最优控制第四章极小值原理及其应用2

1、第四章 极小值原理及其应用 用古典变分法解最优控制问题时用古典变分法解最优控制问题时,假定假定u(t)不受限制不受限制,从而得到最优控制应满足从而得到最优控制应满足 0uH实际上在工程问题中实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制控制变量总有一定的限制.设控制变量被限制在某一闭集内设控制变量被限制在某一闭集内 u即即u(t)满足满足 0),(),(ttutxG满足限制条件的满足限制条件的u(t)称为称为容许控制容许控制，由于，由于u不能是任意的不能是任意的, 0uH的条件已不存在的条件已不存在 4-1.4-1.连续时间系统的极小值原理连续时间系统的极小值原理设系统状态方程为设系统状态方程为:

2、),(),()(ttutxftx初始条件初始条件 , )0()(0pnRuRxxtx为有界闭集为有界闭集,不等式约束为不等式约束为 , 0),(),(ttutxGG为为m维连续可微的向量函数维连续可微的向量函数, pm 系统从系统从x0转移到终端状态转移到终端状态x(tf)，tf未给定未给定,终端状态终端状态x(tf)满足等式约束满足等式约束 0),(ffttxMM为为q 维连续可微向量函数维连续可微向量函数, nq 性能指标性能指标:fttffdtttutxFttxJ0),(),(),(最优控制问题就是要寻找最优容许控制最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使使J为极小为极小 3令令 0

3、)()()(0ttut0)(),(),()()(),(),()(0221tZttutxGtZtztztztZmT且于是于是,系统方程为系统方程为: 0)(0)()(),(),(00002ttzxtxtxGZtxfx终端时刻终端时刻tf 未给定未给定,终端约束终端约束 0),(ffttxM要求确定最优控制要求确定最优控制 u使性能指标使性能指标 fttffdttttxFttxJ0),(),(),(为极小为极小4引入拉格朗日乘子向量引入拉格朗日乘子向量及及,写出增广性能指标泛函写出增广性能指标泛函dtZtxGxtxftttxFttxMvttxJTTttffTffaf),(),(),(),(),()

4、,(20令哈密而顿函数为令哈密而顿函数为 ),(),(),(txftxFtxHT拉格朗日纯量函数拉格朗日纯量函数 ),(),(),(2ZtxGxtxHtzxxTT则则 fttffTffadttzxxttxMvttxJ0),(),(),(5令 0aJ可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为 欧拉方程 0 xdtdx00zdtddtd对对J取一阶变分得取一阶变分得 *0*()()()()()()()fffTafttTTfttfftTTtMJvtttMvx txxxtz tzdddxz dtxdtxdtdtz 6横截条件: *0()000ffffTttTttttttMHvttMvxxxz 把的表达式代

5、入欧拉方程:00)(zdtddtdxGxHT横截条件:*)()()(*ffttTfttTfvxMxttMvttH由欧拉方程和横截条件知,最优轨线 00*zz7以上为使性能指标J取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即: 0)()()()(),(),(*zzzxxxtzxxtzxxET或:),(),(:0),(),(),(),(*tuxHtuxHtxHtxHxtzxxxtzxxET即上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一个重要结论. 00-*8TTuGuHGH)(0)(0由上式表明,在有不等式约束的情况下,

6、沿最优轨线 0uH不再成立定理定理:(:(极小值原理极小值原理) )设系统的状态方程为 ),(),()(ttutxftx控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集,满足不等式约束: 0),(),(ttutxG在终端时刻tf 未知的情况下,为使状态自初态 00)(xtx转移到满足边界条件 0),(ffttxM的终态,并使性能指标 fttffdtttutxFttxJ0),(),(),(达极小值.设哈密而顿函数为 ),(),(tuxftuxFHT10则最优控制u*(t),最优轨线x*(t)和最优伴随向量*(t)必须满足下列条件:(1).沿最优轨线满足正则方程:TxGxHHx

7、)(式中是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与G相同,若G中不包含x,则: xH(2)横截条件及边界条件: 0),()(0)(),()()(00ffttTttTfttxMxtxvtMttuxHvxMxtff11(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值,即),(),(*tuxHtuxH并且沿最优轨线,下式成立 TuGuH)(上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较,横截条件及端点边界条件没有改变,仅 0uH这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小,其次是正则方程略有改变,仅当G中不包含x时, 方程才不改变.12当 t0和x(t0)给定

8、,根据tf给定或自由, x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导出的最优解必要条件列表如下: tf给定 性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 fttfdttuxFtxJ0,)(xHtuGtuxftuxFHxGxHHxTT则若0),(),(),()(),(),(min*tuxHHtuxHHHHuffxtxxtx)()(00)()()(00fftxtxtxftTffvxMxttxMxtx)()(0)()(0013tf给定 性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 fttdttuxFJ0,xHtuGtuxftuxFHxG

9、xHHxTT则若0),(),(),()(),(),(min*tuxHHtuxHHHHu未知)()()(00ffftxtxxtx0)()(00ftxtxftTffvxMttxMxtx)()(0)()(0014tf给定 性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 )(ftxJffxtxxtx)()(00)()()(00fftxtxtxftTffvxMxttxMxtx)()(0)()(00 xHtuGtuxftuxFHxGxHHxTT则若0),(),(),()(),(),(min*tuxHHtuxHHHHu15tf自由性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件

10、与横截条件 固定 自由 约束 fttfdttuxFtxJ0,)(),(),()(tuxftuxFHxGxHHxTT),(),(min*tuxHHtuxHHHHuffffttHxtxxtx)()()(00ffffttHtxtxtx)()()()(00fTftTffftvtMttHvxMxtttxMxtxf)()()()(0),()(0016tf自由性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 fttdttuxFJ0,),(),()(tuxftuxFHxGxHHxTT),(),(min*tuxHHtuxHHHHu未知)(0)()()(00ffffttHxtxxtx0

11、)(0)(0)(0fftHttxfTftTffftvtMtHvxMtttxMxtxf)()()()(0),()(0017tf自由性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 )(ftxJ),()(tuxfHxGxHHxTT),(),(min*tuxHHtuxHHHHuffffttHxtxxtx)()()(00)()()(00fftxtxtxfTftTffftvtMttHvxMxtttxMxtxf)()()()(0),()(00例例1 设宇宙飞船质量为m,高度为h,垂直速度为v,发动机推力为u,月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料的总质

12、量为F,飞船的状态方程为: FMmtkutmvvtmtugtvhhtvth)0()()()0(,)()()()0()()(00要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为 0)(0)(21fftvMthM发动机推力u受到约束, ,0,auuu试确定u*(t),使飞船由已知初态转移到要求的终端状态并使飞船燃料消耗最少,即使得 min)(ftmJ本题是控制受约束, tf 自由,末值型性能指标,终端受约束的最优控制问题. 解: 19构造哈密而顿函数 )()()(),(ffmvhTtmtkumugvtuxfH伴随方程: 20mumHvHhHxHvmhvh横截条件 1)()()()()()()()()()(

13、21fffftTfmftTfvftTfhtTfvmMmttvvvMvttvvhMhtvxMxt21vv为待定的拉格朗日乘子,将哈密而顿函数整理 20ukmgvHmvvh)()(有极小值原理知, H相对u*(t)取极小值,因此最优控制律为:000)(*mvmvkmkmatu上述结果表明,只有当发动机推理在最大值和零值之间进行开关控制,才有可能在实现软着陆的同时保证燃料消耗最少.4-24-2离散系统极小值原理离散系统极小值原理 设离散系统的状态方程为:)1,2, 1 ,0(),(),()1(Nkkkukxfkx其中f是连续可导的n维向量函数, x(k)为n维的状态向量序列, u(k)为p维控制向量

14、序列,k表示时刻tk,终端时刻tf=tN.设初始状态x(0)=0,终端时刻tN给定,终端状态x(N)自由,控制向量序列u(k)无不等式约束.系统性能指标为: 10),(),(),(NkkkukxFNNxJ要求寻找最优控制u*(k),使性能指标J为极小.建立增广指标泛函101010)1()1(),1(),(),(),()1(),(),()1(),(),(),(NkTNkTNkakxkkkkukxHNNxkxkkukxfkkkukxFNNxJ22式中(k+1)为n维拉格朗日乘子向量序列 离散哈密而顿函数序列H为)1,2, 1 ,0(),(),()1(),(),(),1(),(),(Nkkkukxf

15、kkkukxFkkkukxHT由于x(0)给定, x(0)=0101010)1()1()1(),1(),(),()()(),1(),(),()()()(),1(),(),()()()(),(NkTNkTNkTakkxkkkkukxHkukukkkukxHkxkkxkkkukxHNxNNxNNxJ23令 0aJ可得J取极值的必要条件为: 正则方程 1,2,1 ,0,)1(),1(),(),()1(1,2,1 ,0,)(),1(),(),()(NkkkkkukxHkxNkkxkkkukxHk边界条件与横截条件: )(),()(0)0(NxNNxNx控制方程: 1,2, 1 ,0,0)(),1(),

16、(),(NkkukkkukxH24*特别的当终端状态有等式约束时 0),(NNxM横截条件改为: )()(),()(),()(kNxNNxMNxNNxNT*当u(k)有不等式约束时 0uH不成立,此时最优控制序列对应的H函数序列为绝对极小值,即: ),1(),(),(min),1(),(),(*)(*kkkukxHkkkukxHku2500)(),(),()(xtxttutxftx)1,2,1 ,0()0(),(),()1(0NkxxkkukxfkxfttffdtttutxFttxJ0),(),(),(10),(),(),(NkkkukxFNNxJmin),(*Jtu使求min, 1, 2 ,

17、 1 , 0),(*JNkku使求),(),(),(tuxftuxFtuxHT)1,2, 1 ,0(),(),()1(),(),()(NkkkukxfkkkukxFkHTxHHx1,2, 1 ,0)1()()1(,)()()(NkkkHkxkxkHk0uH1,2,1 ,0,0)()(NkkukH,min,*tuxHtuxH),1(),(),(min),1(),(),(*kkkukxHkkkukxH0)(0),()()(ffffftttxtxt时0)(0),()()(NNNxNxN时连续极小值原理离散极小值原理系统性能指标极值问题哈密而顿函数正则方程极值条件控制无约束控制有约束横截条件(终端时间

18、给定,终端自由)例例 2设离散状态方程及边界条件为 00)2(01)0(1 . 00101 . 01)()() 1(xxhGkhukGxkx试用离散极小值原理求最优控制序列使性能指标102)(05.0kkuJ取极小值,并求出最优状态序列. 解 )()()1()(05.0),1(),(),(2khukGxkkukkkukxHT伴随方程 )1()()(kGkxHkT控制方程 0)1()(1.00)(khkukuHT27状态方程:)1(10)1(10)0()1(10)1()2()2()1(, 1)1(10)0()1()1()0(,0)(10)()1()1(10)()1()()()1(2TTTTTTT

19、TTTTGhhGhhxGGhhGxxGkhhGxxGkkGhhkGxkxkhhkGxkxkhukGxkx101)1(100)1(,100)0()(10)1(10)(3002000)1()0(1002000)1(xuukGhkhkuGTTTT，28列写结果如下 100)1(,100)0(1002000)1(3002000)0(00)2(101)1(01)0(uuxxx4-34-3极小值原理的应用极小值原理的应用1：最小时间控制(时间最优控制) 设线性定常系统的状态方程 )0()()()()(0 xtxtButAxtx其中 pnRuRx控制向量u(t)受不等式约束 0MMu寻求最优控制u*(t),

20、使系统从已知的初始状态转移到终端状态，tf 自由,并使性能指标fttfttdtJ00为极小 30构造哈密尔顿函数: )()()(1),(),(tButAxtttutxHT根据极小值原理,最优控制的必要条件为: 正则方程 *TAxHBuAxHx边界条件 ffxtxxtx)()(,00极值条件 BuBuBuAxBuAxTTTT*)(1)(1即设,21pbbbB31则 pjjjTTubBu1*设各控制分量相互独立,则有 jjjjTubub*在约束条件 Mtuj)(下的最优控制为: pjbtbtMbtMtujTjTjTj, 2 , 10)(0)(0)()(*不定由此可知,当*T(t)bj0 时,可以找

21、出确定的u*j(t) 来,并且它们都为容许控制的边界值.当*T(t)bj 穿过零点时, u*j(t)由一个边界值切换到另一个边界值.如果*T(t)bj 在某一时间区间内保持为零,则u*j(t)为不确定值,这种情况称为奇异问题或非平凡问题,相应的时间区段称为奇异区段.当整个时间区间内不出现奇异区段时,则称为非奇异问题或平凡问题,对于平凡问题,有以下几个定义及定理 32Bang-Bang原理 若线性定常系统 BuAxx属于平凡情况,则其最短时间控制为 )(sgn)(*tBMtuT010001sgnaaaau*(t)的各个分量都是时间的分段恒值函数,并均取边界值,称此为Bang-Bang原理. Ba

22、ng-Bang原理也适用于下列一类非线性系统 utxbtxax,33 最短时间控制存在定理最短时间控制存在定理 若线性定常系统若线性定常系统 BuAxx完全能控完全能控,矩阵矩阵A的特征值均具有非正实部的特征值均具有非正实部,控制变量满足不等式约束控制变量满足不等式约束|u(t)|M,则则最短时间控制存在最短时间控制存在. 最短时间控制的唯一性定理最短时间控制的唯一性定理若线性定常系统若线性定常系统 BuAxx属于平凡情况属于平凡情况,若时间最优控制存在若时间最优控制存在,则必定是唯一的则必定是唯一的.开关次数定理开关次数定理若线性定常系统若线性定常系统 BuAxx控制变量满足不等式约束控制变

23、量满足不等式约束|u(t)|M矩阵矩阵A的特征值全部为实数的特征值全部为实数, 若最短时间控制存在若最短时间控制存在.则必为则必为Bang-Bang控制控制,并且每个并且每个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1次次. 例例 3设系统的状态方程为设系统的状态方程为 100010BABuAxx 边界条件边界条件: 0)()(20100ftxxxtx控制变量控制变量u(t)的不等式约束的不等式约束 |u(t)|1性能指标性能指标 fttfttdtJ00求最优控制求最优控制u*(t),使使 J 为最小为最小. 35解解: 由于由于A具有两个零特

24、征值具有两个零特征值,满足非正实部的要求满足非正实部的要求,且且 20110 rankABBrank系统能控系统能控,因而最优时间控制存在因而最优时间控制存在,如果系统属于平凡情况如果系统属于平凡情况,则最优控制是唯一则最优控制是唯一的的,开关换向次数最多只有一次开关换向次数最多只有一次.uxH2211伴随方程伴随方程 122110 xHxH解得解得 21*21*1ctcc极值条件极值条件 uuuxux*2*2*2*2*1*2*2*1:11即36最优控制规律为最优控制规律为 00101)(*2*2*2*不定tu当当u(t)=+1时时,状态方程的解为状态方程的解为: 10202120221xtx

25、txxtx最优轨迹方程最优轨迹方程: cxx22121当当u(t)=- -1时时,状态方程的解为状态方程的解为: 10202120221xtxtxxtx最优轨迹方程最优轨迹方程 cxx2212137两族抛物线中两族抛物线中,各有半支抛物线引向原点各有半支抛物线引向原点,由这两条半支抛物线所组成的曲由这两条半支抛物线所组成的曲线线AOB称为开关曲线称为开关曲线:2x1xAOBRu1Ru122121xxx讨论不同初始状态的最优控制讨论不同初始状态的最优控制方案方案,有四种情况有四种情况综上所述综上所述,最优控制规律为最优控制规律为 22122121*211211),(xxxRxBOxxxxRxAO

26、xxxu或或38上述控制规律的工程实现方法上述控制规律的工程实现方法 2221xx*u2x1x2:2:最小燃料消耗控制最小燃料消耗控制 最小燃料控制问题最小燃料控制问题,性能指标性能指标 pjjtttutdttJf1)()()(0对于双积分模型的最小燃料消耗控制问题对于双积分模型的最小燃料消耗控制问题,描述如下描述如下: 设系统状态方程为设系统状态方程为 ffxtxxtxuxxx)()(00221控制约束为控制约束为 Mu 40性能指标性能指标 fttdttuJ0)(求最优控制求最优控制,使使J为极小为极小,其中其中tf 给定给定 uxuH211根据根据uuuutuxHtuxH2*2*,最优控

27、制规律最优控制规律 11101)(222*MMtumin)1(0min)1(0*2*2uuuu时，时，41伴随方程为伴随方程为:212122110ctcxHxH)(2t211btat)(tutMMtatt 0)(切换为从Mtubtt Mtu切换为从 0)(Mtu)(状态方程的解为状态方程的解为 122122212212212221)(0)(21dtdMtxdMtxMtutbxbxtuataMtxaMtx时，当时，当，4212221222212212222121ataMttbxaMtbxtttbdtdMtxbdMtxttbbbbbaaaaa时在时在上述方程和边界条件联立上述方程和边界条件联立,可

28、求出可求出 .,batt由此可见由此可见,最小燃料消耗控制是一种开关型控制最小燃料消耗控制是一种开关型控制,可采用理想的三位式继电器作可采用理想的三位式继电器作为控制器为控制器. 例例 4已知系统状态方程及初始条件为已知系统状态方程及初始条件为: 1)(1)0()0()()()()(21221tuxxtutxtxtx试求最优控制试求最优控制,使性能指标使性能指标4210)()()(tffdttutxtxJ取极小值取极小值,并分段求出最优轨线并分段求出最优轨线解解 本题属于终端状态自由本题属于终端状态自由,有末值性能指标要求的最小燃料消耗问题有末值性能指标要求的最小燃料消耗问题 uxufFHT221由由取极小，即使uutuxHtuxH2*,441111011)(222*tu伴随方程为 21212211110ctcxHcxH横截条件为 41)()(1)()(2211fffffttxttxt从而得 3121t452xt11021234*u1)()1(2,0*2tut时1221xxx1)0()0(21 xx解此方程, 1)2(1211)2(112122xttxxtx04,2ut时0221xxx1)2(