21 AR谱估计的性质讲解

1、4.4 AR谱估计的性质 AR模型谱估计具有一些很好的性质, 下面简要讨论之. 4.4.1 AR模型与线性预测谱估计等价 在第三章讨论 阶前向(及后向)线性预测时, 已经根据最小均方预测误差 准则, 分别导出预测系数与信号自相关函数之间的关系. 例如, 对 阶前 向预测误差滤波器, 有下列一组线性方程: (4.4.1a) 相应的矩阵形式为 (4.4.1b) 上式即为Yule-Walker方程. 式中 表示线性一步预测误差, 即 pp?pixxpixxpixxpixxkiRaRneEpkikRakR1min210, )()0()(, 3 , 2 , 1, 0)()(?00)(1)0() 1()(

2、) 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21?neEaaRpRpRpRRRpRRRpppxxxxxxxxxxxxxxxxxx)(ne (4.4.2) 为最小均方预测误差. 预测系数 与预测器的单 位冲激响应 的关系为 , 另一方面, 若 同时又是一个 阶AR过程, 满足差分方程: 其中, 是均值为0, 方差为 的白噪声, 这时AR(p)模型的Yule- Walker方程如下: (4.4.3) ?piipinxanxnxnxne1,)()()( ?)()(min2)(neE), 2, 1(,piaip?)(nhpnanh?)(pn, 2 , 1?)(nxp?pkpknwknxanx1)

3、()()()(nw2w?001)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(21?wpppxxxxxxxxxxxxxxxxxxaaRpRpRpRRRpRRR?比较式(4.4.1)和(4.4.3)可知, 若AR模型与线性预测误差滤波器具有相同 的阶次 , 且 , 则AR模型系数与预测系数是一样的. 以上说明: （a）一个 阶的AR模型等效于一个 阶的最佳线性预测器. (b)预测误差滤波器是AR模型 的逆滤波器. 在AR(p)模型中, 白噪声 激励 产生 ; 若将 作为一 阶预测误差滤波器的输入, 其输出为 . 显然有 因此 阶预测误差滤波器是AR(p)模型的逆滤波器(又称白化滤波

4、器),如 图4.4.1所示. p2min2)(wneE?pp)(zH)(nw)(zH)(nx)(nxp)()(nwne?pkkpkzazAzH111)(1)()()(1zAzH?p? 或者说 , AR(p)参数可以作为p阶线性预测系数来求取 , 准则是使预测误差功率最小. (c)基于以上分析, 也可将AR(p)模型定义为 式中, 是 阶最佳一步线性预测器的预测值, 即 综上所述, AR模型谱估计与线性预测谱估计是等价的. 图4.4.1 AR模型与预测误差滤波器 (a) AR模型; (b) 预测误差滤波器(白化滤波器) )(nx)(nw)(1)(zAzH?)(a)(nx)()(nwne?)()(

5、1zAzH?)(b)()( ?)(nwnxnx?)( ? nxp?pkkpknxanx1,)()( ?线性预测 1-A(z) ? ? ? )(nx)( ? nx)()(nwne?4.4.2 AR模型隐含自相关函数延拓特性 (外推) 本节讨论AR谱估计的分辨率问题. 1. 谱分辨率概念 谱估值 的频域分辨率, 是指 保持其真实谱 中两个 邻近的谱峰仍被分辨出来的能力. 决定 分辨率的主要因素是所使用的数据的长度, 也即窗函数的宽 度 . (可根据信号的时-频特性进行粗略解释) 例如: 对长度为 的信号, 若取样间隔为 , 则由DFT做谱分析时,其分辨率 近似为 ; 经典谱估计的分辨率正比于 (即

6、窗函数主瓣的宽度,其中 为正 整数). 可见, 谱分辨率反比于所使用的信号长度 . )(?jxxeP)(?jxxeP)(?jxxeP)(?jxxePNNsTNfsNk?2kN 假设真实谱 中有两个相距为的谱峰, 为了在 谱中区分它们, 则要求 因此, 数据长度应满足 (4.4.4) 为了保证 的分辨率, 希望 要大. (但增大N会使 的起伏 加剧) 2. AR谱估计的谱分辨率 在经典谱估计中, BT法的功率谱估计值为 它是把 以外的 值都视为零, 其分辨率不可避免地要受到 窗函数的宽度( ? )的限制. )(?jxxeP)(?jxxePBWNk?2BWkN?2?)(?jxxePN)(?jxxe

7、PmjmxxxxjxxemRmReP?)(?)(?DFT)(?pm ? |)(?mRxxp?p? AR模型隐含着数据和自相关函数的外推, 使其可能的长度超过给定的长 度, 这时AR谱对应的自相关函数在 后并不等于零, 因此避免了窗函 数的影响, 使其具有很高的谱分辨率. 已知 模型输出的复功率谱估值为 (4.4.5) 式中, 的系数即为 的模型参数 ,可由自相 关函数的 估计值 求得; 是 的复 共轭. 假设该 是由一个无限长的自相关函数序列 的Z变换得到的, 因此有 (4.4.6a) pm ? |)(AR p)(?)(?)(?12AR?zAzAzSw?)(?zA)(AR p) 1, 2 ,

8、1(0?apkak?1?p)(?,),1 (?),0(?pRRRxxxxxx?)(?1?zA)(?zA)(?ARzS)(?mRxx?mmxxwzmRzAzA)(?)(?)(?12?上式两边同乘以 , 得 (4.4.6b) 两边再同取Z反变换, 考虑到 并设 是因果的, 且 , 可得 式(4.4.6b)左边 , 式(4.4.6b)右边 )(?zA?mmxxwzmRzAzA)(?)(?)(?12?pkkkpzazAzH1,?11)(?1)(?)(?)(?1zHZnh?)(?nh1)(?lim)0(?zHhz)(?)(?22mmhww?, )(?)( ?)(?)( ?)(?)(?01?plxxxxm

9、mjxxlmRlamRmaemRzAZ?0m?0m? 根据Z变换性质和H(z)的表达式. 因此得到 , (4.4.7) 设 , 对于 , 由于 , 故上式可写成 , (4.4.8) 以上表明, 在 模型中, 对于 范围内的 值, 可由上式外推得 到. 外推过程可一直持续到使 很小. 这就避免了用窗函数截取时产 生的卷积效应, 因而分辨率大大提高. 进一步, 对于 的情况, 由式(4.4.7)可写出 (4.4.9) )(?)(?)( ?20mlmRlawplxx?0?m1)0( ?apm ?0)(?2?mw?plxxxxlmRlamR1)(?)( ?)(?pm?)(AR ppm?)(?mRxx)

10、(?mRxxpm, 2 , 1 , 0?plxxplwxxxxpmlmRlamlmRlamR112, 2 , 1),(?)( ?0,?)(?)( ?)(? 上式与前节推导的Yule-Walker方程相同, 只是式中用 代替 . 显然, 只要 的 个值与 相同, 那么由上式解出的 模型参数 就一定与求解Yule-Walker方程得到的参数一致. )(?mRxx)(mRxx)(?mRxx1?p)(mRxx)(AR p)( ? la4.4.3 AR谱估计与最大熵谱估计 (MESE)等效 1.何谓最大熵谱估计何谓最大熵谱估计 由以上分析可以得到启示: 为了改善功率谱估计的分辨率, 可由已知的一 段有限

11、长自相关序列 ,通过外推求得未知的 (直至 时, 已可忽略为止), 然后再用这样的序列估计功率谱, 显然其分辨率将优于经典谱估计法. 外推自相关函数的方法很多, 伯格(Burg)提出按“最大熵准则”进行外推. 最大熵谱估计(MESE)指的是: 在已知 , 的条件下, 采用最大熵准则外推自相关函数方 法估计信号的功率谱. 又称“最大熵外推”功率谱估计法, 或“短数据”功率谱 估计法. 最大熵谱估计: Maximum Entropy Spectral Estimation, MESE )(,),1 (),0(NRRRxxxxxx?NmmRxx?),(Nm?)(mRxx)(mRxxNm ?按“最大熵

12、准则”外推,得到的自相关函数所对应的时间序列具有最大熵 (最随机), 其功率谱是最白的. 2.按最大熵准则外推自相关函数的方法 设 为零均值高斯平稳随机序列, 若已知其自相关函数 的 个值: , 现求下一个在最大延时之外的自相关函数值 . 包含 的由 个自相关函数值组成的矩阵为 (4.4.10) 已知 维零均值高斯随机矢量的熵为 (4.4.11) 式中, 为常数; 为矩阵 的行列式 )( nx)(mRxx1?N)(,),1 (),0(NRRRxxxxxx?)1(?NRxx) 1(?NRxx2?N?)0()() 1()()0() 1 () 1() 1 ()0() 1(xxxxxxxxxxxxxx

13、xxxxxxRNRNRNRRRNRRRN?R2?NKpHxx?)1(lndet21RK)1(det?NxxR) 1(?NxxR 要使熵 最大, 必须使 最大, 即要选择 使 达到最大. 为此令 用归纳法可证明, 满足上式条件相当于 (4.4.12) 上式 是 的一次函数, 解之即得 . 然后继续采用相同的 方法构造 , 即由已知的 外推得到 ? ,直到 时, 已可忽略为止. ) 1()1(det?NNxxxxRRH)1(det?NxxR) 1( ?NRxx)1(det?NxxR0) 1() 1(?NdRNdxxxxR0) 1 ()() 1()2() 1 ()2() 1()0() 1 (?xxx

14、xxxxxxxxxxxxxxxRNRNRNRRRNRRR?) 1(?NRxx) 1(?NRxx)2(?NxxR),0(xxR),1 (xxR,?)(NRxx) 2(?NRxxNm ?)(mRxx参见王宏禹 ,p265.及 沈凤麟, p441. 3. 最大熵谱估计与AR谱估计等效 可以证明, 对于零均值高斯平稳随机序列而言, 最大熵谱估计与AR谱估 计等效. 这种等效性体现在: 以最大熵准则外推自相关函数, 等价于用已知的 个自相关函数值去 匹配一个 信号模型的参数, 而一旦通过解Yule-Walker方程求出信号模 型的参数后, 则功率谱估计就可按下式直接计算: (4.4.13) 由于上述等效性, 以及AR模型法与预测滤波法的紧密联系, 最大熵谱分 析可以应用AR模型法与预测滤波法进行研究. 最大熵谱估计克服了经典法中数据长度与分辨率的矛盾, 在短数据情况 下仍能准确地进行谱估计. 1?NAR212MESE)(1)(?pmmjemaS?4.4.4其它性质 AR谱估计的其它性质还有: (1)AR模型的最小相位特性 如果自相关矩阵 正定的, 则由Yule-Walker方程解出的信号模型参 数 , ,? , 构成的 阶AR模型是稳定的, 且是唯一的. 这说明, 的零点全部在单位园内(或者说, AR模型的系统函数 的极 点全部在单位园内). (