结构的动力计算习题

1、动力学公式动力学公式一、动力自由度一、动力自由度 = 固定体系中全部质量的位置所需附加支杆数固定体系中全部质量的位置所需附加支杆数二、单自由度体系振动微分方程与解二、单自由度体系振动微分方程与解1、自振（圆）频率（弧度、自振（圆）频率（弧度/秒）秒） 自振周期（秒）自振周期（秒） 工程频率（工程频率（HZ）2、自由振动位移、自由振动位移 其中其中( ( )yP tmycy1( )mycyyP tstgmmk 12TTf122020vya)sin(sincos)(tatvtyty0000vytg3、强迫振动、强迫振动 （1）简谐动荷（作用质点自由度方向）简谐动荷（作用质点自由度方向） 动力（放大

2、）系数动力（放大）系数 （2）任意动荷（）任意动荷（Duhamal积分）积分） 动力（放大）系数动力（放大）系数 （3）最大位移）最大位移 = 静位移静位移(重力引起重力引起) + 引起动位移引起动位移(如如 F引起引起) (内力内力) (内力内力) (内力内力)( )sinP tFttytyst sin)( 2211 styymax tdtPmty0)(sin)(1)( 4、阻尼影响、阻尼影响 （1）阻尼对自由振动影响）阻尼对自由振动影响小阻尼情况小阻尼情况对数衰减率对数衰减率阻尼比阻尼比21 r)sin()( taetyrt1kkyyln mcccr2 nkkryyn ln21 （2）阻尼

3、对强迫振动影响）阻尼对强迫振动影响 对突加荷载作用，最初引起对突加荷载作用，最初引起位移接近静力位移的位移接近静力位移的2倍，后倍，后衰减至静力平衡位置。衰减至静力平衡位置。 对对 无阻尼无阻尼 共振共振 共振无阻尼共振无阻尼( )sinP tFt22222411 21 三、多自由度体系振动微分方程组与解三、多自由度体系振动微分方程组与解 刚度法刚度法 柔度法柔度法1、自振振幅方程、自振振幅方程2、自振频率方程、自振频率方程3、主振型矩阵、主振型矩阵 主振型正交化主振型正交化 广义质量矩阵广义质量矩阵(对角对角) 广义刚度矩阵广义刚度矩阵(对角对角) ( )( )( )My tKy tP t

4、0)1(2 YIM 02MK 0)(2 YMK ( )( )( )y tMy tP t 012 IM n 21 YnYYY21 *MYMYT *KYKYT 4、主振型分解法求解一般动荷下的强迫振动、主振型分解法求解一般动荷下的强迫振动 正则坐标的运动方程正则坐标的运动方程 广义荷载广义荷载 广义质量广义质量解解式中式中位移（几何坐标）位移（几何坐标）), 2 , 1( ,)()()(2niMtFttiiiii )()()(tPYtFTii dtFMtttitiiiiiiiii)(sin)(1sin)0(cos)0()(0 iTiiMyMY0)()0( iTiiMvMY0)()0( )()(iT

5、iiYMYM )()(tYty 5、同频率同相位简谐动荷作用、同频率同相位简谐动荷作用 刚度法刚度法 柔度法柔度法位移幅值位移幅值惯性力幅值惯性力幅值四、无限自由度体系自由振动四、无限自由度体系自由振动1、等截面梁、等截面梁振动微分方程振动微分方程解解 其中其中 及及 由边界条件定，由边界条件定， 由初始条件定。由初始条件定。02244 tymxyEI)sin()(),(1nnnnntxYatxy mEInn2 ( )chshcossinnnnnnnnnnYxAxBxCxDxnnnnDCBA,n nna , tPsin PYMK )(2 YMI20 01)1(22 PYIM 0)1(012 P

6、IM 2、近似法求自振频率、近似法求自振频率（1）能量法（瑞利法）能量法（瑞利法）根据能量守恆根据能量守恆 得得位移形状函数位移形状函数Y(x)满足边界条件。满足边界条件。（2）能量法（瑞利一里兹法）根据哈密顿原理）能量法（瑞利一里兹法）根据哈密顿原理位移函数位移函数 ， 互相独立、满足边界条件。互相独立、满足边界条件。 ，其中，其中（3）集中质量法）集中质量法 根据静力等效原则，将分布质量换成集中质根据静力等效原则，将分布质量换成集中质量。量。（4）矩阵位移法）矩阵位移法 ，其中，其中 由各单元由各单元 集合。集合。maxmaxTU liiilYmdxxYmdxxYEI022022)()(

7、)()(1xaxYinii )(xi 0)(2 aMK 0)(2 MK MK , ,kmdxmmdxEIkjiijjiij , 课外作业课外作业 P205 - - P208第一次第一次 15.3 、15.5、15.8第二次第二次 15.2 、15.9第三次第三次 15.10 、15.11第四次第四次 15.14 、15.15 、15.17(并验证振型的正交性并验证振型的正交性)第五次第五次 15.19 、15.2115.3 求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。213EImMlh2112233lhl h hEIEI 解：解：MI1=hEIl1hh15.2 求图示梁的自振频率。求图示梁的自

8、振频率。317687EImml31132151()2 2 16 2 32 2 32 2 37768llllllEIlEI解：解：mEIl/2l/213l/165l/32(l/4)1l/2M1MM115.5 求图示刚架水平振动的圆频率。求图示刚架水平振动的圆频率。3336182kEIEImmhmh解：解：hEIEIEIEI1=EI1=mm3312363EIEIkhh EI3m3m15.7 已知已知:求图示简支梁最大动位移求图示简支梁最大动位移。434010mm/s, =2.45 10 MPa,6.4 10 m ,5t,vEIm解：解：463133314848 2.45 10106.4 1083.

9、48s5 106EImml348lEI0010sin,=0.12mm83.48vvyt AWy03mAB15.8 已知已知:初位移初位移求柱顶端的位移幅值、最大速度和最大加速度求柱顶端的位移幅值、最大速度和最大加速度。44400.1cm,=20kN, =2 10 MPa,16 10 cm .yWEI3st464813333 2 101016 10109.841.74s20 103gEIgWh 解：解：3st3WhEI00cos,0.1cm.yyt Ay0max0sin,0.1 41.744.174cm/s.vyt vy 22220max0cos,0.1 41.74174.2cm/s .ayt

10、ay 15.9 有一单自由度体系作有阻尼自由振动，经过测试，测得有一单自由度体系作有阻尼自由振动，经过测试，测得5个周期后的振幅降为原来的个周期后的振幅降为原来的12，试求阻尼比，试求阻尼比 。 解：解：假设阻尼比假设阻尼比 0.2, r ，0111lnln0.067522 50.12nyny解：解：15.10 已知：悬臂梁，质量集中于端部，已知：悬臂梁，质量集中于端部，求在简谐荷载作用下的最大竖向位移及梁求在简谐荷载作用下的最大竖向位移及梁A端的弯矩幅值。端的弯矩幅值。=10kN, =2.5kN,WP541=2 10 MPa,1130cm ,57.6s ,1.5m,EIlWEIlABsinP

11、t139.81/44.37s4.978 10Wmg373st2.5104.97810=1.24410myP2222111.4591/157.6 / 44.37重力引起的弯矩重力引起的弯矩10 1.515kN mWMWl重力引起的位移重力引起的位移37310 104.978 10=4.978 10 mWWst2.51.53.75kN mMPl3371181.54.97810m/N33210113010lEIA端动弯矩幅值端动弯矩幅值st3.75 1.4595.471kN mAMM最大弯矩最大弯矩max155.47120.47kN mWAMMM最大位移最大位移333max4.978 10+1.81

12、5 10=6.793 10m=6.793mmWfA33st1.244101.459=1.81510m=1.815mmAy振幅振幅AB20.4715动弯矩幅值图动弯矩幅值图(kN m)139.843.83s5.102 10stg解：解：63326122424 5.88 10263.92 10 N/mEIEIkhh6mEIEII0WsinPt4625006.37810m3.9210stPyk12255057.60s6060n15.11 图示刚架在横梁上置有马达，马达与横梁的重量置于横图示刚架在横梁上置有马达，马达与横梁的重量置于横梁上，梁上，W20kN，马达水平离心力幅值，马达水平离心力幅值P2.

13、5kN，马达转速，马达转速n550r/min，柱的线刚度，柱的线刚度 求马达转动时求马达转动时的最大水平位移和柱端弯矩幅值。的最大水平位移和柱端弯矩幅值。8/5.88 10 N cm.iEI h33620105.10210m3.9210stWk222111.3751/1(57.60 / 43.83)即杆即杆端动弯矩幅值端动弯矩幅值maxst3.75 1.3755.156kN mMM最大弯矩最大弯矩最大位移最大位移 即振幅即振幅44st6.378101.375=8.77010m=0.877mmAyst2.5 63.75kN m2 24P hM动弯矩幅值图动弯矩幅值图Ph/4Ph/4Ph/4Ph/

14、4PPh/4Ph/4Ph/4Ph/4动荷幅值弯矩图动荷幅值弯矩图15.12 图示一个重物图示一个重物W500N，悬挂在刚度，悬挂在刚度k4N/mm的弹簧的弹簧上，假定它在简谐力上，假定它在简谐力Psin (P=50N)作用下作竖向振动，已知作用下作竖向振动，已知阻尼常数阻尼常数c0.05N s/mm。试求。试求: （1）简谐力的简谐力的 等于多大时等于多大时会发生共振，（会发生共振，（2）共振时的振幅，（）共振时的振幅，（3）共振时的相角。）共振时的相角。解：解：kWmgPsin tc（1）314 109.88.854s500kkgmW（2）0.05 10000.05534500228.854

15、9.8cm119.03522 0.05534max50( )=9.035=0.11294m=112.94mm4000stPAy tyk（3）215.13 图示机器与基础总质量图示机器与基础总质量M=24t，基础底面积，基础底面积A=20m2 。土。土壤弹性压缩为壤弹性压缩为3000kNm3，机器运转机器运转转速转速n800r/min，简谐简谐荷载幅值荷载幅值P012kN，土壤的阻尼比，土壤的阻尼比 0.07。求机器与基础作求机器与基础作竖向受迫振动时的振幅。竖向受迫振动时的振幅。MsinPt解：解：30001854000kN / mkcA3154000 109.847.43s24kkgmW12

16、280083.77s6060n2222222222110.468783.7783.7714140.0747.4347.43-40max12( )=0.4687=1.042 10 m=0.1042mm54000stPAy tyk31111222 2 4 4 348llllEIEI3312734734,9696l ml mEIEI31322.7353/9.0619/EI mlEI ml15.14 求图示梁的自振频率求图示梁的自振频率和主振型和主振型，并验证振型的正交性并验证振型的正交性。解：解：3122111124 2 232llllEIEI 32211212()22 2 32 2 2 2 38l

17、llllllEIEI 33111122233211222214832=01328l ml mmmEIEIDl ml mmmEIEI21 3332()()()048832l ml ml mEIEIEI 332275()0483072l ml mEIEI21mEIl/2l/2l/2m1l/41l/2M1M23132333(1)1133(1)2333(2)2133(2)283273453488960.27703323273453488963.610333232l mYEIl mYEIl ml ml mYEIEIEIl ml mYEIEIl ml ml mYEIEIEIl ml mYEIEI 验证主振

18、型的正交性验证主振型的正交性:(1)(2)(1)(2)1 11222( 0.2770)3.61031 10mYYm YYmm 第一主振型第一主振型mm10.2770第二主振型第二主振型mm13.61033111124()233aa a aa a aEIEI 33125252(),(),6262a ma mEIEI31320.8057/2.8147/EImaEIma15.15 求图示刚架的自振频率求图示刚架的自振频率和主振型和主振型，并验证振型的正交性。并验证振型的正交性。解：解：2EIaEIa1a1a1a312211122aa a aEIEI 322112233aa a aEIEI m3311

19、112223321122221432=0123a ma mmmEIEIDa ma mmmEIEI21 33324()()()0332a ma ma mEIEIEI332257()0336a ma mEIEIM1M23132333(1)1133(1)2333(2)2133(2)23252()3362122.41422252()3362120.414222a mYEIa mYEIa ma ma mYEIEIEIa ma mYEIEIa ma ma mYEIEIEIa ma mYEIEI 验证主振型的正交性验证主振型的正交性:(1)(2)(1)(2)1 112222.4142( 0.4142)1 1

20、0mYYm YYmm 第一主振型方向第一主振型方向第二主振型方向第二主振型方向15.17 求图示刚架的自振频率和主振型，并验证振型的正交性求图示刚架的自振频率和主振型，并验证振型的正交性。已知：楼面质量。已知：楼面质量m1120t，m2100t，柱的质量已集中于楼，柱的质量已集中于楼面；横梁刚度为无限大，柱的线刚度分别为面；横梁刚度为无限大，柱的线刚度分别为i120MN m，i214MN m 。4mi1EIb=m1EIb=i1i2i2m24m解：解：6611132211121212 20 1015 10 N/m4EIikhh6622232222121212 14 1010.5 10 N/m4E

21、Iikhh611122()51 10 N/mkkk612212221 10 N/mkkk 6222221 10 N/mkk0222221121211 mkkkmkD 2211122221 12()()0kmkmk k0)()(2121122211222211122 mmkkkkmkmk 222()6355250002221317.5219.79221297.71,537.2911129.88s ,23.18s(1)6112(1)2632111121 1010.534751 1097.71 120 101.870YkYkm(2)6112(2)2632112121 1011.558551 1053

22、7.29 120 100.6416YkYkm第二主振型第二主振型第一主振型（基本振型）第一主振型（基本振型）1.8701第一主振型第一主振型10.642第二主振型第二主振型验证主振型的正交性验证主振型的正交性:(1)(2)(1)(2)331 11222120 101 1 100 101.870( 0.6416)0mYYm YY 15.19 在题在题15.17的两层刚架的第二层楼面处沿水平方向作用一的两层刚架的第二层楼面处沿水平方向作用一简谐干扰力简谐干扰力Psin t，其幅值，其幅值P5kN，机器，机器转速转速n150r/min，试求第一，二层楼面处的振幅值和柱端截面试求第一，二层楼面处的振幅

23、值和柱端截面A的弯矩幅值。的弯矩幅值。4mi1EIb=m1EIb=i1i2i2m24m解：解：66111322111212 20 1015 10 N/m4EIikhhsinPt66222322221212 14 1010.5 10 N/m4EIikhh611122()51 10 N/mkkk61221121 10 N/mkkk 622121 10 N/mkk1221505 s6060ntYtytYtysin)(sin)(2211A222222121121212111)()(PYmkYkPYkYmkE6326126632312(51 10120 1025)21 10021 10(21 10100

24、 1025)5 10YYYY 1231221.391210213.67405 10YYYY 31320.20585 10 m0.20585mm0.20208 10 m= 0.20208mmYY柱端截面柱端截面A的弯矩幅值的弯矩幅值631 1166 20 100.20208 104=6062N m6.062kN mAiYMh6322126 ()6 14 10(0.20585 0.20208) 104=79.17N m0.079kN mEi YYMh第二层柱端截面的弯矩幅值第二层柱端截面的弯矩幅值动弯矩幅值图动弯矩幅值图6.0626.0626.0626.0620.0790.0790.0795.98

25、35.983(kNm)0.079AE15.21 图示悬臂梁刚度图示悬臂梁刚度EI=7.459104kN m2，集中质体重，集中质体重W1=W2=70kN，马达产生的简谐荷载幅值，马达产生的简谐荷载幅值P10kN，试求当马，试求当马达转速为达转速为200r/min、 400r/min时梁的支座截面的弯矩幅值。时梁的支座截面的弯矩幅值。解：解：EI1m1m2mW2W1sinPt13M1(m)11M2(m)4114112993331.20710m/kN237.45910EIEI412214118441 130.178810m/kN29337.45910EIEI 4224112111 1 10.0446910m/kN23337.45910EIEI 10kN30MP(kNm)31P4112909033301.20710m237.45910EIEI32P411840401 1300.178810m29337.45910EIEI tYtytYtysin)(