李心灿(给中学教师版-2007-10-16)数学与创新思维

1、数学与创新思维数学与创新思维北京航空航天大学北京航空航天大学 李心灿李心灿 恩格斯指出：恩格斯指出： “ “一个民族要想站在科学的最高峰，就一一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。刻也不能没有理论思维。”KL米斯拉米斯拉指出：指出：“数学是代表人类抽象思维方面数学是代表人类抽象思维方面的最高成就和胜利。的最高成就和胜利。”著名的数学家著名的数学家A赛尔伯格赛尔伯格指出：指出：“数学的内容一定要重新斟酌。数学的内容一定要重新斟酌。应该增加一些涉及如何发现并令人应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。振奋的内容。”塞尔伯格 因此我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学

2、生的创新思维。 著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法归功于归纳方法牛顿二项式定理和万有引牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。力原理，就是归纳方法的成果。”“在数在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。类比。” 著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是靠归纳取得的。” ” 著名数学家沃利斯著名数学家沃利斯说：说：“我把（不完全的）我把（不完全的）归纳和类比当作一种很归纳和类比当作一种很好的考察方

3、法，因为这好的考察方法，因为这种方法的确使我很容易种方法的确使我很容易发现一般规律发现一般规律” 归纳的方法这是显然的。但是（逆向思维）这是显然的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？和吗？60=7+53（7和和53都是素数）都是素数） . 一直到现在还没有一个人推翻它，但也一直到现在还没有一个人推翻它，但也还没有一个人证明它。还没有一个人证明它。 挪挪威数学家威数学家布朗布朗（V.Brun）用）用“筛法筛法”证明了证明了 宋朝数学家杨辉宋朝数学家杨辉1261年写的年写的详解九章算法详解九章算法*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾就

4、解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的这个发现，后来被刊登在他的这个发现，后来被刊登在春燕春燕杂志上。杂志上。.2nn个奇数的和等于前33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。数学式子表示出来，而且试证明它。，三边形内角和)23( )24( 四边形内角和问题：下述结论是否成立？问题：下述结论是否成立？?)2(

5、nn边形内角和等于. )(, )1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解解2)1 (1)(xxf .,)1 (! 3) 1()(,)1 (! 2) 1()(43)4(32xxfxxf 从而归纳出nnnxnxf)1 ()!1() 1()(1)(并且，有任意阶的导数设函数例)(:2xf2)()(xfxf. )()(xfn求解解因为因为32)( 2)()(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf ,)( ! 3)()( 32)(42xfxfxfxf .)(!)(1)(nnxfnxf因而归纳得到 著名天文学、数学家开普勒著名天文学、数学家开普勒说：说： “我珍视类比胜于任何我珍视类比胜于任何

6、别的东西，它是我最可信赖的别的东西，它是我最可信赖的老 师 它 能 揭 示 自 然 的 奥老 师 它 能 揭 示 自 然 的 奥秘秘。” ” 著名数学家、教育学家波利亚著名数学家、教育学家波利亚说：说：“类比是一个伟大的引路人，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题几何中的类比问题。”1xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz(n)(n)(n-1)(n-2)()u v)u vu v, u v)u v2u vu v , u v)u v3u v3u v u v , (1) u v)

7、u vuvu v .2!kn knn nnC u 因为 （从而可以归纳出（( )0.nkkv莱布尼茨公式莱布尼茨公式将他们比较可以看出将他们比较可以看出:把把中右端中右端K次幂换成次幂换成K阶导数阶导数(零阶导数理解为函数本身零阶导数理解为函数本身),把把中中u+v换成换成uv,n次幂换成次幂换成n阶导数既为阶导数既为. (拉格朗日拉格朗日17岁岁) 牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式1222332230()()2()33()Cnnkn kknkuvuvuvuuvvuvuu vuvvuvuvZZ= XX+YY52=32+42Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元97

8、2年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994)欧拉猜想：欧拉猜想：下述方程没有整数解：下述方程没有整数解：4444wzyx没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：44442061567318796760153656392682440后来人们又发现了一个更简单的例子：444442248141456021751995800今天我们能容易地用一个简单的程序寻找反例在没有计算机的年代，很难举出这样的反例！ 特别应该将牛顿特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林莱布尼茨公

9、式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。 若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f f( (x) )在一个区间的在一个区间的定积分与其原函数定积分与其原函数F F( (x) )在区间边界的值之间的在区间边界的值之间的联系；联系；通过类比，就可将格林公式通过类比，就可将格林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上的二重积分与其上的二重积分与其“原函数原函数”在区域边界在区域边界L L的的曲线积分之间的

10、联系；曲线积分之间的联系；通过类比，就可将高斯公式通过类比，就可将高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPS 视为，它建立了三元函数在一个空间区域视为，它建立了三元函数在一个空间区域 上的三重积分与其上的三重积分与其“原函数原函数”在区域边界在区域边界曲面曲面S S上的曲面积分之间的联系；上的曲面积分之间的联系；通过类比，就可将斯托克斯公式通过类比，就可将斯托克斯公式RdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRLS 视为，它建立了三元函数在一个空间曲面视为，它建立了三元函数在一个空间曲面S S上的曲面积分与其上的曲面积分与其“原函数原函数”在区域边界

11、曲线在区域边界曲线L L上上的曲线积分之间的联系。的曲线积分之间的联系。 若引入若引入“外微分运算外微分运算”，就可将格林公，就可将格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿- -莱布尼茨公式的高维推广莱布尼茨公式的高维推广. . 并都可以用一个并都可以用一个简单的形式统一表示为简单的形式统一表示为DDwwd上的积分边界在区域的低一维空间的“微分形式”上的积分等于低一次的在区域一次的“微分形式”此公式深刻地表明：高DDAHKCBDEFGILFBCABD ACKH, CILEGFBA,BDLIFBC,2GFBA正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形正正方方形

12、形矩矩形形 ,ABD2BDLI因此因此同理同理两式相加即得定理。两式相加即得定理。ABCbcaa-b弦图ababaabccSABED=2y)(x21DE)AD(AB21SBCE +SABC +SDCE 他证明时他证明时,只是一位议员只是一位议员,是他和其他议员讨论数学是他和其他议员讨论数学问题时想出来的问题时想出来的,发表在发表在新英格兰教育杂志新英格兰教育杂志上上 。2z212xy2 思考：思考：他的证明对否？好不好？他的证明对否？好不好？caABBCBD22 cbABACAD22 BD+AD=AB= c 高 斯 被 誉 为 ：高 斯 被 誉 为 ：“能从九霄云外的高能从九霄云外的高度按某种

13、观点掌握星度按某种观点掌握星空和深奥数学的天才空和深奥数学的天才”和和“数学王子数学王子”。 第一个证明是用归纳法；第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯引理；第三个和第五个证明是用高斯引理；第四个证明是用高斯和；第四个证明是用高斯和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高次幂剩余理论。第八个证明是用高次幂剩余理论。他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其后后19世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴

14、德金、希尔伯特等人都给艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新的证明并发展了该理论。出了新的证明并发展了该理论。dxxx231xydydxydxx222 02)(22 xydydxyxy2xQyP xydydxydxx222 )(2)(12xyxydxdy 得知它是齐次微分方程，从而用齐次微得知它是齐次微分方程，从而用齐次微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；xydydxydxx222 yxyxdxdy1221 化化为线性微分方程，然后用线性微分方程的为线性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出其通解。解法求出其通解。高等数学一题多解高等数学一题多解200200例选编例选编

15、（产品：手表、收音机、电视机等）（产品：手表、收音机、电视机等） 一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨雨伞伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。 后来有一位聪明的人劝她：后来有一位聪明的人劝她：老太太，你老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿

16、家顾客盈门，哪一天你都大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。这么一说，老太太生活的色这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。彩竟焕然一新。一则小一则小故事故事: :（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。虑逆推。（2）如果遇到某些问题直接解决困难，想）如果遇到某些问题直接解决困难，想法间接法间接 解决。解决。（3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨可能性发生困难时，转而探讨不）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。可能性。 下面举几个高等数学中的例子下面举几个高等数学中的例子:求解微分方程：求解微

17、分方程：)2(12yxydxdy若将若将 x 视为自变量，视为自变量，y 视为未知函数，解此方视为未知函数，解此方程就比较困难。因为它既不是可分离变量方程就比较困难。因为它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程，也不是全微分方程，程，也不是齐次方程，也不是全微分方程，也不是线性方程和伯努里方程。也不是线性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思维，即反过来将但是，如果利用逆向思维，即反过来将 x 视视为未知函数为未知函数, y 视为自变量，将方程变为视为自变量，将方程变为)2(2yxydydx它就是未知函数x 的线性微分方程。很容易求出其通解。 ) 1(21222Ceyexyy若直接解决困难，若直

18、接解决困难，想法间接解决。想法间接解决。?!limnnnn例例1 1： 试求试求解法：用间接的方法，即转化为判断级数解法：用间接的方法，即转化为判断级数1!nnnn11)11 (1limlim1enuunnnnn.!1收敛故知级数nnnn级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是0!limlim nnnnnnu解法解法: :利用夹逼定理利用夹逼定理!1!11!1 , ,nnnnnnnnnnnnnnn 即即11! lim0, lim0, lim0.nnnnnnnnn而故而故 欧几里得欧几里得几何原本几何原本第一卷中给出第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，

19、（前了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是三个是作图的规定，第四个是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亚里士多德公理），符合亚里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。且所肯定的事实也不明显。 而且只有第而且只有第5 5公设涉及到无限公设涉及到无限, ,这是人们经验之外的东西这是人们经验之外的东西. . lm0180 lml欧欧高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829) 鲍耶鲍耶 （18321832）l罗罗

20、“在一个平面上，过直线在一个平面上，过直线AB外一点至少可以作一条直线与外一点至少可以作一条直线与AB不相交不相交”。 1. 仅可作一条（第五公设）仅可作一条（第五公设） 欧氏几何；欧氏几何； 2. 可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这就无异于证明了第五公设。命题，这就无异于证明了第五公设。 可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不同的新的几何体系

21、。又和欧氏几何不同的新的几何体系。l黎黎 现在人们把现在人们把“罗巴切夫斯基几何与黎曼罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为几何统称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。 黎曼黎曼(1854)(1854)“19世纪最富启世纪最富启发性和最值得注意的成就是发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现非欧几里得几何的发现”。 非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数学分支的产生，它的重要意义还在于使数学学分支的产生，它的重要意义还在于使数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使哲学的研究进入一个

22、崭新的历史时期，它使人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如，人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如，它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙的几何模型。的几何模型。 ( (太平洋太平洋) ) 欧几里得：欧几里得： 三角形内角和三角形内角和 = = 两直角两直角 , , 2r=c ， a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角 , , 2rc ， a2+b2 两直角两直角 , , 2rc ，a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧后

23、来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：几里得几何概念的基础之上。例如：18441844年格年格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。18711871年克来因年克来因 在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24, 022, 12 那么，一般五次及五次以上的代数方程是那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式

24、解法呢？否也存在根式解法呢？ 这个问题吸引着众多的数学家，他们相这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。两百多年的努力都未能找到解法。韦达韦达拉格朗日拉格朗日 经过无数次的失败之经过无数次的失败之后后,直到直到19世纪初，一些数世纪初，一些数学家产生了逆向思维：首学家产生了逆向思维：首先是鲁非尼（先是鲁非尼（Ruffini）和）和拉格朗日，接着是阿贝尔拉格朗日，接着

25、是阿贝尔(Abel)，把问题的提法倒，把问题的提法倒了过来，去思考它的反问了过来，去思考它的反问题：一般五次及五次以上题：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。的方程不存在根式求解法。阿贝尔阿贝尔(Abel) 几何的三大难题：几何的三大难题：1. 1. 三等分任意角三等分任意角; ;2. 2. 化圆为方化圆为方; ;3. 3. 倍立方倍立方. . ( ( 只用圆规、直尺只用圆规、直尺) ) 从已有思路的反方向去思考问题。顺推不从已有思路的反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决解决; ;正命题研究过后，研究逆命题；探讨正命题研

26、究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，往往能起到积极作用。往往能起到积极作用。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。大梁大梁（诸葛亮草船借箭、20只船）牛顿牛顿：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。G.波利亚：波利亚：要想成为一个好的数学家，要想成为一个好的数学家，你必须是一你必须是一个好的猜想家。个好的猜

27、想家。牛顿牛顿波利亚波利亚 数学猜想是指依据某些已知事实和数学知数学猜想是指依据某些已知事实和数学知识对未知量及关系所作出的一种似真的推断，识对未知量及关系所作出的一种似真的推断，它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数它是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要思维形式，它是科学假说在学发展的一种重要思维形式，它是科学假说在数学中的具体表现。数学中的具体表现。 数学猜想作为一种数学潜形态数学猜想作为一种数学潜形态, ,它常常是数它常常是数学理论（定理）的萌芽和胚胎，它往往是数学学理论（定理）的萌芽和胚胎，它往往是数学发展到积累了大量资料，需要进行理论整理，发展到积累了大量资料，需

28、要进行理论整理，探索其理论内部的矛盾规律这一阶段上产生出探索其理论内部的矛盾规律这一阶段上产生出来的，数学的创造过程与其它知识的创造过程来的，数学的创造过程与其它知识的创造过程一样。你先得把观察到结果加以归纳、类比，一样。你先得把观察到结果加以归纳、类比，通过猜想通过猜想。立方体立方体方锥方锥三棱柱三棱柱三棱锥三棱锥五棱柱五棱柱五棱锥五棱锥著名数学教育家波利亚（Polya）说：“在前辈数学家中，欧拉对我的影响最大.主要原因在于，欧拉做了一些跟他才能相当的伟大数学家从没做过的事，即他解释了他是如何发现他的结果的.对此，我是如获至宝.”欧拉关于多面体的猜想八面体八面体“塔顶塔顶”体体截角立方体截角

29、立方体猜想猜想:是否面是否面(F)的数目越多的数目越多,顶点的数顶点的数(V)越多越多? 猜想猜想:是否边是否边(E)的数目越多的数目越多,面数面数(F)越多越多?顶点顶点(V)也越多呢也越多呢?F + V = E + 2F + V = E + 2由归纳得出由归纳得出:F + V = E + 2F + V = E + 2 F + V = E + 2nEE1VV1nFF (F+n-1)+(V+1)=(E+n)+2 从而从而 F+V=E+2截角立方体的推广截角立方体的推广: nEE1nVV1FF (F+1)+(V+n-1)=(E+n)+2 从而从而 F+V=E+2显然有显然有 V = E (*) 角角(顶点顶点) = 边边(棱棱) 将将(*)改写为改写为(按维数增加的顺序按维数增加的顺序) V - E + 1 = 1 (*) 顶点数顶点数 边数边数 多边形内部面数多边形内部面数 (0维维) (1维维) (2维维) 现将现将 F+V=E+2