《电磁场》第八堂课应本

1、主讲：于新华QQ群： 259801414加入语：所选课的课号加入群后你可以： 预约网上答疑；分享教学资料；下载电子版作业；分享教学信息由由即即静电场静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义0EE 解出标量位函数的具体形式解出标量位函数的具体形式- -对该对该标量函数求负梯度标量函数求负梯度- -所求的所求的电场具体形式。电场具体形式。在均匀介质中，有在均匀介质中，有2. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯

2、方程拉普拉斯方程DEE 2 0203. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时由由 和和12()SenDD21120limd0PPlE l12 D2121Snn12媒质媒质2媒质媒质121l2P1Pobaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x 例例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为

3、 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导体平板之间的电位和电场。 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程方程的解为方程的解为0S212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处， 处，处，所以所以由此解得由此解得1(0)02( )

4、0a12( )( ),bb0 x xbxa0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 0210( )( )Sx bxxxx 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 0110()( )( )SxabE xxea 0220( )( )SxbExxea 111222( )( )xC xDxC xD 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位

5、差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该

6、点的电位也就具有确定值，即()CC31()11( )d()()d4411()()d4VVVrRE rVrVRRrVR 5. 电荷在无限大空间任一点产生的电位表达式电荷在无限大空间任一点产生的电位表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：Rrr31()RRR 1( )( )d4VrrVCR()1( )d4SSrrSCR( )1( )d4lCrrlCR( )4qrCR6. 电位差（电压）电位差（电压）两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿

7、任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将两点间的电位差等于电场力将单位正电荷单位正电荷从从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力电场力做的功做的功E dlddddlEle lll dd( )()QQPPElPQ 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位

8、的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由BA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的造成的。为了得到确定的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。场中通常规定，并称为库仑规范。1. 恒定磁场的矢量磁位恒

9、定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位,单位是单位是Tm(特斯拉特斯拉米米) 3.2 恒定恒定磁场边值问题的间接解法：位函数法磁场边值问题的间接解法：位函数法0BAA ()AAA 0A 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式磁矢位的表达式BA HJAJ2()AAJ 0A0J ( )( )d4VJ rA rVR( )( )d4SSJrA rSRd( )4CIlA rR面电流面电流体电流体电流线电流线电流 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件 利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：1

10、2AA121211()nSeAAJdddSSCBSASAlddCSAlBS12ttAA0Ad0SAS12nnAA12()nSeHHJ/HA 3.3.1 3.3.1 位函数位函数边值问题边值问题：在给定的边界条件下：在给定的边界条件下，求解求解位位函数函数的泊松方程或拉普拉斯方程的泊松方程或拉普拉斯方程SV3.3.2 解的惟一解的惟一性定理性定理 只要保证求解空间内微分方程及空间的边界只要保证求解空间内微分方程及空间的边界条件都相同，通过任何手段得到的解都是唯一而条件都相同，通过任何手段得到的解都是唯一而且都相同。且都相同。3.4 静态场边值问题的间接解法一：镜像法静态场边值问题的间接解法一：镜

11、像法 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代可以用等效电荷的电位替代1 1 问题问题接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷镜像法求解实例一镜像法求解实例一满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是

12、正确的。镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z = 0时，时，q qhhq 有效区域有效区域RR q qh,qq hh 11()04qzRR（）00zRR上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为22222211( , , )4()()qx y zxyzhxyzh(0)z 222 3 202 ()Szqhzxyh 222 3 2d dd2()inSSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 2. 镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜

13、像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界

14、条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” ；4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确

15、定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。 镜像法实例二镜像法实例二 如如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷导体平板，点电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1

16、, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d11231111()4qRRRR 镜像法实例三镜像法实例三图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面zx12qh特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一

17、点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷Pqhh11xzqRR分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。1问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质大平面，

18、在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q，距分界平面为距分界平面为h 。12介质介质1中的电位为中的电位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷22qqPxzhR122222211( , , )04()()qqx y zzxyzhxyzh222221( , , ) 04()qqx y zzxyzh2 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中

19、的电位为2可得到可得到利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件1020zz211020zzzz1211()()qqqqqqqq12121212qqqq 将偏微分方程中将偏微分方程中含有含有n个自变量的待求函数个自变量的待求函数表示成表示成n个各自只个各自只含一个变量的函数的乘积含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成，把偏微分方程分解成n个常微分方程，个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典

20、方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为3.6.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法将将 (x,y)表示为两个一维函数表示为两个一维函数X(x)和和Y(y)的乘积，即的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以X(x) Y(y) ，有，有分离常数分离常数22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y2222d( )d( )(

21、)( )0ddX xY yY yX xxy22221d( )1d( )( )d( )dX xY yX xxY yy 若取若取k2 ，则有，则有当当当当222d( )( )0dX xk X xx222d( )( )0dY yk Y yy000( )( )X xXxA xB000( )( )Y yY yC yD0000000( , )( , )( )( )()()x yx yXx Y yA xBC yD( )( )sincosnnnnnX xXxAk xBk x( )( )sinhcoshnnnnnY yYyCk yDk y( , )( ),( )()nnnx yx yXx Y x(sincos)

22、(sinhcosh)nnnnnnnnAk xBk x Ck yDk y0nkk0k 将所有可能的将所有可能的 (x,y)线性线性叠加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即 注意：若注意：若取取k2 ，同理可，同理可得到上面相同的结果，即得到上面相同的结果，即通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。00001( , )()()(sincos)(sinhcosh)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y00001( , )()()(sinhcosh)(sincos)nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk x Ck yDk y 例例3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。算此导体槽内的电位分布。 解：解：位函数满足的方程和边界条位函数满足的方程和边界条件为件为0Ubaoxy因因 微分方程的通解为微分方程的通解为222200(0, )0, ( , )0(0)( ,0)0, ( , )(0)xyya yybxx bUxa00001(