对面积的曲面积分教案设计

1、对面积的曲面积分教案设计课题对面积的曲面积分课 时1课时教 学 目 的 和 要 求教学目的：使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和” 和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。 将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分 的计算方法。教学要求：1. 了解对面积的曲面积分的概念；2. 理解对面积的曲面积分的性质；3. 掌握对面积的曲面积分的计算方法；重 占 八、 难 占 八、对面积的曲面积分的计算教 学 方 法讲授(板书)教 学 内 容一、概念的引入前面介绍了第一类曲线积分p(x，y ds,物理背景是

2、曲线型构件的质量，在此问题中右把曲线改为曲面，线密度改为面密度，右求曲面的质量，该怎么做？例1右曲面三是光滑的，它的面密度为连续函数P(x,y, z)，求它的质量。解：“分割”：用网格线分割曲面匕为,弋,川门Sn,“近似”：戸AS;n“求和” ：V i, i, i 飞;i“取极限”：Ijm迟P占,冲Si .- i 4二、对面积的曲面积分1.定义：设曲面 匕是光滑的，函数 f x,y,z在匕上有界，把 二分成n个小块.Si（厶Si同时也表示第个小块曲面的面积），设点i, i, i为厶S上任意取定的点,n作乘积f（,q,q jASj，并作和送f（,q,G）AS。如果当各小块曲面的直径的1i A最大

3、值， 0时，这和的极限总存在,则称此极限为函数f x, y, z在曲面三上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为f x, y, z dS，即f X, y,z dS =limf ：, i,如果是闭曲面，积分号写成 2.存在条件：f x, y,z在光滑曲面匕上连续。3.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质 积分区域可加性：若 二可分为分片光滑的曲面 二和三2f x, y,zdS 二 f x, y, zdS 亠 i if x, y,z dS ；IXS线性性质：设k1，k2为常数，则鸭 f x,y,zk2g x,y,z dS特别地若f x, y,z =1，匕的面积S二dS。对称性：对面积的曲

4、面积分有类似于三重积分的对称性，设2对称于xOy （或yOz或xOz）坐标面。若f x, y, z关于z （或x或y ）是奇函数，贝U i if x, y, z d 0 ；若 f x,y,z 关于 z （或 x或 y）是偶函数，.f x, y,z dS =2. f x, y, z dS，其1中Z1是二位于对称坐标面一侧的部分。三、计算方法一投：将曲面投影到坐标面得投影区域；二代：将曲面方程代入被积函数；三换：换面积元dS ;按照曲面的不同情况分为以下三种:1.若曲面 Z : z = z x, yf x,y,z dS 二 f x, y, z x, y 一. 1 ZxZydxdy ;IDxy2.若

5、曲面 z : y = y x,zH f x, y, z dS 二 f x, y x, z , z、1 y： y；dxdz ；龙Dxz3.若曲面 Z : x = x y,zf x,y,z d f x y,z ,y, z . 1 xj； x；dydzIDyz四举例” ， 2 2 2 2例：求球面x y - z =玄在h_z_ a部分的质量 0 ： h _ a，已知球面上一点的1面密度为该点竖坐标的倒数Fix, y,z =z1解：；M ： Il ix, y, z dS = dSz球面二在 xOy 平面的投影：x2 y2 乞 a2 -h2， z =a2 -x2 -y2， h z a，!2 2 2 ,a

6、 -x -ydxdy1M = dS 二 n 1 zDxy - a( 、2 f卜x+-y/ 2 2 2 Ija _x -y 丿1/ 2 2 2 Wa -x -y 丿dxdydS = J1+z：dxdy2_a2-h2aa例2求Q xyzdS,匕：x=0, y =0,z = 0,x y z=1所围立体的边界的曲面。 解：N ：x = 0, y - 0, z-0, y z-1，dS = . 1 xx；dydz =1dydz二2 ： y = 0,x _0,z _0, x z 乞1dS 1 yx yz dxdz = Idxdz匕3 ：Z =0,x _0, y _0,x y 叮dS = . 1 z： z：d

7、xdz =1dxdyZ4: z =1 - x-y 在 xOy 平面的投影区域 x_0, y_0,x y_1dS = 1 z； z：dxdy = 3dxdyff xyzdS= ffxyzdS = 0 0 03 11 xy 1 - x - y dxdy二 3 0dx0xy xydy 打20例 3 求口 z2dS，匕:x2 y2 z2 = a IDxy解：把曲面二分为和i2,: z - a2 -x曲面Z在xOy平面的投影Dxyz2dS 二z2dS =2 z2dS匚x, y x2y2-x2-y2j1+z；+z：dxdy=2a ! a2 -x2 -y2dxdyDxy=2a.：d丁 ： a2 _ r2d2 p(222y , -2: z 二 _ axy辽a2/课 程 总 结 分 析首先通过求光滑曲面的质量，引入对面积的曲面积分的概念，介绍了“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想，然后阐述对面积曲面积分的存在条件和性 质，最后介绍了对面积曲面积分的计算方法。本早 思 考 题1. 对面积曲面积分存在的条件是什么？2. 对面积的