快速傅里叶变换实验

1、实验七快速傅里叶变换实验 2011010541 机14林志杭 一、实验目的 1 加深对几个特殊概念的理解：“采样”“混叠”；“窗函数”(截断)“泄漏”; “非整周期截取”“栅栏”。 2 加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计 这些因素对频谱的影响。 3 对利用通用微型计算机及相应的FFT软件，实现频谱分析有一个初步的了解。 二、实验原理 为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析一一计算信号的频谱。由于 计算机只能进行有限的离散计算(即DFT),因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。 而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与

2、信号的实际 频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。因此在时 域处理信号时要格外小心。 时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”，要求时域采样时必须满 足采样定理，即：采样频率 fs必须大于信号中最高频率fc的2倍(fs 2fc)。因此在信号 数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。 频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩 散(如由一个3( f)变成一个sine (f),而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值。时域截断还 会引起“栅栏效应”，对周期信号而言，它是由于截断长度不等于周

3、期信号的周期的整数倍 而引起的。因此避免“栅栏”效应的办法就是整周期截断。 综上所述，在信号数字化处理中应十分注意以下几点： 1 为了避免“混叠”，要求在采样时必须满足采样定理。 为了减少“泄漏”，应适当增加截断长度和选择合适的窗 对信号进行整周期截取，则能消除“栅栏数应”。 增加截断长度，则可提高频率分辨率。 三、预习容 熟悉Matlab语言、函数和使用方法；利用 Matlab所提供的FFT函数编写程序。 四、实验容及步骤 调通所编写的程序，对下列信号函数进行离散FFT变换，根据题目的要求 FFT变换 点数截断长度及采样频率，计算各点的傅里叶变换值，画出频谱图，对典型的谱线标 出其幅值及相角

4、。 (-)容： x(t) sin( 0t ) sin2 0t cos3 0t 1 6 代码： N=i nput(N=); n=in put( n=); t=1:1:N; w=2*pi; x1=sin(w*(t-1)/n+pi/ 6)+sin(2*w*(t-1)/n)+cos(3*w*(t-1)/n); y=fft(x1); y=fftshift(y); an=an gle(y)/pi*180; y=abs(y)/N; figure(1); bar(t,y,0.3); grid on; 以下类似 (1 )采样频率fs=8 f0，截断长度N= 16 幅频谱 相频谱 0.5 f0。 fs 最高频率为

5、3，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：f s N 关注频率为正负1、2、3倍频 (2) fs=8 f0, N= 32 幅频谱 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 05101520253035 相频谱 最高频率为3，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为 正负1、2、3倍频 由上述分析可见，两种采样均满足采样定理，不出现混叠。 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（ 倍及4倍原函数周期），故没有出现现泄露现象。 由于整周期截取，未产生栅栏效应。 误差分析： x(t) 0t 3) cos(

6、 0t 3) cos( 2 ot) cos(2 0t i) cos( 3 0t) cos3 0t 明显关注频率为正负1、2、3倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值一样，幅值 误差及相角误差均为零。 x(t) 2. sin( 0t F sin 11 0t (1) fs=8 f0, N= 16 幅频谱 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 024681012141618 相频谱 最高频率为11，采样频率为8，不满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率 为正负1、11倍频 (2)fs=32 f0，N= 32 幅频谱 相频谱 最高频率为11 ,采样频率为32，满足采样

7、定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率 为正负1、11倍频 （1）中采样不满足采样定理，正负11倍频未取到，在正负 3倍频处出现混叠，要消除混 叠则可以增加采样频率。（2）中采样满足采样定理，未出现混叠。 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（2 倍及1倍原函数周期），故没有出现泄露现象。 由于整周期截取，未产生栅栏效应。 误差分析： x(t) = 1cos(- w0t + p) + cos(w0t - p) + cos(- 11w0t +p) + cos(11w0t - -p) 明显关注频率为正负1、11倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值

8、比较：（1）中 采样正负1倍频的幅值相角均无误差，但由于未采到正负11倍频，故误差为100%。（2） 中采样的幅值及相角误差均为0。 3 x(t)cosj10 ot (1) fs=8 f0, N= 16 幅频谱 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 川liiihiiM 10 12 14 16 18 相频谱 最高频率为.10，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16,分辨率：。关注频 率为倍频 相频谱 (2)fs=32 f0, N = 32 幅频谱 （1）中: （2）中: 故误差： (1)中: A 0.09 57deg 最高频率为，采样频率为32，

9、满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：关注频率为倍 频 由上述分析可见，2种采样均满足采样定理，未出现混叠。 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应， 由于均未整周期截取， 故 出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。且由于（2） 中窗宽度更小，泄露更加明显。 由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无。且（2 ）中分辨率 较低，相对（1）栅栏效应更明显。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截 断长度调整为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。然而由于该种x（t） 中频率为无理数，难以做到整周期截断，因此不

10、能完全避免泄露和栅栏效应。 误差分析： FFT得到的值比较：实际所 明显关注频率为,10倍频，理论上分解的幅值及相角与做 求并没有理论的频率，故用 3倍频来近似。 理论、实际的幅值和相角分别为： 1、 0.91， Odeg、 57deg, 1、0.982, Odeg、27.7deg x(t) cos 10 0t 对信号加窗(Hanning Window ) w(t) 1(1 0t T （2）中： A 0.018 27.7deg (1) fs=8 f0, N= 16 幅频谱 相频谱 最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为倍 频 （2）fs=32 f0，N

11、= 32 幅频谱 相频谱 最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为 倍频 2种采样均满足采样定理，未出现混叠。 以上方式相当于添加了汉宁窗函数， 理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故出现 了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。且由于（2）中窗 宽度更小，泄露更加明显。要减少泄露效应， 可以采用其他类型的窗函数， 或将截断长度调 整为整周期。 由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无。且（2 ）中分辨率 较低，相对（1）栅栏效应更明显。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。然而 由于该种x（t）中频

12、率为无理数，难以做到整周期截断，因此不能完全避免泄露和栅栏效应。 误差分析： 明显关注频率为倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：实际所求并没 有理论的频率，故用 3倍频来近似。 理论、实际的幅值和相角分别为： （1）中：1、0.422, Odeg、56.6deg, （2）中：1、0.492，Odeg、29.2deg 故误差： 亠 A 0.578 （1）中： 56.6deg 亠 A 0.508 （2）中： 29.2deg 可见：在为按整周期截取时，采用汉宁窗函数所得到的结果相对矩形窗并没有得到改善。 x（t） sin（0.99 0t ） 5. （1）fs=8 f0, N= 16

13、幅频谱 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 024 6 8 10 12 1416 18 相频谱 最高频率为0.99，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率: (2)fs=32 f0, N = 32 幅频谱 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 202530 35 0 051015 相频谱 最高频率为0.99，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。 2种采样均满足采样定理，未出现混叠。 以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取, 出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较

14、小的谱线。 由于非整周期截取，产生了栅栏效应。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或 将截断长度调整为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。且由于该种 x（t）中频率为有理数，易做到整周期截断，因此可完全避免泄露和栅栏效应。 误差分析： 1 x（t） （cos（ 0.99 t /3） cos（0.99 t /3） 可见关注频率为0.99倍频，实际所求并没有理论的频率，故用1倍频近似。 理论、实际的幅值和相角分别为： （1）中：1、1.00， -60deg、-63.4deg， （2）中:1、1.00，-60deg、-61.9deg 故误差： 出A 0 （1）中： 3.4deg

15、 出A 0 （2）中： 1.9deg 由于截断长度虽不是整周期但比较接近，故幅值误差不大，但相角误差较大。 （一） 典型函数FFT变换（重排FFT结果，使DC在谱图中间。） 1、对不同占空比方波信号FFT分析（均取每周期点数 200,总点数400，依照实验 指导书生成方波。） 从上到下依次为：方波信号、幅频信号、相频信号。 （1）占空比3% 0 1 1 c IIII 024681012 0. r： 5 p 1 -2 10 12 14 (2)占空比6% -2 0 0 0 -2 2 6 8 10 12 4 0.5 I- 1 6 0 2 4 8 10 12 14 -2 0 0 2 6 10 12 4

16、 8 -2 024 0 -2 6 8 10 12 0.5 0 2 6 8 10 12 I- 1 1 I 4 14 (5)占空比40% -2 024681012 -200 -202468101214 (6)占空比60% 0 r J 2 2 6 10 12 4 8 0 -2 0 0 -2 2 6 8 10 12 4 0 2 6 8 10 12 4 I- 1 NLrfrllLaj 0. 14 200 -200 -202468101214 分析：由以上占空比不同的方波的频谱图可见，在占空比50%以下，随着占空比的增大，幅 值较大的特征频率向低频集中。在占空比50%以下，可以发现方波占空比越大，低频分量

17、越 多的特点。而相角则无明显的变化规律。由此推断得到：当占空比为100% （常数信号）时, 能量全部集中在 DC分量上（delta函数），而当占空比为 0 （单位脉冲信号）时，能量均匀 分布在各个频率上（常数），两种极端的情况都符合前述变化规律。 2、用伪随机模仿白噪声信号进行FFT分析 伪随机信号： 幅频图: 相频图： 3000 1000 2000 4000 5000 6000 明显能量几乎完全集中在频率为0 ( DC分量)上，所以伪随机信号的频谱图具有随机 信号的特征。利用该特点，可以利用伪随机信号生成随机数或者其他有用的随机信号，便于 进行工程应用。 (二)实际信号频谱分析 1、电风扇振

18、动信号分析 采样频率128Hz,采样点数为512。为提高频谱分辨率做 128点的FFT(截断长度128)。 为了减小外界干扰带来的误差，将采样点数分为4组(按点号1128、129256、257384、 385512分),分别求得每组数据的FFT以后求平均，即可得到较为准确的频谱图。分析振 动时，一般只考虑幅值(能量)大小，而不考虑相角，故只做出幅频图即可。 (1)低速 matlab 程序： x1=ls(1:128); x2=ls(129:256); x3=ls(257:384); x4=ls(385:512); y仁 fft(x1); y1=fftshift(y1); y1=abs(y1)/1

19、28; y2=fft(x2); y2=fftshift(y2); y2=abs(y2)/128; y3=fft(x3); y3=fftshift(y3); y3=abs(y3)/128; y4=fft(x4); y4=fftshift(y4); y4=abs(y4)/128; y=(y1+y2+y3+y4)/4; n=1:128; bar( n, y,0.3); grid on; 幅频图： 0.45 1 ill 0 1Illi 2) 111 ml 0 hii川 hu 6 ! i hj Illi 0 III 8 Illi 0 llllllll 111 1 ill 00 Ilin. 20 - 可见幅值较大的特征谱线频率为10Hz、20Hz、30Hz、48Hz,幅值分别为0.427、0.0997、0.223、 0.154。 (2)高速 matla