6.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版

1、学理科到学而思暑期班第六讲漫画释义代数式7级 因式分解的 概念和基本方法代数式10级因式分解的常用方法及应用代数式11级 因式分解的高端方法及 恒等变形 A因式分解的高端 方法及恒等变形满分晋级小人物与大人物秋季班第五讲秋季班第六讲黃才ifltr我一定玄威助！程=定*曜詢一牛傅玄的話家耳从令住底aiffiftrrw主通读定IfiSfflntJtFTIfiSfflntJtFT 一庫盍廈功歸！J J良豪:科追蛙胡无詡*换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时,应用换元法能够起到简化计算的作用.【引例】分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2

2、x2 【解析】令x2 4x 8 =u，原式=u2 3xu 2x2 =(u x)(u 2x)又 Tu =x2 4x 8二原式=( 4x 8 x)(x? 4x 82x)22=(x 5x 8)( x 6x 8)=(x 2)(x 4)( x2 5x 8)【例1】分解因式:x2-x -3 x2-x -5 -3;x2 x 1 x2x 2-12; x 1 x 3 x 5 x 715 .【解析】解法一：令x2 -x -4二y，则原式二 y -1 y 1二 y-2 y 2=x2 -x -6 x2 -x -2二 x 1 x2 x 2 x3解法二：令x2 -x -3二y，则原式=y y -2 -32二 y 2 y

3、3二 y 1 y -3=x2 -x -3 1 x2 -x -3 -32 2=xx2 xx -6= (x+qx3);令x2 x 1 = y，贝U原式=y y 1 -12=y2 y -12=y -3 y 4=x2 x _2 x2 x 5=x-1 x 2 x2 x 5 .备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进 行计算，会节省计算量.下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了.原式一 |.：x 1 x 73 x 1 : 15r 2n 2=x 8x 7 x 8x 1515,o设x 8x y，则原式=y y 815=y2 8y 15 = y 3 y 5=X2 8

4、x 10 X2 8x 122=x 2 x 6 x 8x 10 .【例2】分解因式： 6x -1 4x -1 3x -1 x -1 9x4 16 6x_1 2x -1 3x 1 x -125【解析】原式=6x2-7x 1 12x2-7x 19x4，设6x27x 1=t ,” 2 4 * 2 2 2 2原式=t 6x 亠t i 亠9x = t 亠3x = 9x -7xT原式二 6x -1 4x-2 6x 2 4x -4 25= 24x2 -16x 2 24x2 -16x-8 252 2 2 2设 24x -16x 2 =t，原式=t t -1025 二 t-524x-16x-3基本方法示例剖析拆项

5、添项法 :为了分组分解，常常采用拆项添项的42例如：因式分解：x 3x +1方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以42丄2=x -2x +1x应用公式常用思路：1、对于按某一字母降幕排列的三项式，222= (x2 -1)-x2=(X2 _1_xx2 _1 +x )拆开中项是最常见的2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当典题精练例题精讲【例3】因式分解：若x y - -1，则x45x3yx2y8x2y2亠xy2 5xy3 y4的值等于（）A 0B -1C 1D 3若点P的坐标a, b满足a2b2 a2 b2 10ab 16=0，求点P的坐标.【解析】 x4 5

6、x3y x2y 8x2y2 xy2 5xy3 y4初二秋季第6讲提高班教师版2 2=a a a 12 a a 1=a 2 a2 a 1 .解法四：原式二a3 -1 3a2 3a 3=a -1 a2 a 13 a2 a 1=a 2 a2 a 1 .【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解.【引例】【解析】【解析】2 2-x y4224二x 2x y y2 2 2 2=x y - xy=x2 y2 xy x2 y2 -xy2 2= (4x -4x 1) _(y -4y 4)2 2=(2x-1) -(y-2)=(2x -1 y -2)(

7、2x -1 -y 2)=(2x y -3)(2x -y 1)x4 2x3 3x2 2x 14322=x 2x x 2x 2x12二x(x 1) 2x(x 1) 12二x(x 1) 12 2=(x x 1)法二 x42x33x22x 1=x4x3x2x3x2xx2x 1=x2 x2 x 1 x x2 X 1 厂X2 X 1 = x2 x 1原式原式法【例4】分解因式：=x3 x y r：；4x2y x y xy x y4xy2 x y r：；y3 x y322223n=_ (x +x y )+(3x y +3xy )+(xy +y )+xy I-x2 x y 3xy x y y2 x y xy2

8、2=x 2xy y2F+y)=1故选C .原式=a2b2 8ab 16 a2 b2 2ab=02 2=ab 4 a b =0.ab= -4, a b=0a=2, b= -2 或 a= - 2, b=2点P的坐标为2, - 2或-2, 24224x 亠x y 亠y2 24x _4x_y 亠4y-3 x4 2x3 3x22x1【例5】分解因式： 4x3 -31x 15 x3 2x2 _5x -6 3x3 7x2 4 x x 4x 3x 3【解析】原式=4x3 -x - 30 x 15=x 2x 1 2x-1 j15 2x -12=2x -1 2x x 15=2x -1 2x -5 x 3原式=x3

9、 x2 亠i x2 -5x 62=x x 1 x-6 x 1.2=x 1 x x - 6=x 1 x 3 x -2 法一：原式=3x3 - 6x2 亠 i x2 - 4=3x2 x 2 i亠 ix2 x 2=x 2 3x2 x-2=x 1 x 2 3x -2 法二：原式 二 3x3 3x2 亠4x24= 3x2 x 14 x -1 x 12=x 1 3x 4x -4=x 1 x 2 3x -2法三：原式二 3x3 -2x29x2 -42=x 3x -2 I亠3x 2 3x -2=3x -2 x2 3x 2=x 1 x 2 3x-2法一：原式 =(X4 - x3 - x2) (3x2 3x 3)

10、= x2(x2 x 1) 3(x2 x 1)= (x23)(x2 x 1)4232法二：原式=(x3x ) (x 3x) (x 3)2 2=(x 3)(x x 1)【探究对象】 对拆项、添项法的探究#题型三：恒等变形【探究1】因式分解：1亠b _a2 x2 _abx3【解析】 原式=1 -ax ill ax - bx2 .点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解：a3 3a2 3a b3 3b2 3b 2【解析】原式=a b 2 a2 -a

11、b b2 a b 1 .点评：此题前三项比完全立方公式少了1,四五六项比完全立方公式少1,所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练46【探究3】因式分解：x 2【解析】 原式=x2 8 4x x2，8-4x点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到【备选例题】x3 6x211x 6【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘原式二 x3 x2 亠i5x2 5x 亠 i

12、6x 6 =x2 x 1 5x x 1 6 x 1 = x 1 x 2 x 3点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为x ix2 5x 6，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止初二秋季第6讲提高班教师版-8 =【引例】 矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm,且x3 x2y _xy2 y3 =0，求矩形的面积. 【解析】由题得2(x y) =28，则x y =14.3223-x 亠 x y xy y 02 2 x2 (x y) y2(x y) =0 (x y)(x2 y2)

13、=0(x y)(x y)(x y) =0/ x 亠y =14x - y =0-x = 7 , y = 7S矩=xy =49【例6】 设x - 2z=3y，试判断x2 -9y2 4z2 4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值； 否则，请说明理由；证明：对于任意自然数n, 3“2n卡+3n 2n 定是10的倍数；已知：x2 bx c ( b、c为整数)是x4 6x2 25及3x4 4x2 28x - 5的公因式，求 b、c的值.【解析】 把x2 -9y2 4z2 4xz进行因式分解得：x 2z ?9y2= x 2z 3y x 2z-3y把x 2z=3y代入式子得原式是定值为0;原式二 3n

14、2 3 2n 2 2n=3n 32 1 -2n 22 1=10 3n -5 2n“ nn_1=10 3 -10 2. n -2n -2 i nn 亠口,、一3232 一一定是10的倍数； x4 6x2 25 =X4 - 10 x2 25 -4X2=(x +5)-(2x 22 2二 x 2x 5 x - 2x 54242 x 6x 25及 3x 4x 28x 5 有公因式- 3x4 4x2 28x 5 二 x2 mx 5 3x2 nx 1|m 亠5n =28n =6即 3x4 4x2 28x 5 二 x2 -2x 5 3x2 6x 142422二 x 6x 25及 3x 4x 28x 5 的公因

15、式为 x -2x 5即 a = 2 , b = 5 .【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法.【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：33223a _ba _3a b 3ab _b333(a b c)(a b c -ab-bc-ca)=a b c -3abc【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究333、一201120112011【探究1】右ab c=O, a b c=0,求证：a b c = 0.【解析】由a b c =0可知(a b)3 = -c3,故有 a3 3a2b 3a

16、b2 亠b3 - -c3 二 a3 亠3a2b 3ab2 - b3 c3 =0 .又 a3 b3 c3 =0，故 3a2b 3ab2 =0 , 即卩 ab(a b) =0 .2011i 20112011小右 a=0，则 b 二-c , a b c 0 ;2011 2011 2011右b =0 ,同理有a b c =0 ;2011 2011 2011右a b = 0 ,则c=0 ,同理也有a b c =0 .【探究2】已知x y z =3，且(x -1)3 (y -1)3 (z -1)3 =0，求证x, y, z中至少有一个为1.【解析】 设 x-1 =a, y-1 =b, z-1 =c，贝U

17、a b，c=0,a3，b3，c3=0.由 a3 b3 c3 -3abc =(a b c)(a2 b2 c2 _ ab -bc -ca)可知， abc = 0故a,b,c中至少有一个为 0, 即卩xT,y-1,z1中至少有一个为 0故x, y, z中至少有一个为 1.从而可知,445b c =4-2 卫36186718【解析】原式中的式子太多，不妨采用换元法设mX二a,my二b,mX二c，则要证明的结论变为a3 b3 c3 - 3ab 0，已知条件变为a b c = 0.等式左边的这个式子我们非常熟 悉，可变形为(a c)(a2 b2c2 -ab -be -ca)，而a b 0 ,故原式得证.【

18、探究 3】若 a b c =1，a2 b2 c2 =2， a3 b3 c8，3求：abc的值；a4 b4 c4的值.【解析】 由 a b c =1 可知，a2 b2 c2 2ab - 2bc - 2ca =1_ 2 2 2 1又 a b c =2，故 ab bc ca = 2而(a b c)(a2 b2 c2 _ab _bc _ca) =a3 b3 c3 _3abc，故 a3 b3 c3 -Babe =5 .2又 ab3 cW，故 abc 冷. a4b4c4=(a2b2c2)2-2a2b2-2b2c2- 2c2a2=4 - 2(a2b2 亠b2c2c2a2),2 2 2 2 2 2 2 2 2

19、 2 1a b +b c +c a =(ab+bc+ca) -2ab c-2abc -2a bc= -2abc(a+b+c)4-2 1 =1836阅读：把多项式 x2 -3x -10分解因式得x2 -3x -10 = x -5 x 2，由此对于方程2“rx -3x-10=0 可以变形为 x-5 x，2i=0，解得 x=5 或 x 二2 .【备选例题】 设 x yz =3m，求证：(m x)3 亠(m -y)3(m -z)3-3(m -x)(m -y)(m z)= 0 .【例7】观察多项式 X23X_10的因式 x5、 x亠2，与方程 X23x10=0的解x = 5或 x=-2之间的关系可以发现

20、，如果x=5、x = 2是方程X2_3X_10=0的解，那么X -5、 X 2是多项式x2 _3x_10的因式.这样，若要把一个多项式分解因式，可 以通过其对应方程的解来确定其中的因式.例如：对于多项式X3 -3X 2 .观察可知，当x =1时，X3 -3x 2 =0 ,则 X3 -3XX -1 A，其中A为整式，即x_1是多项式X3_3X2的一个因式，若要确定整式A，则可用竖式除法.x2 x 2X -1 X30 x2 3x 2X3 x2x2 -3x2X X2x+2-2X 20 X3 -3x 2 = x -1 X2 x -2 = x -1 x -1 x 2 = x -1 X 2 .填空：分解因

21、式X2-X-2 = 观察可知，当x = 时，X3 x2 -5x 3 =0 ,可得 _是多项式X3 X5X 3的一个因式.分解因式：X3 X5X 3； 已知：X3 mx-2 = x 1 B，其中B为整式，则分解因式：X3 mx -2 =_.（海淀期末）【解析】 X 1 x-22 1; X -1 ; X -1 X 3/ 、 2（x+1$（x_2）【点评】此题是因式分解方法中因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到， 但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可训练1.思维拓展训练(选讲)【解析】若 a , b 为有理数，且 2a2 - 2ab b2 4a 4 -0

22、 ,则 a2b - ab2 二 _求a2 4b2 -2a -4b 3的最值.(北大附中测试题) 2a 2ab b 4a 4 = a 2ab b a 4a 4 =(a b) (a 2) = 0 ,所以 a =b = -2，则 a b ab - -16 2 2 2 2 a 4b 2a -4b 3 =(a -1)(2b -1) 1 1 ,所以有最小值 1 训练2.【解析】计算 99 9 99 . 9 199 9n个n个n个分析：可将 1949用10川0 99 9表示.n个n个n个解法一：原式 二淫屮，岡驴 9jl9 1叫単n个n个n个n个.n二 99 9(999 1)10n个n个=102n解法二：原式 =9922 91|9 1n个n个= (09 9 1)2n个2=(10n )=102n备注：9H9 =10n -1是一种常用的变形又如33 3 J 10n-1 n 个n个3训练3.因式分解x4 -23x2 V【解析】x4- 23x2亠1 = x42x21 - 25x2= (x21)2 - (5x)2 =(x215x)( x21 - 5x)训练4.小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a岁和b岁，并且a2，ab=117，试求王琼和王倩的年龄.【解析】I a2 ab =117 a(a+b)=117=3X313 a为王琼的年龄有实际情况得a =9 ,a b =13王