最优控制理论及应用

1、Date:7/6/2021File:OC_CH3.1Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application第三章第三章 极小值原理及应用极小值原理及应用经典变分法局限性：经典变分法局限性：1、应用前提：、应用前提： b ） f、L、等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密尔顿函数关于控制变量的偏导数存在尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。2、实际控制要求：、实际控制要求：a ）控制量）控制量u受不等式约束，如：受不等式约

2、束，如： 0)(uMi，i=1,2,3 b ）性能指标有时关于）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数并不可微，要求哈密尔顿函数关于控制变量的偏导数不存在关于控制变量的偏导数不存在 。a ）控制量）控制量 u(t)的取值无约束。的取值无约束。Date:7/6/2021File:OC_CH3.2Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如：燃料最优控制：如：燃料最优控制： fttdttuJ0)(若采用经典变分法：若采用经典变分法： 0uH再

3、如：再如：若在容许控制范围内，若在容许控制范围内，J或或H有极值且唯一，用极小值原理有极值且唯一，用极小值原理与经典变分法，所得结论一致。与经典变分法，所得结论一致。极小值原理是变分法的推广，可以克服前面的局限性。极小值原理是变分法的推广，可以克服前面的局限性。关于关于u不可微。不可微。Date:7/6/2021File:OC_CH3.3Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application连续系统极小值原理连续系统极小值原理1极小值原理的其他形式极小值原

4、理的其他形式2讨论讨论4 例题分析例题分析 5极小值原理的意义极小值原理的意义3主要内容主要内容离散系统极小值原理离散系统极小值原理6极小值原理在实际中的应用极小值原理在实际中的应用7Date:7/6/2021File:OC_CH3.4Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application定理定理3.1 设系统的状态方程为设系统的状态方程为始端条件为始端条件为终端约束为终端约束为控制约束为控制约束为性能泛函为性能泛函为3.1 连续系统极小值原理连续系统极小

5、值原理Date:7/6/2021File:OC_CH3.5Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application引入一个新的引入一个新的r维变量维变量w(t)，令，令 虽然虽然u(t)是不连续的，但是不连续的，但w(t)是连续的。若是连续的。若u(t)分段连续，则分段连续，则w(t)是分段是分段光滑连续函数。光滑连续函数。引入另一个新的引入另一个新的l维变量维变量z(t)，令，令 无论无论 是正是负，是正是负， 恒非负，满足恒非负，满足gx(t)，u(t)

6、，t非负要求。非负要求。 通过以上变换，具有不等式约束的最优控制问题转化为具有等式约束通过以上变换，具有不等式约束的最优控制问题转化为具有等式约束的波尔札问题。再应用拉格朗日乘子法引入乘子的波尔札问题。再应用拉格朗日乘子法引入乘子和和，问题进一步化，问题进一步化为求下列增广性能泛函为求下列增广性能泛函 的极值问题。的极值问题。Date:7/6/2021File:OC_CH3.6Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application取哈密尔顿函数为取哈密尔顿

7、函数为 则实现最优控制的必要条件是，最优控制则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线、最优轨线x*和最优协态矢量和最优协态矢量*满足下列关系式：满足下列关系式： 沿最优轨线满足正则方程沿最优轨线满足正则方程当当g中不含中不含x时时Date:7/6/2021File:OC_CH3.7Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application在最优轨线上，与最优控制在最优轨线上，与最优控制u*相对应的相对应的H函数取绝对极小函数取绝对极小值，即值，即或或

8、沿最优轨线沿最优轨线H函数在最优轨线终点满足函数在最优轨线终点满足Date:7/6/2021File:OC_CH3.8Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application协态终值满足横截条件协态终值满足横截条件满足边界条件满足边界条件这就是著名的这就是著名的极小值原理极小值原理。Date:7/6/2021File:OC_CH3.9Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optima

9、l Control Theory & its Application极小值原理的几点说明极小值原理的几点说明(1)控制作用不等式约束与等式约束下最优控制的必要条控制作用不等式约束与等式约束下最优控制的必要条件比较件比较q 横截条件和端点边界条件相同横截条件和端点边界条件相同q 控制方程控制方程 不成立，代之以下条件：不成立，代之以下条件：q 协态方程发生了改变协态方程发生了改变q 仅当仅当g中不含中不含x时，方程才与等式约束条件下相同时，方程才与等式约束条件下相同Date:7/6/2021File:OC_CH3.10Optimal Control TheoryDong Jie 2012. Al

10、l rights reserved.Optimal Control Theory & its Application(2)极值条件的说明极值条件的说明q 第第1条件和第条件和第2条件，适用于求解各种类型的最优控制问题，条件，适用于求解各种类型的最优控制问题，且与边界条件形式或终端时刻是否自由无关。且与边界条件形式或终端时刻是否自由无关。q 第第2条件，说明当条件，说明当u*(t)和和u(t)都从容许的有界闭集都从容许的有界闭集U中取值中取值时，只有时，只有u*(t)能使能使H函数沿最优轨线函数沿最优轨线x*(t)取全局最小值，取全局最小值，且与闭集的特性无关。且与闭集的特性无关。q 第第3条件

11、，描述了条件，描述了H函数终值与函数终值与tf之间的关系，可以确定之间的关系，可以确定tf的值，该条件是由于的值，该条件是由于tf变动产生的，当变动产生的，当tf固定时，该条件不固定时，该条件不存在。存在。q 第第4条件和第条件和第5条件，为正则方程提供数量足够的边值条件。条件，为正则方程提供数量足够的边值条件。若初态固定，其一半由若初态固定，其一半由x(t0)=x0提供，另一半由协态终值提供，另一半由协态终值约束方程约束方程 和协态终值方程和协态终值方程 共同提供。共同提供。Date:7/6/2021File:OC_CH3.11Optimal Control TheoryDong Jie 2

12、012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application(3)控制作用有界和无界时的区别和联系控制作用有界和无界时的区别和联系当控制作用无界时，控制方程当控制作用无界时，控制方程 成立成立, 控制作用有界时不成立。控制作用有界时不成立。控制作用有界时，控制作用满足控制作用有界时，控制作用满足控制作用无界是控制作用有界时的一个特例。从上面的条控制作用无界是控制作用有界时的一个特例。从上面的条件可以看出当控制作用无界时，由控制方程确定的最优控制件可以看出当控制作用无界时，由控制方程确定的最优控制实际上是使实际上是使H极小或极

13、大的驻点条件，取得的最优控制极小或极大的驻点条件，取得的最优控制u*(t)只能取得相对极小值或极大值。而控制作用有界时确定的最只能取得相对极小值或极大值。而控制作用有界时确定的最优控制优控制u*(t)保证了使保证了使H取得全局极小值。取得全局极小值。Date:7/6/2021File:OC_CH3.12Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application(4)根据极值条件求解最优控制的一般方法和步骤根据极值条件求解最优控制的一般方法和步骤 正则方程是一组

14、一阶微分方程组，共有正则方程是一组一阶微分方程组，共有2n个方程，要求出个方程，要求出它的解需要它的解需要2n个边值条件。当初端固定，个边值条件。当初端固定，x(t0)=x0提供提供n个个边值条件，另外边值条件，另外n个边值条件由协态终值约束方程和协态终个边值条件由协态终值约束方程和协态终值方程共同提供。当初端固定，终端也固定时，值方程共同提供。当初端固定，终端也固定时，x(t0)=x0提提供供n个边值条件，个边值条件，x(tf)=xf提供另外提供另外n个边值条件，而不需要个边值条件，而不需要对协态终值附加任何约束。其求解最优控制的一般步骤如下：对协态终值附加任何约束。其求解最优控制的一般步骤

15、如下：根据要求构造哈密尔顿函数根据要求构造哈密尔顿函数H；列写正则方程；列写正则方程；由正则方程求出由正则方程求出u(t)和和x(t)(带积分常数带积分常数)；写出边界条件、边界约束条件和协态终值方程；写出边界条件、边界约束条件和协态终值方程；联立求解联立求解,求出积分常数求出积分常数,确定出最优控制确定出最优控制u*(t)和最优轨线和最优轨线x*(t)。Date:7/6/2021File:OC_CH3.13Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Applicat

16、ionDate:7/6/2021File:OC_CH3.14Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.15Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.16Optimal Control Theory

17、Dong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.17Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.18Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control T

18、heory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.19Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3.3 极小值原理的意义极小值原理的意义（1 ）容许控制条件放宽）容许控制条件放宽变分法变分法：在整个控制域，对：在整个控制域，对u 没有约束没有约束 0uH有时有时 计算不易。计算不易。极小值原理极小值原理：H在在u的约束闭集中取极小值。的约束闭集中取极小值。变分法仅为极小值原理的一个特例。变分法仅为极

19、小值原理的一个特例。0uH。但即使。但即使u不受限制，不受限制，（2）最优控制）最优控制 *u使哈密顿函数使哈密顿函数H取极小值取极小值,极小值原理由此得名。极小值原理由此得名。这一原理是苏联学者这一原理是苏联学者庞特里亚金庞特里亚金等人首先提出，后加以证明。等人首先提出，后加以证明。 在证明过程中：在证明过程中： 与与H的符号与这里所定义的相反。的符号与这里所定义的相反。 HH_Date:7/6/2021File:OC_CH3.20Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory &

20、 its Application)(),(),(max)(),(),(*_)(*_tuttXHtUttXHtu 所以有的文献中也称为所以有的文献中也称为“极大值原理极大值原理”。 （3）H对对u没有可微要求，因此应用拓宽。没有可微要求，因此应用拓宽。（4）极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。）极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。即：满足极小值原理不一定即：满足极小值原理不一定J取极小值，需进一步判断。取极小值，需进一步判断。一般一般:对于实际系统对于实际系统 有最优解有最优解 有唯一解有唯一解 最优解最优解根据物理意义极小值原理但是，对于但是，对于线性系统线性系统可以证

21、明极小值原理既是泛函取最小可以证明极小值原理既是泛函取最小值的必要条件，也是充分条件。值的必要条件，也是充分条件。Date:7/6/2021File:OC_CH3.21Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3.4 讨论讨论前面讨论的是前面讨论的是 0t和和 )(0tx已知，已知， )(ftx受约束，受约束， ft自由的最一般情况。自由的最一般情况。若若 ft和末端状态不同，只需改变极小值原理的和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件边界

22、条件即可。即可。1） ftt ,0已知，已知， ffxtxxtx)(,)(00边界条件为：边界条件为： 2) 000)(,xtxt给定，给定，)(ftx自由，自由， ft未给定，未给定，边界条件：边界条件： ftfxtxtx|)(,)(00确定确定 :ft3) ftt ,0已知，已知， 00)(xtx给定给定,末端受约束末端受约束 0),(ffttxg边界条件为边界条件为: 0),()()(00fftTtfttxgxgxtxtxff若若 ft自由，外加自由，外加: 0|fTfttgtHfffxtxxtx)(,)(000|fttHfDate:7/6/2021File:OC_CH3.22Optim

23、al Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application哈密顿函数哈密顿函数H的性质讨论的性质讨论用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及1、线性定常系统：、线性定常系统： ),(UXfX ft ) 1固定，固定， dtUXLtXJfttf0),()(包括包括 fttfdtUXLJtXJ0),()(与末端状态无关与末端状态无关)则则: )()(*ftHtH常数常数 。 tHdtdHH中不显函中不显函t

24、ft )2自由，自由， ffttttffdtUXLdtUXLtXtXJ00),(),()()(沿最优控制轨线：沿最优控制轨线： 0)()(*ftHtH（与末端状态无关）（与末端状态无关） 因为因为 )(*tH中不显函中不显函t所以所以 )()(*ftHtH常数常数又因为又因为 ft自由自由, 0)(; 0; 0)(*fffftHtttH*ftDate:7/6/2021File:OC_CH3.23Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application2、对于

25、时变系统：、对于时变系统： ),(tUXfX ft、) 1固定固定: :ffttffttffdttUXLttXdttUXLttXJ00),(),(),(),(fttfdHtHtH0)()(*ft、)2自由自由: fttffdttUXLttXJ0),(),(，末端，末端 0),(ffttXg0)(*fTfftgttH 若末端自由若末端自由: ffttH)(*Date:7/6/2021File:OC_CH3.24Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Applicat

26、ion3.5 例题分析例题分析)()()(tutxtx ，x(0)=5 控制约束控制约束: 15 . 0 u试求使性能指标试求使性能指标: 10)()(dttutxJ为极小值的最优控制为极小值的最优控制*J解解:定常系统定常系统, ft固定固定,末端自由问题末端自由问题)1 ()1 ()(uxuxuxH根据极小值原理，根据极小值原理，使使H绝对极小相当于使绝对极小相当于使J为极小为极小。所以所以 115 . 01)(*tu由协状态方程由协状态方程: 1)();(1 )(tcettxHt)(*tu例例1：设一阶系统状态方程：设一阶系统状态方程：及最优性能指标及最优性能指标Date:7/6/202

27、1File:OC_CH3.25Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application由横截条件由横截条件: 1)(; 01) 1 (11tetecce显然显然:当当 1)(st时，时，)(*tu产生切换产生切换307. 0, 11)(1ststets所以所以 )(*tu5 . 01)(tx 5 . 0)(1)(txtx)(tx5 . 0121ttecec307. 00t1307. 0t307. 00t1307. 0t307. 00t1307. 0tDate

28、:7/6/2021File:OC_CH3.26Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application由由x(0)=5代入代入,得得 41c所以所以 14)(*tetx令令t=0.307可得可得0.307t1时时x(t)的初始条件的初始条件:44. 614)307. 0(307. 0 ex解得解得 34. 42c所以所以 )(*tx5 . 034. 414ttee将将 *,ux代入代入J可得可得:64. 8)()(10*dttutxJ307. 00 t307

29、. 00t1307. 0tDate:7/6/2021File:OC_CH3.27Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application例例2: 10)0()(21)(min1022xuxxdtuxuJ求求 *u 1)1)对对u u没没有有约约束束 2) |u|2) |u|3 . 0解解:1) *220)(21210) 1 (uuHuxuxHxuxxxxH010)0(x0) 1 (-0.31t(t)u(t)Date:7/6/2021File:OC_CH3.2

30、8Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application解得解得: tttteeteetx2222*) 12(9 . 9) 12( 1 . 0)(9 . 91 . 0)(2) |u| 3 . 0Date:7/6/2021File:OC_CH3.29Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3.6 离散系统极

31、小值原理离散系统极小值原理定理定理3.2 设受控离散系统的状态方程为设受控离散系统的状态方程为式中式中 x(k)=x1(k)，x2(k)，xn(k)n维状态向量；维状态向量； u(k)=u1(k)，u2(k)，um(k)m维控制向量，且维控制向量，且 f x(k)，u(k)，k连续可微的向量函数连续可微的向量函数。边界条件为边界条件为q 始端步数始端步数k0和始端状态和始端状态x(k0)固定，即固定，即q 末端步数末端步数kf固定，末端状态固定，末端状态x(kf)未知，即末端自由。未知，即末端自由。性能泛函为性能泛函为式中式中 x(kf)，kf对对x(kf)连续可微的标量函数；连续可微的标量函

32、数； Lx(k)，u(k)，k对对x(k)连续可微的连续可微的标量函数。标量函数。Date:7/6/2021File:OC_CH3.30Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application 使性能泛函取得极小值的最优控制使性能泛函取得极小值的最优控制u*(k)、最优轨线、最优轨线x*(k)以以及协态变量满足下列必要条件：及协态变量满足下列必要条件：正则方程组正则方程组q 状态方程状态方程q 协态方程协态方程式中式中 Hx(k)，u(k)，(k+1)，k哈

33、密尔顿函数。哈密尔顿函数。定义为定义为Date:7/6/2021File:OC_CH3.31Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application极值条件极值条件横截条件横截条件边界条件边界条件q 如果容许控制如果容许控制u(k)不受任何条件的约束，则极值变为不受任何条件的约束，则极值变为Date:7/6/2021File:OC_CH3.32Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.O

34、ptimal Control Theory & its Application连续极大值原理与离散极大值原理比较连续极大值原理与离散极大值原理比较应用离散极大值原理和连续极大值原理求解同一个最优控制应用离散极大值原理和连续极大值原理求解同一个最优控制问题，可以得到非常相似甚至是相同的结果。问题，可以得到非常相似甚至是相同的结果。比如，对于如下连续系统，终端状态自由。比如，对于如下连续系统，终端状态自由。有两种求解方法：有两种求解方法：（1）直接用连续的极大值原理，得到连续的正则方程组，）直接用连续的极大值原理，得到连续的正则方程组，然后将正则方整组离散化，求解离散的两点边值问题。然后将正则方整

35、组离散化，求解离散的两点边值问题。（2）对连续系统状态方程和指标函数离散化，应用离散极）对连续系统状态方程和指标函数离散化，应用离散极大值原理求解最优控制序列。大值原理求解最优控制序列。如果采样周期选取的合适。则两种方法求解结果应该是很相如果采样周期选取的合适。则两种方法求解结果应该是很相近的。近的。Date:7/6/2021File:OC_CH3.33Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如：先用连续极大值原理求得正则方程。如：先用连续极

36、大值原理求得正则方程。设采样时间为设采样时间为T ，取一阶差分：，取一阶差分：代入正则方程组，并将正则方程组离散化：代入正则方程组，并将正则方程组离散化：Date:7/6/2021File:OC_CH3.34Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如果应用离散极大值原理求解，则先对状态方程和指标函如果应用离散极大值原理求解，则先对状态方程和指标函数作一次差分近似：数作一次差分近似：离散的哈密尔顿函数：离散的哈密尔顿函数：Date:7/6/20

37、21File:OC_CH3.35Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application离散的两点边值问题为：离散的两点边值问题为：两种情况下的正则方程略有不同。当两种情况下的正则方程略有不同。当采样时间很小时采样时间很小时， k与与k + 1很接近，两种方法的差别就不大了。很接近，两种方法的差别就不大了。Date:7/6/2021File:OC_CH3.36Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights re

38、served.Optimal Control Theory & its Application3.7极小值原理在实际中的应用极小值原理在实际中的应用几个典型例子：几个典型例子：q 时间最优控制问题时间最优控制问题q 最小燃料消耗问题最小燃料消耗问题q 最小能量控制问题最小能量控制问题q 线性调节问题线性调节问题重点：重点：时间最优控制问题时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）（其他求解思想与此类似）Date:7/6/2021File:OC_CH3.37Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Contro

39、l Theory & its Application一、时间最优控制问题一、时间最优控制问题 所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态所谓时间最优控制，就是把系统从初始状态转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移转移到目标状态的时间作为性能指标，即使转移时间为最短。时间为最短。 也称为最小时间控制，或也称为最小时间控制，或 最速控制。最速控制。 这也是发展得最早的最优控制问题之一。这也是发展得最早的最优控制问题之一。 Date:7/6/2021File:OC_CH3.38Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optim

40、al Control Theory & its Application1 1、问题提出（时变系统）、问题提出（时变系统） 已知受控系统已知受控系统并设并设 f f 和和 B B对对X(t)X(t)和和t t 连续可微。连续可微。0)0(),(),(),(XXtuttXBttXfX1)(tjurj.2 , 10)(ftxg00ttdtJfttfft X：n1 状态向量状态向量 u： r1 控制向量控制向量 f f ：n1 函数向量函数向量 B：nr 函数值矩阵函数值矩阵控制向量约束条件控制向量约束条件:末端状态：末端状态： g g：p p 1 1维函数向量维函数向量目标函数：目标函数： : 自由

41、自由问题：寻求最优控制问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态，使系统由初态到终态， 目标函数目标函数J J 为最小为最小Date:7/6/2021File:OC_CH3.39Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application应用极小值原理进行问题的求解应用极小值原理进行问题的求解q 步骤：步骤：列写哈密顿函数列写哈密顿函数)(),()(),()(1)(),(),()(1),(),(),(tuttxBtttxfttuttxBttxfttttut

42、xHTTT由控制方程求由控制方程求u*(t)u有约束，有约束， H在在u*上取得极小值，即：上取得极小值，即：令令 q:r 1维向量函数维向量函数)(),(*)(*min),(),(*),(*1tuttxBttttutxHTuTj1)(*),(*)(*nnrTtttxBtqDate:7/6/2021File:OC_CH3.40Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationrjjjuTuTtutqtutqtutqjj111)()(min)()(*mi

43、n)(*)(*)()(min11tutqjjrjuj则有：则有：最优控制最优控制u u* *(t)(t)是使是使 为极小，则：为极小，则： rjtqtutqjjjuj,.,2, 1)()()(min1)()(tutqjj)(* tuj0)( *,0)( *,0)( *,tqtqtqjjj不定不定可见：当可见：当 时，时， 有确定值，有确定值，正常情况正常情况 当当 时，时， 不定，不定， 奇异情况奇异情况0)(tqj)(* tuj0)(tqj)(* tujt+1-1u*(t)奇异奇异Date:7/6/2021File:OC_CH3.41Optimal Control TheoryDong Ji

44、e 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application奇异状态并不表示时间最优控制不存在，只表明用极小值原奇异状态并不表示时间最优控制不存在，只表明用极小值原理理不能确定最优解，需采用奇异最优控制方法。不能确定最优解，需采用奇异最优控制方法。若在区间若在区间 Tt ,0内，存在时间的可数集合内，存在时间的可数集合: jjjttt.,21即：即： , 3 , 2 , 1,0Tttj使得对所有的使得对所有的 rj,.2 , 1均有：均有： )()(tbqTjtj则称时间最优控制是正常的。则称时间最优控制是正常的。若在

45、区间若在区间 ,0Tt内，存在一个（或多个）子区间内，存在一个（或多个）子区间 ,021Tttt，使得对所有使得对所有 ,21ttt，有，有 0)(),()(tttXBqTjtj 则称时间最优则称时间最优 ,21tt控制奇异。控制奇异。 奇异区间。奇异区间。 0tttt 非零Date:7/6/2021File:OC_CH3.42Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application如何判定系统是正常的，还是奇异的？如何判定系统是正常的，还是奇异的？ 设计时

46、间最优控制之前总希望知道问题是否有解？是设计时间最优控制之前总希望知道问题是否有解？是否有唯一解？问题是正常的，还是奇异的。除此之外，我否有唯一解？问题是正常的，还是奇异的。除此之外，我们还希望了解时间最优控制的共同特点和性质。们还希望了解时间最优控制的共同特点和性质。 这种一般规律的认识和了解会有助于具体系统的设计计这种一般规律的认识和了解会有助于具体系统的设计计算。算。然而，对任意的非线性系统和任意的目标集，没有明确然而，对任意的非线性系统和任意的目标集，没有明确结论。结论。 对于线性定常系统，可以回答上述问题，（目标集假设对于线性定常系统，可以回答上述问题，（目标集假设为坐标原点）为坐标

47、原点） 至于线性时变系统及一般性目标集问题，只有其中的部至于线性时变系统及一般性目标集问题，只有其中的部分结论适用。分结论适用。 Date:7/6/2021File:OC_CH3.43Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application对于线性定常系统：对于线性定常系统：当且仅当当且仅当 个矩阵个矩阵rjbAbAAbbGjnjjjj.2 , 1,|.|12中至少有一个奇异矩阵时最小时间控制问题是奇异的。中至少有一个奇异矩阵时最小时间控制问题是奇异的。r：

48、当且仅当：当且仅当rjbAbAAbbGjnjjjj,.2 , 1,|.|12全部为非全部为非奇异矩阵，则时间最优控制是正常的。奇异矩阵，则时间最优控制是正常的。 和和的推证过程都没有涉及到目标集，因此，不论的推证过程都没有涉及到目标集，因此，不论目标集如何，只目标集如何，只要受控系统是线性时不变的，两个定理可用。要受控系统是线性时不变的，两个定理可用。将满足将满足的系统叫做正常系统。正常受控系统，其时间最优的系统叫做正常系统。正常受控系统，其时间最优控制问题也是正常的，对于正常问题，有存在性与唯一性定理。控制问题也是正常的，对于正常问题，有存在性与唯一性定理。 Date:7/6/2021Fil

49、e:OC_CH3.44Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application一个完全能控的线性定常系统：一个完全能控的线性定常系统： BuAxx必需满足必需满足 nBABAABBrankrankGn|.|12n:系统维数系统维数若把系统表征为：若把系统表征为： rrubububAxx.2211其中其中 ruuu.,21控制分量控制分量正常问题要求正常问题要求 rjbAj.2 , 1),(都是完全能控。都是完全能控。 即：即： nbAAbbrankrankG

50、jnjjj|.|1说明：每一个控制分量说明：每一个控制分量 )(tuj均能单独使受控系统由任意初态在有限时间均能单独使受控系统由任意初态在有限时间内转内转移到坐标原点。移到坐标原点。据此，常可很容易地判断问题的时间最优控制是否属于正常情况。据此，常可很容易地判断问题的时间最优控制是否属于正常情况。显然：一个输入完全能控的线性时不变系统，其时间最优控制问题也一定显然：一个输入完全能控的线性时不变系统，其时间最优控制问题也一定是正常的。是正常的。Date:7/6/2021File:OC_CH3.45Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights re

51、served.Optimal Control Theory & its Application我们仅研究正常情况我们仅研究正常情况u*(t)写成符号函数写成符号函数sgn 形式形式则则 j j =1=1，2r2r向量形式：向量形式：u u* *(t)=-sgnq(t)=-sgnq* *(t)(t) =-sgn =-sgn )(*sgn)(*tqtujj)(*),(tttxBT根据规范方程：根据规范方程： )()()(),(),(txHttuttxBttxfx及初始条件和横截条件：及初始条件和横截条件： 000ffttTHtgxtxfffTftxttxgt,可求得可求得x*(t)及及)(* tD

52、ate:7/6/2021File:OC_CH3.46Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application求最优控制求最优控制u*(t) )(*),(*sgn)(*tttxBtuT砰一砰控制砰一砰控制2、砰一砰控制定理、砰一砰控制定理（Bang-Bang） 要求控制量始终为最大或最小。要求控制量始终为最大或最小。 设设u*(t)是上述问题提出的解，是上述问题提出的解，x*(t), 是相应是相应的状态轨线和协状态轨线。若问题正常的状态轨线和协状态轨线。若问题

53、正常(非奇异非奇异)，则，则 这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制。这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制。)(* t)(*),(sgn)(*tttxBtuTDate:7/6/2021File:OC_CH3.47Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法线性定常系统的最小时间控制问题的解法如何确定最优控制如何确定最优控制u*(t) 设线性定常系统的状态方程为：设线性定常系统的状态方程为： 0)0(),(

54、)()(XXtButAXtX其中，其中，X：n 1维状态向量维状态向量 u： 控制变量控制变量 A，B分别为分别为n n，n 1矩阵矩阵约束条件：约束条件：末端条件：末端条件：1)(tu 0ftX求，使系统状态从转移到求，使系统状态从转移到所用时间最短，即使为最小。所用时间最短，即使为最小。)(* tu00)(XtX0)(ffXtXftftdtJ0Date:7/6/2021File:OC_CH3.48Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application问

55、题的求解问题的求解首先列写哈密顿函数：首先列写哈密顿函数：)()()()(1tButtAXtHTT根据极小值原理分析可得：根据极小值原理分析可得：)(*sgn)(*tBtuT有规范方程：有规范方程：BtBtAXtButAXXT)(sgn)()()(*BtT)(sgn*注：注： 为标量函数，题意要求为标量函数，题意要求)(tu000)()(0)()(tATTTetttAtAXHDate:7/6/2021File:OC_CH3.49Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & it

56、s Application代入得：代入得：)(* tuBetuTtATT0sgn)(*BeAtT0sgn可见，的值完全由的符号决定可见，的值完全由的符号决定但是，的确定是不容易的。因为它还和系统的但是，的确定是不容易的。因为它还和系统的状态变量有关系。通常采用的方法是：状态变量有关系。通常采用的方法是：)(* tu00先设一个，求出，求出，判定先设一个，求出，求出，判定若为，则即为所求；否则修正重复上述若为，则即为所求；否则修正重复上述过程过程0)(t)(tX?0)(ftX)(t0Date:7/6/2021File:OC_CH3.50Optimal Control TheoryDong Jie

57、 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.51Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.52Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory &

58、its ApplicationDate:7/6/2021File:OC_CH3.53Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Application两个定理两个定理最优控制的唯一性定理最优控制的唯一性定理设受控系统是线性定常正常系统，若时间最优控制存在，则设受控系统是线性定常正常系统，若时间最优控制存在，则必定唯一。必定唯一。开关次数定理开关次数定理 设线性系统设线性系统 是正常的（不存在非奇异问是正常的（不存在非奇异问题），若题），若矩阵矩阵A的特征值均为实数的特

59、征值均为实数，假定时间最优控制存在，假定时间最优控制存在，并令其为并令其为 则则u*(t)的切换次数最多的切换次数最多不超过（不超过（n-1）次，）次，n为系统的维数。为系统的维数。)()(tButAXX,.2 , 1),(*rjtuj,1ju 以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平面状态空以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平面状态空间分析，求间分析，求u*Date:7/6/2021File:OC_CH3.54Optimal Control TheoryDong Jie 2012. All rights reserved.Optimal Control Theory & its Appl

60、ication例例1：双积分系统的最小时间控制系统：双积分系统的最小时间控制系统122xxux1u最小时间控制问题：求最小时间控制问题：求u*(t),使系统由初态使系统由初态 xxxx201000转移到末端状态转移到末端状态 的时间为最小，且满足的时间为最小，且满足0()0fx t 1u解：列写哈密顿函数：解：列写哈密顿函数：1221Hxu *2sgnu 求解协状态方程求解协状态方程122110 xxHH设设101202(0)(0)，则：，则：101( ) tconst20201( ) ttDate:7/6/2021File:OC_CH3.55Optimal Control TheoryDon