBFS PFMS PBM3248PFB的面积的最大值为278(4) 如图，当直线 G

20、H在x轴上方时，设圆的半径为代入抛物线的表达式，解得R 127 .2当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为 r r 0 ,那么 Hr 1, r ,代入抛物线的表达式，解得1 717 r2圆的半径为1_17或-一17 .G厶【总结】 通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起来十分复杂，但是只要一问一问研究 慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学 们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的 图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中表达就可以了。例 如等腰/

21、边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就 要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要将 前面容易的分数拿到手，这局部分数其实还不少。像例2最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为1分的题失去了大量检查的时间。第二局部发散思考【思考1】2021,北京如图，在平面直角坐标系xOy中，VABC三个顶点的坐标分别为 A 6,0 ，B 6,0，C 0,4 3 ,点E.延长AC到点D,使cd=2 AC,过点D作DE AB

22、交BC的延长线于(1) 求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,假设线y kxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此析式;过B点的直直线的解交点出发,(3) 设G为y轴上一点，点 P从直线y kx b与y轴的先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)【思路分析】在一模真题局部我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题那么是分周长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究

23、哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度，利用相似三角形去建立关系，还是不难证明的，有余力的同学可以试试【思考2】2021，西城，一模3：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x 6与x轴、y轴的交点分4别为A B,将/ OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.(1) 直接写出点C的坐标，并求过 A B C三点的抛物线的解析式；(2) 假设抛物线的顶点为 D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形 ODAP为平行四 边形？假设存在，求出点 P的坐标；假设不存在，说明理由；(3) 设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T,

24、 Q为线段BT上一点，直接写出QA QO的取值范围角是否符合平行【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看四边形的线段是否平行且相等,四边形的条件。另一个是看假设有平行四边形，那么构成平行四边形的点P是否在BC上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线，继而看出最大值和最小值分别 是多少。【思考3】2021，朝阳，一模抛物线与x轴交于A (- 1, 0)、B两点，与y轴交于点C ( 0, 3),抛物线顶点为 M连接AC并 延长AC交抛物线对称轴于点 Q,且点Q到x轴的距离为6.(1)求此抛物线的解析式；(2) 在抛物线上找一点 D,使得DC与AC垂直，求出点

25、 D的坐标；x=1,然后设顶点式(3) 抛物线对称轴上是否存在一点P,使得SAPAM=3SACM假设存在，求出 P点坐标；假设不存在, 请说明理由【思路分析】第一问要算的比拟多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为解个二元方程组即可第二问利用三角形相似求出点N坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解，如果能巧妙的将厶ACM的面积看成是四边形 ACEM减去厶AME那么就会发现四边形ACEM刚好也是 AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的距离，然后分类讨论 PM的位置即可求解.【思考4】2021，崇文，一模如图，抛物线y ax2 bx 3与x轴交于A, B两点，与

26、y轴交于点C，且OB OC 3OA (I)求抛物线的解析式；(II )探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点P, A, C为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，求出P点坐标，假设不存在，请说明理由;(III )直线y1-x 1交y轴于D点，E为抛物线顶点假设DBC ,3CBE,求的值【思路分析】此题虽然没有明确给出表达式中暗含了 X=0时Y=-3，于是C点得坐标，但是出，然后利用给定的等式关系写出 A,B去求解析式。第二问中，因为AC是固定的，所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问那么是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例

27、关系，发现/CBE=/ DBO于是所求角度差就变成了求/OBC第三局部 思考题解析【思考1解析】 解：(1 ) A( 6,0) , Cg 3), OA 6, OC 4 3 设DE与y轴交于点M 由 DE / AB可得 DMC AOC 又CD-AC ,2 MDCMCD1OACOCA2 CM2、. 3,MD3同理可得EM3 OM6.3 D点的坐标为(3,6/3) (2)由(1)可得点 M的坐标为(0,6、.3) 由 DE / AB, EM MD ,可得y轴所在直线是线段 ed的垂直平分线.点C关于直线DE的对称点F在y轴上. ED与CF互相垂直平分. CD DF FE EC 四边形CDFE为菱形，

28、且点 M为其对称中心.S、点 T 可证 FTMCSM 作直线BM FTCS FECD , TESD ECDF , TEEC CS ST SD DF FT TS 直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形.设BM与CD、EF分别交于点由点B(6,0)，点M (0,6、3)在直线y kx b上,可得直线BM的解析式为y ,3x 6,3 .3确定G点位置的方法：过 A点作AH丄BM于点H 那么AH与y轴的交点为所求的 G点.由 0B 6, OM 6、3 ,可得 OBM 60 BAH 30 在 RtAOAG 中，OG AOgtan BAH 2、. 3 G点的坐标为0,2.3 或G点的位置为线段

29、0C的中点【思考2解析】解：1 点C的坐标为(3,0). 点A、B的坐标分别为A(8,0), B(0,6),可设过A、B C三点的抛物线的解析式为a(x 3)(x 8).将 x 0,y6代入抛物线的解析式，得a过A、B C三点的抛物线的解析式为(2)11可得抛物线的对称轴为x三，顶点D的坐标为生，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.16直线BC的解析式为y 2x 6.-设点P的坐标为x, 2x 6.解法一：如图 8,作OP/ AD交直线BC于点P,连结AP,作PMLx轴于点M.11y/ OP/ AD, / POMM GAD tan / POM=taM GAD.PMOMDA，即宁解得x16. 经检

30、验x7251611 .8 216是原方程的解7此时点P的坐标为(号,号)165但此时 OM ,GA - , OMk GA.72OPOM,ADGAPOM GAD,cos POMcos GAD OPv AD即四边形的对边 OP与AD平行但不相等，直线BC上不存在符合条件的点P.解法二：如图9,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PNx轴于点N.那么/ PEON DEAPE=DE.可得 PENA DEG.OA由OE4，可得E点的坐标为4,0.22216点P的坐标为5 25(,).2 165评525x=时，2x6 26 12点P不在直线BC上.2163525NE=EG= , ON=OE- NE= , NP=DG=.直线BC上不存在符合条件的点 P .QA QH .当点Q与点B重合时，Q H、A三点共线，QA QO取得最大值4 (即为AH的长)；设线段 OA的垂直平分线与直线 BC的交点为