全微分及其应用PPT学习教案

1、会计学1全微分及其应用全微分及其应用定义9.4 (全微分),(),(00yxyxfz在在点点 ),( oyBxAz ,)()(,22yxBA 为为常常数数其其中中yBxA 可表示为处可微分,则称函数称为函数记作,dz即yBxAz d),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(00yxyxfz在在点点 的全增量处的全微分.),(),(00yxyxfz在在点点 如果函数第1页/共16页也不能保证函数在该点连续.多元函数即使在某点的偏导数都存在,若函数在某区域 D内各点处都可微分, yyxfxyxfzyxd),(d),(d0000 定理 9.2 (可微的必要条件)设函数可微分,且处偏导数存在

2、,),(),(00yxyxfz在在点点 则;),(),()1(00处处连连续续在在点点yxyxfz ),(),()2(00yxyxfz在在点点 则称该函数在 D内可微分.第2页/共16页证 (1)( oyBxAz 有，0 y|,|x 则则所以, 函数在该点连续.于是0 )(limlim00 oyBxAz 由函数可微分,),(),(00yxyxfz在在点点 (2) 令),()0,(0000yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim00000 xz同理可得.yzB 从而yyxfxyxfzyxd),(d),(d0000 ),(lim00yyxxfyx ),(lim0

3、zyxf ),(yxf 第3页/共16页一元函数在某点可导 可微分多元函数的各偏导数存在 可微分例如， . 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf但函数 f (x, y) 在点(0,0)处不连续, 所以不可微.说明: 多元函数的各偏导数存在并不能保证可微. 0)0 , 0()0 , 0( yxff在点(0, 0)处有不连续的函数一定是不可微的.第4页/共16页定理9.3 (微分充分条件),(yx则该函数在点则该函数在点连续,可微分.),(yxyzxz在在、 如果函数 的偏导数),(yxfz 对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：可微 可导 连续 有极限 对多元函数的极限、连

4、续、可导、可微的关系：偏导连续 可微 连续 有极限 有偏导第5页/共16页多元函数连续、偏导数存在、可微的关系 函数可微 函数连续偏导数连续偏导数存在第6页/共16页 考研数学一, 3分考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质: 选择题 f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.若用“”QP 表示可由性质P推出性质Q,则有(A) . (B) . (C) . (D) . 第7页/共16页下下列列处处可可微微在在点点设设二二元

5、元函函数数,),(),(yxyxfz ),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfByx处处两两个个偏偏导导数数在在点点),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx处处两两个个偏偏导导数数在在点点连续.D结论不正确的是( ).都存在,),(),()(处连续处连续在点在点yxyxfA,),(),()(某邻域内有界某邻域内有界在点在点yxyxfC第8页/共16页.dddyyzxxzz zzuyyuxxuudddd 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微叠加原理也适用于二元以上函数的情况.全微分记为称为二元函数的微分符合叠加原理),(zyxfu 如三元函数有分之和,第9页/共16页

6、解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxyxddd212121 所以yexed)d1(222 例 计算函数 在点(1, 2)的全微分.xyexz 2第10页/共16页解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分zyeyzeyxuyzyzdd2cos21dd 例 计算函数 的全微分.yzeyxu 2sin第11页/共16页答案.的全微分的全微分求求zyxu udyyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 第12页/共16页上海交大考题)(d),3(2 zyxfz则全微分则全微分设设)d3d6)(3(22yxxxyyxf 上海交大考题)(d, uxyuz则则设函数设函数zyxyyxzyxyzzzdlndd1 第13页/共16页解例 计算 的近似值.所以02. 2)04. 1(,),(yxyxf 令.)04. 1()02. 2 ,04. 1(02. 2 f则,),(1 yxyxyxf因.ln),(xxyxfyy 且, 1)2 , 1( f, 2)2 , 1( xf. 0)2 , 1( yf.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取02. 0)