第七章 第4节空间曲线及其方程

1、1 空间曲线及其方程第四节 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结 2 0),( 0),( zyxG zyxF 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程. x o z y 1 S 2 S C 空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线. 特点特点： 一、空间曲线的一般方程 3 例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332 1 22 zyx y

2、x 解解 1 22 yx 表示圆柱面，表示圆柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆交线为椭圆. 4 例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圆柱面圆柱面, 交线如图交线如图. 5 )( )( )( tzz tyy txx 当当给给定定 1 tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点 ),( 111 zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全 部

3、部点点. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 二、空间曲线的参数方程 6 动点从动点从A点出点出 发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 A M M M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程 取时间取时间t为参数，为参数， 解解 x y z o 7 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比 即即 上升的高度上升

4、的高度 bh2 螺距螺距 ,2 8 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 0),( 0),( zyxG zyxF :投影曲线投影曲线 x y z o .,垂足所构成的曲线垂足所构成的曲线上各点向坐标面作垂线上各点向坐标面作垂线从曲线从曲线C 准线准线 投影柱面投影柱面 投影曲线投影曲线 9 如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. 空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 10 :投影曲线方程的求法投影曲线方程的求法 设空间曲线的一般方程设空间曲线的一般方程 0),( 0),( zyxG zyxF 消去变量消去变量z后得：后得：0),( y

5、xH 曲线关于曲线关于xoy 面面 的的投影柱面投影柱面 空间曲线在空间曲线在xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线 0 0),( z yxH 11 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 0),( 0),( zyxG zyxF 12 例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 （1）消去变量）消去变量z后得后得 , 4 3

6、22 yx 在在 面上的投影为面上的投影为 xoy , 0 4 3 22 z yx 13 所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上， 2 1 z 14 例例5 5 求抛物面求抛物面xzy 22 与平面与平面 02 zyx 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 截线方程为截线方程为 02 22 zyx xzy 解解 如图如图, 15 （2）消去）消去y得

7、投影得投影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影, 0 045 22 z xxyyx 16 补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. . 空间立体空间立体 曲面曲面 17 例例6 . ,)(3 4, 22 22 面上的投影面上的投影 求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和 由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体 xoyyxz yxz 解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得投影柱面

8、得投影柱面消去消去 18 面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0 , 1 22 z yx 一个圆一个圆, 面上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy . 1 22 yx 19 7例例 .平面的投影平面的投影的交线在的交线在 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面绕绕求曲线求曲线 xoyzyx z x yz 1 0 2 :解解 旋转曲面方程为旋转曲面方程为 22 yxz 交线为交线为 1 22 zyx yxz 面的投影柱面方程面的投影柱面方程向向xoy 1 22 yxyx 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程在在xoy 0 1 22 z yxyx 20 空间曲线的一般方

9、程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程 四、小结 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 21 8 , 4 , 3 ,22),31 ( 1）（， P37 22 思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 22 2与与抛抛物物柱柱面面 zx 2 2的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和 在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. 23 思考题解答思考题解答 , 2 2 2 22 zx zxy 交线方程为

10、交线方程为 消消去去z得得投投影影柱柱面面, 1 22 yx 在在 面上的投影为面上的投影为 xoy . 0 1 22 z yx 24 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 曲面曲面zyx109 22 与与yoz平面的交线是平面的交线是_； 2 2、 通过曲线通过曲线162 222 zyx, ,0 222 yzx，且，且 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程是轴的柱面方程是_； 3 3、 曲线曲线01, 03323 22 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_； 4 4、 方程组方程组 32 15 xy xy 在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_； 5 5、 方

11、程组方程组 3 1 94 22 y yx 在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_ _ _，在空间解析几何中表示，在空间解析几何中表示_； 练练 习习 题题 25 6 6 、旋转抛物面、旋转抛物面 22 yxz ( ( 40 z ) ) 在在xoy面的投影为面的投影为_， 在在yoz面的投影为面的投影为_， 在在zox面上的投影为面上的投影为_._. 二、二、 画出下列曲线在第一卦限的图形：画出下列曲线在第一卦限的图形： 1 1、 0 4 22 yx yxz 2 2、 222 222 azx ayx 三三、 将将曲曲线线 xy zyx9 222 化化为为参参数数方方程程 26 四、四、 求螺

12、旋线求螺旋线 bz ay ax sin cos 在三个坐标面上的投影曲线在三个坐标面上的投影曲线 的直角坐标方程的直角坐标方程 . . 五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面 222 yxaz , , 柱 面柱 面 0 22 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在 xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . . 27 一、一、1 1、 0 9 10 2 x zy ； 2 2、1623 ,163 2222 zxzy； 3 3、 0 0324 22 y xzx ； 4 4、两直线的交点、两直线的交点, ,两平面的交线；两平面的交线； 5 5、椭圆与其一切线的交点、椭圆与其一切线的交点, ,椭圆柱面椭圆柱面1 94 22 yx 与与 其切平面其切平面3 y