无穷级数知识点介绍.doc

1、专转本专题知识点无穷级数数项级数定义1设给泄一个数列血,“2,“3,，叫，则和式Zfj + /）+ “3 + + %】+ （11）x称为数项级数，简称为级数，简记为为“”，即n=lx= +“2 +“3 + +%】+ n=l其中，第n项心称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前项和nSfl=i+u2+u3+. + un=ukA-l称为式（11）的前“项部分和。当八依次取1, 2, 3,时，部分和S,S“Sq,9 S构成一个新的数列S”,数列S,也称为部分和数列0C定义2若级数乞知的部分和数列S”有极限S =1lim S = S 9X0C则称级数艺知收敛，称S是级数为”的和，即71=1/1=1

2、x S = 丫 un = ux + u2 + u3 +. + un + n-lx如果部分和数列s“没有极限，则称为级数乞发散/r=l数项级数的性质8 00 00（1）若级数乞知和级数工叫都收敛，它们的和分别为S和6则级数工（” 匕）也=1/l = lW=1收敛，且其和为S 土 b（2）若级数Y冷收敛，且其和为S,则它的每一项都乘以一个不为零的常数k所得到的 n=oc级数YkUn也收敛，且其和为kS/r=l（3）在一个级数前而加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若级数工收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数71=1+%） + （%+.+ %） +.+ （和+“ + %）+“也收敛

3、，且与原级数有相同的和X（5）（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则liin/vn=O n=l18综上所述，几何级数的敛散性/?-!同Y1,收敛，其和心b 发散。x 1制柯级数若評敛散性发散数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一.正项级数正项级数：若级数 Y冷二+2+均+如+满足条件给n0（ = 123,），则称此 n=i级数为正项级数立理1正项级数收敛的充要条件是苴部分和数列s“有界X00定理2 （比较判别法）若级数和级数工叫为两个正项级数，且w若级数X叫收敛时，级数乞叫也收敛心71=1X8（2）若级数工叫发散时，级数工叫也发散/r=!x 1那么-级数工7的敛散性是0丿=1

4、23,）满足条件7?=1lim 也=I则（1）当/vl时，级数收敛（2）当/1时,级数发撒（3）当/ = 1时，无法判断此级数的敛散性二. 交错级数X 级数工（T）如（叫0,” = 1,2,3,.）称为交错级数?=1X泄理4 （莱布尼兹判别法）若交错级数工（一1）5“（色 0丿=1,2,3,.）满足下列条件?=1（1）Un n Mn+I（2）lim un = 0n-xx则交错级数工（T）叫收敛，其和Su,K余项的绝对值|/;,|w,1+1?=1三. 绝对收敛和条件收敛00 若级数工（一 1）”的各项为任意实数，则称级数为任意项级数n=ln-1X9000定义如果任意项级数亍心的各项绝对值组成的级

5、数机|收敛，则称级数知绝对收n-l/i-ln-1x00oc敛；如果|砒发散，而匕收敛，则称级数条件收敛n-in-l;r-ixx立理5如果级数匕绝对收敛，则级数工知必收敛 n-l/r-l立理6如果任意项级数工知满足条件(1) 当/1时，级数绝对收敛(2) 当/1时，级数发撒扇级数定义1如果】心)(比=123,)是定义在某个区间I上的函数，则称函数x工UnM = H1 (x) + u2(x) + + un(x) + (11. 4) n-1为区间I上的函数项级数定义 2 形如工一心)=6/() +dl(x-x0) + t/2(x-x0)2 + . + a,t(x-x()y + (11. 5) n-l

6、的级数称为(X-X。)的幕级数，其中均为常数，称为幕级数的系数。当 心=0时，级数cinxn =勺+ ilx +勺炉+ fx +(11.6)称为x的斥级数n-l定义3对于形如式(11.6)的幕级数若设lim也=/,贝IJlim=lim0C根据任意项级数判别法可知：(1)当/H0时，若/忖1,即忖 + = /?,式(11.6)绝对收敛若/忖1,即忖/?,式(11.6)发散若/忖=1,即|x| = y=/?，则比值判別法失效，式(11.6 )可能收敛也可能发散(2)当/=0,由于/卜| = Ovl,式(11.6)对任何x都收敛称R = L为幕级数式(11.6)的收敛半径定理1如果幕级数工 anx1

7、1 = a。+ axx + a2x2 +. + anxn + n-l的系数满足条件lim倒=/,则”鬥6丨（1）当Ov/v+s时，R = +（2）当/=0时，R = g（3）当/ = +qo时，/? = 0幕级数的性质设幕级数心）与心）的收敛半径分别是&与r2（/?,与念均不为0）,它们的和函数分别为5（X）与S2（X）1. （加法与减法运算）=（勺化）乂 =S）S2（x）0刀0（d”S）x”所得的幕级数心）仍收敛，且收敛半径是&与R2中较小的一个2. （乘法运算）XX（为4丿）（工仇疋）=。少0+（0也+5%）尤+（402 +M1 +。2%庆+（兔仇+4仇1 +40o）F + 71=（）；?

8、=0= S|（x）S2（x）两幕级数相乘所得的幕级数仍收敛，且收敛半径是R与/?,中较小的一个3. （微分运算）若幕级数的收敛半径R，则在（-R.R）内和函数S（x）可导，且有S3 = （%） = （%=叫严“（）且求导后所得的幕级数的收敛半径仍为R4. （积分运算） S (x)必= ( %” )dx anxlx = /r-0H-0/r-0且求导后所得的幕级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成幕级数1. 泰勒级数设/（X）在x = x0处任意阶可导，贝IJ幕级数Y 7 1（JGv-x0）M称为/（X）在x = x0处的泰 勒级数2. 麦克劳林公式x f （叫当心=0时，级数工称为/（X）的麦克劳林级数3. 几个常见的麦克劳林展开式1 x=Yx;xe(-lJ)1 一 X J/-01 x乙-=工(-1 r *,x (- ij)ti .2x】1 + x