空间向量立体几何学案

1、2BC，P、空间向量与立体几何复习学案教学目标：复习空间向量解立体几何教学重点：空间角的求法教学难点：空间角和距离教学过程知识点一空间向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用 向量解决立体几何问题的基本要求.空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量 的坐标运算.空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致.例1如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论: SA+ SB+SC+ Sb=0； SA+Sb-SC-Sd=o； SA - SB+Sc-Sb=o； Sa sb=SC

2、 Sd； SA sC=o,其中正确结论的序号是 p= xa+ yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题. 设n为平面a的法向量，a为直线I的方向向量，要证明I / a,只需证明an = 0.(2)证明线面垂直的常用方法有： 设a为直线I的方向向量，n为平面a的法向量，则a=入n(入为非零实数) ? a与n共线？ I丄a I是交线a，b所在平面a外的直线，a，b不共线，I，a，b分别为直线I， a，b的方向向量，则有I 0且I b= 0? I丄a且I丄b? I丄a例2如图，在矩形ABCD中AB =EP丄平面ABCD.(1) 求证：AQ /平面CEP；(2) 求证：平面 AEQ丄平面DEP.知识

3、点三空间向量与空间角1. 求异面直线所成的角.知识点二空间向量与空间位置关系设两异面直线的方向向量分别为 n1、n2,那么这两条异面直线所成的角为9利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题.=n1，n2或 9=n n1，n2，二 cos 9 = |cos n1，n2|.a.(1)证明线面平行问题可以有以下三种方法： 利用线线平行证明线面平行. 向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对 x，y，使2. 求二面角的大小.如图，设平面a B的法向量分别为n1、n2.因为两平面 的法向量所成的角(或其补角)就等于平面a B所成的锐二面B(4)求直线到平面的距离(5)求两平行平面间的距

4、离nAcon2 |设直线a/平面 a A a, B a , n是平面a的法向量，过A作AC丄a.角 0,所以 cos 0 = |cosni, n2|.3.求斜线与平面所成的角.如图，设平面a的法向量为ni,斜线OA的方向向量为n2,斜线OA与平面所成的角为0,则sin 0 = |cos ni,则 sin = |cos |= |cos 0 由数量积的定义知，n AB = |n| |AB|cos 0 ,例3.四棱锥PABCD的底面是正方形，PA丄底面ABCD ,PA= AD = 2,点 M , N分别在棱 PD, PC上，且PC丄平面 AMN .(1)求AM与PD所成的角;(2)求二面角P-AM-

5、N的余弦值;(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值.如图若CD是异面直线a b的公垂线，A、B分别为a、b上的任意两点,令向量 n丄a, n丄 b,贝U n / CD.则由 AB = AC + CD + DB得，AB n = AC n知识点四 空间向量与空间距离计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.几种常见的距离的求法:(1)求 A、 B 两点间的距离一般用|AB| =.AB AB二设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点,二两异面直线a、b间的距离为d= *:门| 垂足为C,则AC / n,T A

6、B n = (AC + CB) n = AC n.则两平行平面的距离气亍点 B 到平面 a的距离 d= |AB| sin = |AB| |cos 0 |=谊|1.(3)求异面直线间的距离.+ CD n + DB n,. AB n = CD n.- |AB n匸|CD| |n|込|=畀| n|- |AB n|= |AC| |n|.直线a到平面a的距离为d=|AC匸|An| n|例4.如图，在四棱锥 PABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD 是菱形，AB = 2,Z BAD = 60(X1 x2)2+(y1 y2)2+(Z1 z2) 2(2)求点到平面的距离.如图所示，已知点B(x0, yo, Z0),平面a内点A(x1, y1, Z