o第2章矩阵理论基础

1、-1-2.3 可可逆矩阵逆矩阵2.5 分块分块矩阵矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理Cramer法则法则-2- 矩阵的加法矩阵的加法nmijnmijbBaA )(,)( mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA defA mnmmnnijaaaaaaaaaa212222111211)(defdef)( BABA -3-练习练习,501431,312201 BA求求A+ B;A- BA+ B;A- B-4-ABBA 交换律：交换律：)1( CBACBA )2(结合律：结合律： OAA )4(AOA

2、)3(-5- 矩阵的数乘矩阵的数乘RkaAnmij ,)(AA 1)1(Ak mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211defkA)()()2(AA AAA )()3(BABA )()4(-6-例例1,501431,312201 BABA23 求求 936603 134261 1002862 BA23解：解：-7- njmi, 2 , 1;, 2 , 1 smijaA )(nsijbB )(nmijcC )( skkjiksjisjijibabababa12211defijcnssmBA defnmC smmsmjmisijisjaaaaaaaaaA 111111

3、nssnsjsinijinjababbbbbbB 111111 矩阵的乘法矩阵的乘法-8-222263422142 C22 16 32 816? 106861985123321不存在不存在 123321 132231 .10 21322 12 22 12 22 13 23 .634242 例例2-9-例例3 0321,1111,1111CBA 11111111AB 11111111BA 03211111AC2Adef AA 11111111 2222 0000 2222 0000?BAAB ?CBACAB OBA?orOAOB ?2OAOA -10-例例4 321321,xxxxxx23222

4、1xxx 321321,xxxxxx 232313322212312121xxxxxxxxxxxxxxx：上式：上式=0的充要条件是什么？的充要条件是什么？-11-4333731120854121111 44431111731120854121 43731120854121 43731120854121 例例5)(AEEAEAAEnnmnmm ：E在矩阵乘法中的作用在矩阵乘法中的作用-12-有了矩阵的乘法，有了矩阵的乘法，方程组的矩阵表示形式方程组的矩阵表示形式对应可以用矩阵形式表示为对应可以用矩阵形式表示为 AX B ，其中，其中B 。b1b2 bmA ，a11a21 am1a12a22 a

5、m2 a1na2n amnX ，x1x2 xn(|)AA B 称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵对应齐次方程组可用矩阵形式表示为对应齐次方程组可用矩阵形式表示为 AX O -13- BCACAB 1 ,3ACABCBA CABAACB BABAAB 2证证(1): 记记qpijpnijnmijcCbBaA )(,)(,)(qnijpmijvVBCuUAB )(,)(矩阵矩阵都是都是与与qmBCACAB )()( pkkjnllkilpkkjikcbacujiCAB111)(),()(元元的的元元的的),()()(111jiBCAvacbanlljilnlpkkjlkil -14- 方阵的

6、幂方阵的幂设设A是是n阶方阵，阶方阵，定义定义111121,AAAAAAAAkk 规定规定EA 0mmAaAaEaAf 10)(称称 为为A的的m次多项式次多项式。mmxaxaaxf 10)(设设 为为x的的m次多项式，次多项式，lklkAAA kllkAA )()()()()(AfAgAgAf -15-例例6举例说明举例说明222)()1(BAAB 2222)()2(BABABA )()3(22BABABA 0110,0001BA 000000100010)(2AB 0001000100012A 001001100001AB 1001011001102B 0001222ABAABBA 010

7、000010110因因下一例题说明下一例题说明(2)(3)不成立。不成立。-16-例例72222)()1(BABABA )()2(22BABABA 成立的充要条件是成立的充要条件是(即即AB=BA)。2222)()1(BABABA 222)(BABABABA 2222BABABABBAABA BAAB )()2(22BABABA BAABBBAABABA 2222证明证明-17-100,001001AA求求设设 例例9 0001000100100100102BOB 0100100001003BEA 010010-18-nnnnnnnnBACBACBACBA01100)( nnnnnnnnnCC

8、C 000112211当当A与与B可交换时，有下面二项展开式可交换时，有下面二项展开式称为称为纯量矩阵纯量矩阵，它与任何方阵可交换。，它与任何方阵可交换。E 0000000002211nnnnnnnCnn 222110)()()()(BECBECECBEAnnnnnnnn -19- 矩阵的转置矩阵的转置 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做矩阵，叫做A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作AT。,65432132 A23635241 TA,321 x).3,2,1( Tx如如 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB -20-,102

9、324171,231102 BA .TAB求求例例10 102324171231102AB 1013173140 1031314170TAB TTTABAB 213012131027241.1031314170 !)()(3323无意义无意义 TTBA-21-例例11 1021A 312101B 210112CBAABCTTTT )2(求求BABACBAABCTTTTTT 2)2( 3121011201210112BACT 304011514101210112-22-例例12TTTA ,)2 , 1, 2(,)1 , 2 , 1(101A求求 2124242122 , 1, 2121A )(2

10、TTATT )(TTTA )()(101 T )( T 21212 , 1, 2 T100ATT1001002)()( -23-.601086160为对称阵为对称阵例如例如 A设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 A = AT , 即即, 则称则称 A 为为.),2,1,(njiaajiij 假设假设 A , B 都是都是 n 阶对称矩阵，显然阶对称矩阵，显然 kA , A+B 都是对称矩阵。但都是对称矩阵。但 AB 不一定是对称矩阵。不一定是对称矩阵。例如例如 0022,1111,1111ABBA对称阵的元素以对称阵的元素以主对角线为对称主对角线为对称轴对应相等轴对应相等-2

11、4-例例14证明证明且且设设,1,),(21 TTnxxxTEH2 .EHHT 是对称矩阵，且是对称矩阵，且例例13 设设 ，证明，证明 和和 分别是分别是n阶和阶和m阶阶nmA AATTAA对称矩阵。对称矩阵。AAAAAATTTTTT )()(HEEEHTTTTTTTT 2)(2)2()2)(2(2TTTEEHHH EETTTT )(422-25-反对称矩阵反对称矩阵:如果如果则矩阵则矩阵A称为称为。,AAaaTjiij 即即-26-作业：作业：P27 1（1），（），（4）2， 7-27-2.3 可可逆矩阵逆矩阵2.5 分块分块矩阵矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定

12、理Cramer法则法则-28- 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1750 1750 年，瑞士数学家克莱姆。对行列式的定义和展开年，瑞士数学家克莱姆。对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则们所称的解线性方程组的克莱姆法则 。 在很长一段时间内，行列式只是作

13、为解线性方程在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，没有单独形成一门理论。对行列组的一种工具使用，没有单独形成一门理论。对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，是法国数学家范德蒙式理论做出连贯的逻辑的阐述，是法国数学家范德蒙 ，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。法则。-29- 继范德蒙之后，又一位做出突出贡献的就是另一继范德蒙之后，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。其中主要结果之一是行列式的位法国大数学家柯西。其中主要结果之一是行列式的乘法定理乘法定理 。继柯西之后，雅可比的著名论文。继柯西之后，雅可比

14、的著名论文论行论行列式的形成和性质列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成。标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 19 世纪也得到了很大发展。世纪也得到了很大发展。 -30-在在 D 中划掉第中划掉第 i 行和第行和第 j 列元素而剩下的元素按原来列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元元素的素的，记为，记为Mij ,称称Aij =

15、(-1)i+j Mij为为 (i,j) 元素的元素的。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211用式子用式子D表示方阵表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一的元素按某种规则运算得到的一个数，称为个数，称为A的行列式。的行列式。-31-132333322232211 nnnnnnnaaaaaaaaaM131333312232112 nnnnnnnaaaaaaaaaM111111)1(MA 122112)1(MA 例如：例如：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 -32-nnnnnnaaaaaaaaaD21

16、2222111211 n 阶行列式阶行列式的值定义如下的值定义如下(递归定义递归定义):当当 n=1 时，时，11aD 2 n当当时，假设对时，假设对1 n阶行列式已有定义，则阶行列式已有定义，则1121211111nnAaAaAaD 上式又称上式又称。比较书比较书P.29定义定义1-33-计算上三角行列式计算上三角行列式nnnnaaaaaa22211211按第按第1列展开列展开)1(3332232211 nnnnnaaaaaaa按第按第1列展开列展开)2(444334332211 nnnnnaaaaaaaa nnaaa2211 例例3-34-由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算由定义，可

17、得二阶行列式与三阶行列式的计算22211211aaaa2121111121122211AaAaaaaa 313121211111333231232221131211AaAaAaaaaaaaaaa 232213123133321312213332232211aaaaaaaaaaaaaaa 都是借助低一阶的行列式都是借助低一阶的行列式(代数余子式代数余子式)按第一列展开来按第一列展开来定义的。定义的。 对于四阶及四阶以上行列式的展开呢？对于四阶及四阶以上行列式的展开呢？-35-为什么要研究行列式的性质为什么要研究行列式的性质? ?如果行列式有一行如果行列式有一行（列）为零，则行列式（列）为零，则行

18、列式等于零。等于零。0000 0000 例如例如行列式按任意一行展开，其值相等行列式按任意一行展开，其值相等。), 2, 1( ,2211niAaAaAaDininiiii -36-例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号。行列式变号。0 cbacba再如，证明再如，证明cbacba 31rr cbacba -37- 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。列式为零。例如例如0 cbacba0 ccbbaa-38-行列式的某一行（列）中所有

19、元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。因子可以提到行列式符号的外面。例如例如123331182122 411311821322 1263642841 12633218412-39-行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。此行列式为零。0963321 0420021 例如例如是一个数。是一个数。 ,AAn -40- 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。和。例如例如60

20、0300301395200199204100103600300130039520012002041003100 600300300395200200204100100 600300139520012041003-41- 把行列式的某一行把行列式的某一行( (列列) )的各元素乘以同一数然的各元素乘以同一数然后加到另一行后加到另一行( (列列) )对应的元素上去对应的元素上去, ,行列式的值不变。行列式的值不变。例例1三角形，然后计算行列式的值。三角形，然后计算行列式的值。jirkr 只用只用这种变换，把行列式化为这种变换，把行列式化为0112201101214121 D12rr 13rr 14

21、2rr 8350211042004121 -42-8350211042004121 32rr 8350211021104121 23rr 245rr 18800420021104121 344rr 2000420021104121 4 jikrr jikcc -43- D TD 行列式与它的转置行列式相等。行列式与它的转置行列式相等。TDD 说明说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。反之亦然。naaa11211naaa22221nnnnaaa21naaa11211naaa22221nnnnaaa21-44-nnnnaaaaaa2122

22、2111nnaaa2211 计算下三角行列式计算下三角行列式注意！注意！ ndd1ndd 1nnnddd212)1()1( 例例2nnaaa2211 -45-nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD 21DDD 则则-46-证明证明kkkkkkkkkpppppaaaaD1111111111 设为设为化化为为下下三三角角形形行行列列式式，把把作作运运算算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji nnnnnn

23、nnnqqqqqbbbbD11111111120 设为设为-47-化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把同前运算同前运算列作列作，再对后，再对后行作同前的运算行作同前的运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, )()(1111nnkkqqppD 故故21DD nnnnknkkkkqqqccccppp11111111110 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 -48- 000000000 0000例例3设设A，B都是都是n阶方阵，则阶方阵，则BAAB -49-设设A是奇数阶方阵，且是奇数阶方阵，且, 1, AEAAT0 AE证明证明AEAAAAA

24、ETT)( EAEAAEATTT )()(AEAEAEn )1()(例例4-50-nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 ), 1(2211njDAaAaAanjnjjjjj )(02211jiAaAaAanjnijiji ), 1(2211niDAaAaAaininiiii )(02211jiAaAaAajninjiji 行列式展开定理行列式展开定理-51-., 02211ikAaAaAainknikik 证明证明由定理由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。作辅助行列式作辅助行列式nnnnkn

25、kkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第第i行行(展开展开)1122kikiknina Aa Aa A0展开定理给出了行列式降阶计算的思想。展开定理给出了行列式降阶计算的思想。-52-031521413 52411 03523 )0341()1( 1312153 20 031521413 52411 )5143(3 11313 20 例例5计算计算按定义按定义按第按第3行展开行展开-53-031521413 再验证一下错列或错行展开是否为零再验证一下错列或错行展开是否为零?333223221312AaAaAa 21133 21165 0 231322122111AaAaA

26、a )0341(3 01431 )3113(4 324123 0 31211 )3113(2 -54-432163021111875144434241AAAA 求求44434241AAAA 4424432342224121AaAaAaAa 0 例例6-55-EAAAAA 矩阵的转置矩阵矩阵的转置矩阵由由 |A| 的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式 所构成所构成ijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为称为 A 的的伴随矩阵伴随矩阵。伴随矩阵伴随矩阵研究可逆矩阵研究可逆矩阵由行列式展开定理由行列式展开定理-56-计算计算 n 阶行列式阶行列式abbbbabbbba

27、bbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列上列都加到第一列上,得得n, 3 , 2 例例7-57- abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1( 1)() 1( nbabna1rri ni,2 特征特征1：对于所有行（列）元素：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把相加后相等的行列式，可把第第2行至行至n行加到第一行（列），行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。提取公因子后在简化计算。-58-nnnayayxxa2221)0(32 naaannnkkkkaaxxayxa002221

28、 )(2132 nkkkknayxaaaa爪形行列式爪形行列式kkkcayc 1nk, 2 例例8特征特征2：第一：第一行，第一列及行，第一列及对角线元素除对角线元素除外，其余元素外，其余元素全为零的行列全为零的行列式称为爪型行式称为爪型行列式。列式。-59-范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD 例例9证明：见书证明：见书P36页页-60-1111211221222122122211211111 nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD范德蒙德范德蒙德(Vand

29、ermonde)行列式行列式 例例9na na na 从最后一行开始从最后一行开始,每行减去上一行的每行减去上一行的 倍倍.na-61-0)()()(0)()()(0)()()(01111121222121131232131112211121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 按最后一列展开再提取每列的公因子按最后一列展开再提取每列的公因子-62-)1(212222212122222112211111 nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa )()()1(1211nnnnnnaaaaaaD1121)(

30、)( nnnnnnDaaaaaaD22121111)()( nnnnnnDaaaaaaD223133)(DaaaaD 121122)(aaDaaD -63- nijjiaa1)(1111211221222122122211211111 nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaD-64-.27931842111111)(,0)(32xxxxfxf 的根的根求求解：解：)23)(13)(12)(3)(2)(1()( xxxxf所以根为所以根为x =1,2,3.练习练习-65-dcdcbabaDn 2ddcdcbabaa000)1(11 )1(2)12()12()1( nn

31、nDad 例例10-66-00)1(21cdcdcbababn )1(21)12()1(2)12()12()1()1( nnnnnDbcDadnnbcadDbcad)()()1(2 -67-计算计算n 阶行列式阶行列式2112112112112nn nD 解解 将将 按第一行展开得按第一行展开得nD2(1) (1)211212 ( 1)12112nnnD 3(1) (1)110211 ( 1)12112nn 122nnDD 例例11-68-112nnnnDDDD2321nnDDDD212112得递推公式得递推公式11(2,3,)nnDDn . 1, 21 nDDn所以所以特征特征3：所求行列式

32、某一行（列）至多有两个非零元素。：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素。练习练习 书书P.39例例11-69-计算计算n 阶行列式阶行列式nnxxxxD 321 解：解：拆分为拆分为则则写成写成把把nnnnDxxx,)( 321321000 xxxxxxxDnn 注意与例注意与例7的的形式不同。形式不同。 例例12-70-), 2 , 1()1(1nirrii 对第二个行列式用对第二个行列式用1)1()( nnnnnDxD 00000000000000133221 nxxxxxx)()1()(111 jnjnnnnxDx)1()()(111 jnjnnnxDxD-71-）（的对称性，的对称

33、性，和和由由2)()(111 jnjnnnxDxD )()(11jnjjnjnxxD）得）得）（）（由（由（时，时，当当21 ）得）得由（由（时，时，当当1 )()(111 jnjiinjjnjnxxD特征特征4：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。-72-行列式常用的计算方法：行列式常用的计算方法：化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。-73-作业：作业：P45 3（4），），5-74-2.3 可可逆矩阵逆矩阵2.5

34、分块分块矩阵矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理Cramer法则法则-75-对于对于n阶矩阵阶矩阵A, 如果有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B, 使得使得则说矩阵则说矩阵A是是的的, 并把矩阵并把矩阵B称为称为A的的.EBAAB 易知易知,如果如果A可逆可逆,则其逆矩阵是唯一的则其逆矩阵是唯一的,记作记作.1 Abaxbax1 概念的引入概念的引入: : 在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a 有有aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）；-76-事实上，事实上， 设设B、C都是都是A的逆，则的逆，则B=BE=BAC=EC

35、=CAB=BA=E AC=CA=E从而，从而，逆矩阵是逆矩阵是唯一的唯一的1224A 它的逆矩阵存在吗？它的逆矩阵存在吗？解解 假设假设A 的逆矩阵存在记作的逆矩阵存在记作B ,则则2ABBAE2| | 1ABE而由已知得而由已知得| 0| | 0AA BAB 故矛盾故矛盾,所以所以A的逆矩阵不存在的逆矩阵不存在.-77-01 AEBA设设 , 由行列式乘法定理由行列式乘法定理EAB 0 AA可逆可逆证证)()(设设 ，由，由0 AEAAAAAA )1()1( AAA11得得当当 时时,A称为称为,否则称为否则称为.0 A该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。-7

36、8- dcbaA例例10 bcadAA可逆可逆 acbdbcadAAAAAA11221221111 0112A如如可可逆逆AA 01 211021101A-79-例例2求求A的逆矩阵的逆矩阵 343122321A02343122321 A.1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA 222563462211A-80-例例3 naaaA21), 1(00niaAAi 可逆可逆 112111naaaA-81-1, ABEBAEABBA则则）（或（或如如为方阵为方阵设设 01存在存在 AAEAB证

37、证 .1即得证即得证两边左乘两边左乘 AEAB推论表明的含义（推论表明的含义（P.49）-82-例例4证明证明 A 和和 A+2E 都可逆都可逆 , 并求其逆并求其逆.设方阵设方阵 A 满足满足,22OEAA EEAAOEAA2)(22 )(21)(211EAAEEAA EEAAAOEAA4632222 EEAEAA4)2(3)2( EEAEA4)2)(3( )3(41)2(1AEEA -83-,130231,3512,343122321 CBA设设.CAXBX 使其满足使其满足求矩阵求矩阵, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA例例5-84-,25131

38、B,222563462211 ACAXB 由由 1111CBAAXBBA11 CBAX 251313023122256346221 2513202011 41041012-85-AAAA 111)(,)1(且且可逆可逆可逆可逆111)(,0,)2( AkkAkAkA且且可逆可逆可逆可逆111)(,)3( ABABABBA且且可逆可逆同阶可逆同阶可逆TTTAAAA)()(,)4(11 且且可逆可逆可逆可逆AAA1)5(1 可逆可逆 )()( ,)6(11AAAA可逆可逆可逆可逆(P.49)-86-可逆可逆可逆可逆1 AAAAAAAEAAA1)()(1111 AAA1)(1 )()(11AA )(

39、)(11AA-87-例例7设设A为为3阶方阵阶方阵 , ,21 A求求 AA5)2(11121 AAAA1111225215)2( AAAAA161)2(3 A-88-例例8设设 A 为为 n 方阵方阵 , 证明证明 00)1( AA1)2( nAA(注注:结合上例题结合上例题 )00 AA(1) 如果如果 A=O, 则结论显然成立则结论显然成立.如果如果AO, 反证反证:假设假设 ,则则 可逆可逆,由由 两边右乘两边右乘OEAAA 0 A A1)( A得得A=O , 矛盾矛盾.(2) 如果如果 , 由由(1)结论成立结论成立. 如果如果 ,0 A0 A1 nnAAAAAEAAA-89- 把单

40、位矩阵分别作第一、第二、第三种初等把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为行变换得到的矩阵分别称为。E),(jiEjirr 记号记号)( kiEirkE)(,(kjiEjikrr E-90- 1000100013kr k000100013kc 100010001)(3(kE 10001000113krr 10010001k31kcc 100010001)( 1 , 3(kE 10001000131rr 001010100 10001000131cc)3 , 1(E-91- 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。同一种初等矩阵。

41、),(),(1jiEjiE )()(11kiEkiE )(,()(,(1kjiEkjiE -92-计算计算1112121222313231 0 0(1) 000 0 1nnnaaakaaaaaa 111212122231323nnnaaakakakaaaa 11122122313210(2) 010001kaaaaaa111213212223313233100(3)001010bbbbbbbbb111312212322313332bbbbbbbbb 32123111kaakaa 2212aa2313aa-93-() P P52 200820081000101019876543211000010

42、10 720089674200865412008321例例9-94-行行的第的第交换交换阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为设设1)2(A，nnA )(2则则行得到矩阵行得到矩阵与第与第，B* )(BAA的第一列与第二列得到的第一列与第二列得到交换交换* )(BAB的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到交换交换* )(BAC 的第一列与第二列得到的第一列与第二列得到交换交换* )(BAD 的第一行与第二行得到的第一行与第二行得到交换交换BAE )2 , 1(1* BBB11)2 , 1( EAA)2 , 1(*EA 例例10-95- 任一可逆矩阵可经过有限次初等行变换化成单任一可逆矩阵可经过有限次初等行

43、变换化成单位矩阵。即当可逆矩阵经过初等行变换化为行最简位矩阵。即当可逆矩阵经过初等行变换化为行最简形矩阵时，行最简形矩阵为单位矩阵。形矩阵时，行最简形矩阵为单位矩阵。 定理定理2.3.2（证明略（证明略 书书P.52）-96-设设 即有初等矩阵即有初等矩阵 使得使得EArlPPP,21EAPPPl 12问问 1A? EAP1 EPAP11作一次行变换作一次行变换再作一次行变换再作一次行变换 EAPP12 EPPPAPPPll1212继续继续 EAPPPl12 EPPAPP1212考虑对考虑对 作行变换作行变换 EAE1 AAEr-97-. ,343122321 1 AA求求设设 解解 1036

44、20012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 例例11-98- 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r-99- . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换-100-.341352,343

45、122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA例例12-101- 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr -102-， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr -103-.,2,410011103 XXAAXA求矩阵求矩阵且且设设 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA

46、 练习练习-104- 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行变换初等行变换.322234225 X-105-矩阵方程矩阵方程 AX=B (假设假设 A 可逆可逆)，如何求解？，如何求解？：先求：先求 ，再计算，再计算1 ABAX1 ：, XEBArBAX1 则则：求：求 ，再计算，再计算1 A1 BAXXA=B (假设假设 A 可逆可逆) ？ TrTTXEBA BXATTTBXA ：-106- 100110111A 200020102BBABAAXAXB 22解矩阵方程解矩阵方程解解BABAAXAXB 22BEBAEBAX )()(2

47、BEBAXA )(BAEBAX1)( DC例例12-107- 200020102100110111BA 200220322100010001r 222322C 101101DTTTCAXDCDAX )()( 223101022010002001TTCD 225100022010002001r-108-FAXT 225222)( 222522111111TFAX 333613-109- 任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵的乘任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵的乘积。从而积。从而, 矩阵可逆的充要条件是它可分解为有限矩阵可逆的充要条件是它可分解为有限初等矩阵的乘积。初等矩阵的乘积。 定理定理2

48、.3.3-110-2.3 可可逆矩阵逆矩阵2.5 分块分块矩阵矩阵2.6 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理Cramer法则法则-111-矩阵的秩是矩阵的一个矩阵的秩是矩阵的一个矩阵的矩阵的即矩阵的秩即矩阵的秩同时矩阵秩的概念可以清楚地去阐述线性方程组同时矩阵秩的概念可以清楚地去阐述线性方程组的存在性问题和向量组的线性相关性等等问题的存在性问题和向量组的线性相关性等等问题一般矩阵的等价标准形的本质一般矩阵的等价标准形的本质-112- 在矩阵在矩阵 A 中中, 任取任取 k 行行 k 列列, 位于这些行列位于这些行列交点上的元素按原次序构成的交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式

49、阶行列式, 称为称为 A 的的 . 132212210101A12002221122121001132121011例如例如等等等等, 它们都是它们都是二阶子式二阶子式.等等等等, 它们都是它们都是三阶子式三阶子式.每一个元素都是每一个元素都是一阶子式一阶子式.: 子式的最高阶数？子式的最高阶数？nmA -113- 矩阵矩阵A的非零子式的最高阶数的非零子式的最高阶数, 称为称为A的的, 记记做做r(A). .规定规定:零矩阵的秩是零零矩阵的秩是零. 510231202231A022031 0102120231 0502320231 0510312223 0512310221 2r A例如例如-1

50、14-(2) mn 的矩阵的矩阵 A , 其秩最大可能是其秩最大可能是?_r(A)min(m, n)(3) A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零,其秩至少是其秩至少是?_r(A)r(4) A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零, 且所有且所有 r + 1 阶都等于零阶都等于零, 所有所有 r + 2 子式都等于子式都等于_, A 的秩等于的秩等于_。如果。如果 A 的所有的所有 r 阶子式都等于阶子式都等于零零, 则则A 的秩最大可能是的秩最大可能是_。(5) r(A) ? = r(AT) _零零r(6) n阶矩阵阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是 r(A)

51、 =_。 r(A) = r(AT)n(7) A = O 的充要条件是的充要条件是 r(A) =_。0r - -1(1) 矩阵的秩是否惟一矩阵的秩是否惟一?_当然惟一当然惟一定理定理2.4.1-115-定理定理2.4.1设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A可逆的充要条件是可逆的充要条件是r(A)=n。解：解：2)1)(2(| aaA12或或 a0 例例1。求求如果如果设设AARaaaA,3)(,111111 -116-.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有

52、B, 0400230312 而而. 3)( BR例例2-117-如何求矩阵的秩？如何求矩阵的秩？！)0(000000000000000000 0 -118-(P58 定理定理2.4.2)-119-(2)BA irk 00)()()()( ArBrArBrkDDDD或或例如例如 A kkkkB2kr与前面同样的道理与前面同样的道理,第二种初等行变换不改变矩阵的秩。第二种初等行变换不改变矩阵的秩。-120-BA 21krr 00)()( BrBrDD或或 A kkkkB21krr 0)()( ArBrDkkkD)()()(BrArBrDkDkkkD ,0)()()(不同时为零不同时为零与与BrBr

53、ArDDD 例如例如因此矩阵的秩不变。因此矩阵的秩不变。，由于，由于 时结论成立，只需考虑时结论成立，只需考虑jirr BAjikrr (3)-121-(4) 以上证明了以上证明了初等行变换初等行变换不改变矩阵的秩，即不改变矩阵的秩，即 r(PA) = r(A) (P是初等矩阵是初等矩阵)，考虑转置，考虑转置 r(ATPT) = r(AT) 即知初等列变换也不改变矩阵的秩。证毕。即知初等列变换也不改变矩阵的秩。证毕。-122- 41461351021632305023A 00000840001134041461 例例3求矩阵求矩阵 A 的秩的秩r3)r( A建议只用行变换建议只用行变换阶梯形不

54、唯一阶梯形不唯一-123-例例4 4321,6063324208421221bA求求 和和)r(A|r)r(bAA 46063332422084211221A 00000100000120011221r, 2)r( A3)r( A-124- 用初等变换必能将矩阵用初等变换必能将矩阵A化为如下化为如下（也（也称称）：）： OOOEr等价标准形是唯一的。其中秩等价标准形是唯一的。其中秩(A)=r。(等价标准形定理等价标准形定理) 下面讨论对一个矩阵实施下面讨论对一个矩阵实施初等变换初等变换(既可用行变既可用行变换又可用列变换换又可用列变换)能把任意一个矩阵化成最简单的形能把任意一个矩阵化成最简单的

55、形状是什么状是什么?-125-例例5 97963422644121121112 00000310003011040101r43 cc 00000001000001000001 00000301003001040001 00000301003101041001214ccc 3215334cccc OOOEr形状为形状为-126-(1)A 与与 B 等价等价(3)存在可逆矩阵存在可逆矩阵 P 和和 Q 使得使得(2) r(A)=r(B)nmnnmmBQAP A , B 均为均为m行行n列矩阵，则以下条件等价：列矩阵，则以下条件等价：-127-QOOOEPr nmA(其中其中 P，Q 是可逆矩阵是可

56、逆矩阵)设秩设秩(A)=r，存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵 和和sPPP,21 OOOEQQAQPPPrts2112tQQQ,21使得使得或表述为：或表述为：-128- nmArnm,min)(0)1( )()()2(ArArT ),)()()()()3(可逆可逆QPAQrPArArPAQr )()()(),(max)4(BrArBArBrAr )()()(),(maxBrArBArBrAr )(1)()(是列向量是列向量bArbArAr 定理定理2.4.5-129-(2)的证明的证明:，设设rAr )(,QP则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵QOOOEPAr 使得使得TrTTPOOOEQA

57、，所以所以rArT )()()(TArAr -130-(4)的证明的证明:)()(BrArBAr 只证只证 OTA1r OTB2r阶梯形阶梯形的行数的行数1)(TAr 的行数的行数2)(TBr 阶梯形阶梯形考虑转置考虑转置 )()()()(BrArBrArBArBArTTTT )()(21的行数的行数的行数的行数TT )()(BrAr BAr 以上行以上行BAO1T2TO-131- npnnppnpbbbbbbbbbAAACCC2122221112112121,)()()()5(BrArBAr 证证BABBAc )()(BrArBArBBAr )(),(min)()6(BrArABr 证证pn

58、nmpmBAC 记记nniiiiiAbAbAbC 211)()(ArOArCArCr OACAc)()()()()(BrBrABrCrCrTTTT 定理定理2.4.6性质性质5-132-)()()(Sylvester)7(pnnmBArnBrAr 不等式不等式)()()()8(TTAArAArAr )()()(BrABrnArnm )()()(BrBArmArnm nBrArOBApnnm )()()(1)(01)(1)()()9(阶方阵阶方阵是是 nAnArnArnArnAr 性质性质2(A称为称为)(A称为称为)性质性质4质( (性性3 3) ) r r( (P PA AQ Q) )= =

59、 r r( (A A) )= = r r( (P PA A) )= = r r( (A AQ Q) )( (P P, ,Q Q 可可逆逆) )-133- 2)(01)(1)()(nArnArnArnAr设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 , 证明证明)2( n(1),)(nAr ,0 A,EAAA ,1可可逆逆 AAAnAr )(,1)( nAr,0 A0 EAAA(2),)()(nArAr ,1)( Ar 1)(nAr0)( Ar到到少少有有一一元元素素不不为为零零 AnAr1)(1)( Ar(3)0)(2)( ArOAnAr性质性质4的证明的证明：-134-?6556 BA5)()( ArA

60、Br 66 AB永远是奇异矩阵永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵有可能是非奇异矩阵 1001001001010001例例60-135-证：证：,| 0m nn mABmnAB已知且证明已知且证明()m mAB | 0AB )()(ArABr nmn ,minm 例例7-136-,2EAAn 满足满足阶方阵阶方阵设设nAErAEr )()(证明证明证证OEAEAEA )(2nEArEAr )()(EAEEA2)()( nErAErEAr )2()()(nAErAEr )()(nAErAEr )()(例例8-137-OPQtQOP ,96342321,33则则(A) t = 6 时时, 必有必有 r