圆锥曲线的切线及切点弦方程完整版

1、近几年，圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相近几年，圆锥曲线考试的热点为直线与圆锥曲线相切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题，题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题，或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。最值等问题。 点点 在椭圆在椭圆 上，上，直线直线 与直线与直线 垂直，垂直， 为坐标原点，直线为坐标原点，直线 的倾斜角为的倾斜角为 ，直线直线 的倾斜角为的倾斜角为 .证明证明: 点点 是椭圆与直线是椭圆与直线 的唯一交点；的唯

2、一交点； 00(,)P xy22221(0)xyabab2l00122:1xxyylabP2l1l00cos ,sin,(0,)2xayb opO0909年安徽高考试题年安徽高考试题200 xxyyr。00221xxyyab复习：复习：22200(,)xyrM xy过圆上一点的切线方程:1：220022(,)1xyP xyab设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：2：3：220022(,)1xyP xyab设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xxyyab4：00(,)2P xypx2设为抛物线y上的点，则过该点的切线方程为：00()yyp xx圆锥曲线切线的几个性质圆锥曲线切线的

3、几个性质 性质性质1 过椭圆（双曲线，抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线的交点作椭圆（双曲线，抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该椭圆（双曲线，抛物线）的通径 Y X B A F 2 F 1 A 2 A 1 O1PFAB 性质性质2 过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F1的直线交椭圆（双曲线，抛物线）于A，B两点，过A，B两点作椭圆（双曲线，抛物线）的切线交于点P，则P点的轨迹是焦点F1的对应的准线，并且XYPBF2F1OA 例题例题1 1： 如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB， 且与抛物线C分别相切于A、B两点.求APB的重心G的轨迹方程.2:

4、xyC02: yxl解：设切点A、B坐标分别为 2201110( ,)(,)()x xx xxx和切线AP的方程为： ; 02200 xyxx; 02211xyxx 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 1010,2xxyxxxPPPPGxxxxx310,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以APB的重心G的坐标为： 由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： ).24(31, 02)43(22xxyxyx即所以 243GGpxyy200 xxyyr。00221xxyyab00221xxyyab00()yyp xx圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲

5、线的切点弦方程22200(,)P xyxyr设为圆外一点，则切点弦的方程为：220022(,)1xyP xyab设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B则弦AB的方程为：220022(,)1xyP xyab过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00(,)2P xypx2设为抛物线y开口外一点，则切点弦的方程为：例题例题2 2：22221( ,0)xyP mabABAB对于圆锥曲线，过点，作两条切线，切点为 ， ，求证直线恒过定点1122( ,(,)A x yB xy证：设），111221x xy yAlab则过 点的切线方程 ： Y X H B A F 2 F 1 O P22

6、2221x xy yBlab则过 点的切线方程 ：121222P11mxmxllaa因为 在直线 和直线 上，所以和22(,0)aaABxHmm所以直线的方程为，即恒过定点例题例题3 3：22x21,4312A,BABOMNyPxy已知椭圆是在直线上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？P00解：设 点坐标为P（x ,y ）,所以切点弦所在直线方程为：0011(,0),N(0,)x2yM所以PABNyO00OMN1S4x y021.yy0 xxPABMNyO004312xy又004 3x y00000033,4322x yxyxy当且仅当，即，OMN13SAB41122xy此时，直线方程为M1,MA,B42M3ABQxQ22已知：x +(y-2)是 轴上的动点，QA,QB分别切于两点。（1）：如果 AB，求直线的方程；（2）：求动弦的中点的轨迹方程。4 21(t 0)AB,33解：设Q ，的中点为N,ABMN例题例题4 4：MQABN2Q3t49t=5由射影定理 M，Q50直线M 的方程为 2x+5y-2(2)(t 0)ABtx-2(y-2)=1设Q ，则直线的方程为Q1,2yx直线M 的方程为t644N222t2t交点 的坐标为（,）,tt464xyN222tt2tt点