固体物理第二章

1、固体物理第二章固体物理第二章v 固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围， 而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。电子而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。电子在运动中受到晶格中原子势场的作用。在运动中受到晶格中原子势场的作用。固体物理第二章v 固体中的原子或离子在晶格中围绕着格点作为平衡固体中的原子或离子在晶格中围绕着格点作为平衡位置作幅度很小的振动，称为晶格振动。这种晶格中位置作幅度很小的振动，称为晶格振动。这种晶格中原子的运动形式用原子的运动形式用“声子声子”来描述。来描述。固体的宏观性质都与价电子和声子的状态以及它们之间的相互作用有

2、关。固体的宏观性质都与价电子和声子的状态以及它们之间的相互作用有关。固体物理第二章2.1 布洛赫定理布洛赫定理了解晶体中电子的运动，需求解定态薛定谔方程：了解晶体中电子的运动，需求解定态薛定谔方程：)()(rVRrVn本节的任务就是分析电子波函数本节的任务就是分析电子波函数 所具备的性质，即布洛赫定理。所具备的性质，即布洛赫定理。)(r固体物理第二章方法：方法：采用单电子近似，在一维情形中进行采用单电子近似，在一维情形中进行步骤：步骤：引入平移算符引入平移算符说明平移算符说明平移算符的性质的性质证明平移算符与哈密顿算符对证明平移算符与哈密顿算符对易，二者具有相同的本征函数易，二者具有相同的本征

3、函数利用周期性条件确定利用周期性条件确定平移算符的本征值平移算符的本征值给出电子波函给出电子波函数的形式数的形式固体物理第二章一、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征函数一、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征函数固体物理第二章固体物理第二章固体物理第二章)()(ruRruknk)(ruk具有晶格周期性，即对任意格矢具有晶格周期性，即对任意格矢固体物理第二章定性的解释：定性的解释：1、晶体中电子得波函数具有周期性调幅平面波的形式，在相邻原胞中晶体中电子得波函数具有周期性调幅平面波的形式，在相邻原胞中 的对应点，即的对应点，即x x与与x xa a处，波函数只相差一位相因子处，波函数

4、只相差一位相因子e eikaika，但波函数，但波函数 的模相同。即在晶体的周期性结构中电子的几率密度具有相同的周的模相同。即在晶体的周期性结构中电子的几率密度具有相同的周 期性。期性。2、由于晶体中原子间的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定由于晶体中原子间的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定 原子的周围而能在全部晶体中活动，即电子属于整个晶体。电子在原子的周围而能在全部晶体中活动，即电子属于整个晶体。电子在 原子之间运动时，势场起伏不大，其波函数类似于平面波原子之间运动时，势场起伏不大，其波函数类似于平面波e eikxikx，当，当 电子运动到原子实附近时，将受到该原子的较强的作

5、用，使其行为电子运动到原子实附近时，将受到该原子的较强的作用，使其行为 接近于原子中的电子，因此又具有原子波函数的成分。接近于原子中的电子，因此又具有原子波函数的成分。固体物理第二章 在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。原子之间，是两者的组合。l 如果晶体中电子的运动完全自由，如果晶体中电子的运动完全自由， .uAconst kr.ieCconst k rl 若电子完全被束缚在某个原子周围，若电子完全被束缚在某个原子周围， ieu k rkr u kr 由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被由于晶体中的电子既不是完

6、全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 的形式。周期函数的形式。周期函数 反映了电子与晶格相互作用的反映了电子与晶格相互作用的强弱。强弱。固体物理第二章 Bloch函数中，行进波因子函数中，行进波因子 描述晶体中电子描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子函数因子 则描述电子的原子内运动，取决于原则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。子内电子的势场。 ie k r u kr固体物理第二章2.2 布里渊区布里渊区一维情形：一维情形：ahkk2即周

7、期性边界条件限制了波矢的取值只能是即周期性边界条件限制了波矢的取值只能是 的整数倍，的整数倍，也就是说波矢也就是说波矢k的选择是准连续的。的选择是准连续的。L2a()a波矢波矢平移算符具有相同的本征值，因此可将波矢值的选取平移算符具有相同的本征值，因此可将波矢值的选取限制在限制在范围内，倒空间的这一区域称为第一布里渊区。范围内，倒空间的这一区域称为第一布里渊区。ikaNliee22,kllNa为整数令晶体的长度为令晶体的长度为L，则，则lLk20aa2a3a2a3a1区2区2区3区3区第一布里渊区有多少个波矢的代表点？密度是多少？第一布里渊区有多少个波矢的代表点？密度是多少？固体物理第二章如果

8、两个波矢量如果两个波矢量k和和k相差一个倒格矢相差一个倒格矢Gn，这两个波矢，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。所对应的平移算符本征值相同。niiiieeee k ak aGak a 1, 2, 3通常将通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。对于对于 ： ie k a k对于对于 ：n kkG 波矢量波矢量 和和 所描述的电子在晶体中的运所描述的电子在晶体中的运动状态相同。动状态相同。 kn kkG三维情形：三维情形：nGkk固体物理第二章一

9、个波矢代表电子的一个状态，波矢的取值是准连续的。一个波矢代表电子的一个状态，波矢的取值是准连续的。当波矢相差一个倒格矢时，电子的运动状态相同，因此将波矢的取值当波矢相差一个倒格矢时，电子的运动状态相同，因此将波矢的取值 限制在第一布里渊区内。限制在第一布里渊区内。定性理解：定性理解：固体物理第二章布里渊区的几何作图法：布里渊区的几何作图法：v 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点；个倒格点为原点；布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。v 由近到远作各倒格矢的垂直平分面；由近到远作各倒格

10、矢的垂直平分面；v 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布里渊区。即为简约区或第一布里渊区。布里渊区的选取方法：布里渊区的选取方法：固体物理第二章固体物理第二章固体物理第二章固体物理第二章二维斜方格子的布里渊区二维斜方格子的布里渊区固体物理第二章1222222333333 可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积 b 。固体物理第二章固体物理第二章固体物理第二章固体物理第二章2.3 克龙尼克潘尼问题克龙

11、尼克潘尼问题为了讨论本征值电子能量所具有的特点，晶体的周期性势场采用一串为了讨论本征值电子能量所具有的特点，晶体的周期性势场采用一串等深等宽势阱组成的周期性势场，称为克龙尼克潘尼势。等深等宽势阱组成的周期性势场，称为克龙尼克潘尼势。)(xV, 0, 0Vancxnccnxanc) 1(bac为势场的周期。为势场的周期。一、一、 克龙尼克潘尼势克龙尼克潘尼势V(x)-b-cacV0 x固体物理第二章考虑薛定谔方程考虑薛定谔方程在能量范围在能量范围0E-V0的解的解在阱区在阱区0 xa内方程的解即波函数可写为向左右两边传播的平面波的叠加内方程的解即波函数可写为向左右两边传播的平面波的叠加iKxiK

12、xwAeBe22002KKEVm满足在垒区在垒区-bx0内波函数可写为：内波函数可写为：1iFxiFxbCeDe22002FFEm 满足系数系数A、B、C、D可根据波函数及其一阶导数在阱可根据波函数及其一阶导数在阱-垒交界处的连续性得出垒交界处的连续性得出另一垒区另一垒区ax m)考虑由考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链两种原子等距相间排列的一维双原子链只考虑近邻原子间的弹性相互作用只考虑近邻原子间的弹性相互作用aM m n n n-1 n+12.6一维复式格子的晶格振动一维复式格子的晶格振动固体物理第二章21222cos0MAaq B2122cos20aq AmB代入方程代入方程

13、:22121222cos02cos2Maqaqm久期方程：久期方程：2222cosMmMmMmaqMm2212411sinMmMmaqMmMm固体物理第二章简约区：简约区：aqa对于不在简约区中的波数对于不在简约区中的波数q ，一，一定可在简约区中找到唯一一个定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：使之满足：2qqGaG为倒格矢为倒格矢两个色散关系即有两支格波：（两个色散关系即有两支格波：（ ：光学波；：光学波； ：声学波）：声学波）aa高频支、低频支、频隙高频支、低频支、频隙请问此一维复式格子有多少种振动模式？有多少个格波？请问此一维复式格子有多少种振动模式？有多少个格波？固体物理第二章二、

14、光学波和声学波的物理图象二、光学波和声学波的物理图象第第n个原胞中个原胞中P、Q两种原子的位移之比两种原子的位移之比12122122cos2nni aqi aqaq eAeBM1222122cosR e2cosi aqimaq eMmMmMmaqR :大于零的实数，反映原胞中大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比两种原子的振幅比 : 两原子的振动位相差两原子的振动位相差固体物理第二章1. 光学波（光学波（optical branch）1222122cos2cosnni aqmaq eMmMmMmaq1222122cos2cosiaqimaq eR eMmMmMmaqqaa12cos0a

15、q12aq1ie 固体物理第二章322 在在、象限之间，属于反位相型。象限之间，属于反位相型。物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。原胞的质心基本保持不动。 当当q0时，时， ，原胞中两种原子振动位相完全相反。，原胞中两种原子振动位相完全相反。Mmqnn0 离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。种晶格振动，因此，我们称这种振

16、动为光学波或光学支。长波极限长波极限固体物理第二章光学波原子光学波原子振动模型振动模型固体物理第二章 对于单声子过程（一级近对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。的频率，就会发生共振。光波：光波： c0q， c0为光速为光速 =c0q 0q (q) +(0) + 对于实际晶体，对于实际晶体， (0)在在1013 1014Hz，对应于远，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在光在 (0)附近的强烈吸收。附近的强

17、烈吸收。固体物理第二章11222cos222cosi aqimaq eR eMmMmaqMmaqMmmMmMeaqmaqinncos2cos22221212. 声学波（声学波（acoustic branch）aq2122即：即： 在在、象限，属于同位相型象限，属于同位相型固体物理第二章物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。子基本上无相对振动。 aqmMMmMmmM21222sin4111222411MmMmaqMmMm222211

18、2222MmMmaqaqMmMmMmq0时时当当q0时，时， 原胞内两种原子的振动位相完全相同。原胞内两种原子的振动位相完全相同。0,固体物理第二章这与连续介质的弹性波这与连续介质的弹性波 vqvq 一致。一致。122aqqMm当当q0时时10qnn 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称为声学波或声学支。为声学波或声学支。长波极限长波极限固体物理第二章声学波原子声学波原子振动模型振动模型固体物理第二章推广：若每个原胞中有推广：若每个原胞中有

19、n个原子，一维晶格振动有个原子，一维晶格振动有n个色散关系个色散关系 式（式（n支格波），其中：支格波），其中：1支声学波支声学波,（n-1）支光学波。）支光学波。 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数nN晶体的自由度数。晶体的自由度数。u一维晶格一维晶格一维简单晶格具有一维简单晶格具有1个色散关系式（个色散关系式（1支格波），格波总数为支格波），格波总数为N。一维复式晶格具有一维复式晶格具有2个色散关系式（个色散关系式（2支格波），其中：支格波），其中：1支声支声学波，学波，1支光学波。格波总数为支光学波。格波总数为2N。固体物理第二章对于三维简单晶格的振动，对于三维简单晶格的振动，可以解得

20、可以解得 与与q的三个关系式，的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。支纵波，两支横波。推广：对于复式晶格，若每个原胞中有推广：对于复式晶格，若每个原胞中有n个原子，由个原子，由 运动方程可以解得运动方程可以解得3n个个 与与q的关系式（即色散的关系式（即色散 关系式），对应于关系式），对应于3n支格波，其中支格波，其中3支为声学波支为声学波 （一支纵波，两支横波），（一支纵波，两支横波），3(n1)支为光学波。支为光学波。u三维晶格三维晶格固体物理第二章简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个简单晶格：每

21、个原胞中只有一个原子，每一个q的取值的取值 对应于三个声学波（对应于三个声学波（1个纵波，个纵波，2个横波）个横波）晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数晶体的自由度数复式晶格：若每个原胞中有复式晶格：若每个原胞中有n个原子，每一个个原子，每一个q的取值的取值 对应于对应于3个声学波和个声学波和3(n-1)个光学波个光学波 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数33(n-1)N=3nN=晶体的自由度数晶体的自由度数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数 固体物理第二章 声子是晶格振动的能量量子声

22、子是晶格振动的能量量子 j声子的概念：声子的概念： 一种格波即一种振动模式称为一种声子，一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。：声子数。 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。一种振动模式。jjj12En能量本征值：能量本征值：j0,1,2,n 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为为 单元交换能量。单元交换能量。j2.7 声子声子实际三维晶体中有实际三维晶体中有3nN个振动模式，每个模式都有各自的个振动模式，每个模式都有各自的振幅和位相，对某个具体原子的实际振动情况

23、是许多模式振幅和位相，对某个具体原子的实际振动情况是许多模式引起的振动的叠加，极为复杂，可简化成一系列独立谐振引起的振动的叠加，极为复杂，可简化成一系列独立谐振子的运动。子的运动。固体物理第二章 声子具有能量声子具有能量 ，也具有准动量，也具有准动量 ，但它不能，但它不能 脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一只是一 种准粒子。种准粒子。 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 由由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：Njjj=112En 声子

24、可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子 与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声 子数不守恒。子数不守恒。jq固体物理第二章第二章第二章 总结总结1、晶体中的电子、晶体中的电子电子在周期性势场中运动电子在周期性势场中运动布洛赫定理布洛赫定理固体物理第二章K的取值，布里渊区的取值，布里渊区固体物理第二章问题：问题：固体物理第二章一、晶格振动的格波方程和色散关系，格波的概念；一、晶格振动的格波方程和色散关系，格波的概念；二、光学波和声学波的物理图象二、光学波和声学波的物理图象光学波的物理图

25、象：原胞内不同原子间基本上作相对振光学波的物理图象：原胞内不同原子间基本上作相对振 动，当动，当q0时，原胞内不同原子完时，原胞内不同原子完 全作反位相振动。全作反位相振动。声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振动，当声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振动，当 q0时，原胞内各原子的振动（包时，原胞内各原子的振动（包 括振幅和位相）完全相同。括振幅和位相）完全相同。2、晶体中的电子、晶体中的电子固体物理第二章三、声子概念三、声子概念声子：晶格振动的能量量子声子：晶格振动的能量量子 ，是反映晶体中原子，是反映晶体中原子 集体运动状态的激发单元。声子只是一种准粒子，集体运动状态的激发单元

26、。声子只是一种准粒子， 它不能脱离晶体而单独存在。声子与声子（或声它不能脱离晶体而单独存在。声子与声子（或声 子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和 准动量守恒。准动量守恒。j j第第j种声子的能量本征值：种声子的能量本征值：jjj12En固体物理第二章3、布里渊区、布里渊区在在q空间中，空间中， j(q)有如下性质：有如下性质：每个布里渊区的体积均相等，都等于倒格子原胞的体积。每个布里渊区的体积均相等，都等于倒格子原胞的体积。 jjnqqG源于晶格的周期性源于晶格的周期性 jjqq源于时间反演对称性源于时间反演对称性布里渊区的几何作图法布里渊区的

27、几何作图法固体物理第二章立方晶系的简约区立方晶系的简约区简单立方晶格的简约区：由简单立方晶格的简约区：由6个个100面围成的简单立方体面围成的简单立方体面心立方晶格的简约区：由面心立方晶格的简约区：由8个个111面和面和6个个100面围成面围成 的十四面体的十四面体体心立方晶格的简约区：由体心立方晶格的简约区：由12个个110面围成的十二面体面围成的十二面体固体物理第二章简约区中波矢简约区中波矢q的取值总数的取值总数N晶体的原胞数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数dnN晶体的自由度数晶体的自由度数d：晶体的维数；：晶体的维数；n：每个原胞中的原子数：每个原胞中的原子数d n支格波

28、，其中：支格波，其中：d 支支声学波声学波； d (n-1)支光学波支光学波 与讨论晶格振动的情况相似，通常将与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在简约区取在简约区 或第一布里渊区中。或第一布里渊区中。123123123hhhNNN kbbb在简约区中，波矢在简约区中，波矢k的取值总数为的取值总数为 bN k晶晶体体的的原原胞胞数数固体物理第二章练习题练习题固体物理第二章计算题计算题: 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理。 如果晶格常数为如果晶格常数为a ,电子的波函数为电子的波函数为 axxksin)() 1mmkmaxfix)()()()2a

29、xixk3cos)() 3lklaxfx)()()4求电子在这些态中的波矢求电子在这些态中的波矢固体物理第二章 根据布洛赫定根据布洛赫定理理)()(reRrnRk in一维情形布洛赫定理一维情形布洛赫定理1) 电子的波函数电子的波函数axxksin)(axaaxaxksinsin)()( )kkxax 1ikaeak电子的波矢电子的波矢)()(xeaxika( )ikakex固体物理第二章mmkmaxfix)()()() 1()()(amxfiaxmk) 1()(1amxfiim)()()(xilaxfiiklieika)()(xeaxika2) 电子的波函数电子的波函数ak2电子的波矢电子的

30、波矢固体物理第二章3) 电子的波函数电子的波函数aaxiaxk)(3cos)(1ikae)()(xeaxikaaxixk3cos)()(xkak电子的波矢电子的波矢axi3cos固体物理第二章4) 电子的波函数电子的波函数lklaxfx)()(lkalxfax) 1()(mmaxf)(1ikae)()(xeaxika)(xk0k电子的波矢电子的波矢固体物理第二章填空题填空题:固体物理第二章 1、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模、什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？式数目是否是一回事？简答题简答题解答解答在分析讨论晶格振动时，将原子间互

31、作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似近似称为简谐近似. 在简谐近似下在简谐近似下, 由由nN个原子构成的晶体的晶格振动个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效可等效成成3nN个独立的谐振子的振动个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式的振动方式. 原子的振动原子的振动, 或者说格波振动通常是这或者说格波振动通常是这3nN个简正振动模式的线形个简正振动模式的线形迭加迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和所有原子的自由度数之