第5章 相似性原理和量纲分析

1、第五章第五章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析 51 流动的力学相似流动的力学相似 52 动力相似准则动力相似准则 53 流动相似条件流动相似条件 54 近似的模型试验近似的模型试验 55 量纲分析法量纲分析法 第一节 流动的力学相似 两个几何图形对应边的比例相等 在两个几何相似的空间中的流动系统，若 各对应点和各对应时刻，表征流动过程的所有 物理量各自互成一定的比例，则这两个流动系 统力学相似。 几何相似几何相似 运动相似运动相似 动力相似动力相似 原型原型 312 123 l llll k llll B l1 l2 l3 A l1 l2 l3 模型模型 长度比例尺长度比例尺 原型几何特

2、征尺度原型几何特征尺度 模型几何特征尺度模型几何特征尺度 一、几何相似 2 2 2 l lA k Al 面积比例尺 3 3 3 l lV k Vl 体积比例尺 几何相似只有一个长度比例尺，几何相似是力学 相似的前提 二、运动相似 v流场中所有对应点上对应时刻的流速方向相同大小成比例。 o 12 3 v1 v2 v3 A o 12 3 v1 v2 v3 A 系统系统1： t l v 系统系统2： t l v 312 123 v vvvv k v vvv kv速度比例尺 时间比例尺 l t v ktl v k tl vk 加速度比例尺 2 / / vv a tl kkavt k av tkk 体积

3、流量比例尺 运动粘度比例尺 角速度比例尺 33 2 3 / / V Vl qlv Vt qklt kk k qltk 22 2 / / l lv t klt kk k ltk / / v l kvl k v lk 运动相似只有一个速度比例尺，运动相似是实验 的目的 三 动力相似 p i F pi F FFW k FFWF kF力的比例尺 模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的各种力 彼此方向相同，大小互成比例 pi FFWF 、 、分别为总压力、切向力、重力和惯性力 动力相似是运动相似的保证 密度比例尺 22 l iFF iaVv F a Vkk k F aVk kk k 做流体力学的模

4、型试验时，经常选取密度比例尺，长度 比例尺和速度比例尺作为基本比例尺，可由它们确定所 有动力学量的比例尺 力的比例尺 力矩（功、能）比例尺 功率比例尺 22 Flv kk k k 32 lv MFl MF l kk kk k k MFl 23 PFvlv PF v kk kk k k PFv 压强（应力）比例尺 动力黏度比例尺 2 / / p F pv pA FA kp kk k pFAk lv kk kk k k 第二节 动力相似准则 牛顿相似准则：要保证两种流场的动力相似，它们的牛 顿数必定相等。 牛顿数的导出： 22 2222 22 / / 1 F lv FV dvdt FVdv dt

5、k k k k FF l vl v F Ne l v 牛顿数 2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的 （1）雷诺准则粘性力是主要的力 i i F F FF 改成 ii FF FF dv FAlvlv dy 22 i Fmal v v lv l 无量纲数 vl Re 雷诺数粘性力的相似准则数 相似准则数的物理意义相似准则数的物理意义 Re lv 雷诺数：雷诺数：惯性力和粘性力惯性力和粘性力的比值。的比值。 适用范围：主要受粘滞力作用的流体流动，凡适用范围：主要受粘滞力作用的流体流动，凡 是有压流动，重力

6、不影响流速分布，主要受粘是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘 滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。 另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使 水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保 证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞 中的有压流动和潜体绕流问题等。中的有压流动和潜体绕流问题等。 （2）佛劳德准则重力是主要的力 Gi Gi FF FF 改成 ii GG FF FF 3 glmgFG 22 i Fl v 22 vv g lg

7、l 适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动、紊流阻力如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动、紊流阻力 平方区的有压管流与隧洞流动等。平方区的有压管流与隧洞流动等。 1/2 () v Fr gl 弗劳德数：弗劳德数：流体在流动过程中流体在流动过程中动能与重力位动能与重力位 能能的比值。的比值。重力位能和动能分别与重力和惯重力位能和动能分别与重力和惯 性力成正比，故性力成正比，故FrFr也表示流体在流动中惯性也表示流体在流动中惯性 力和重力的比。力

8、和重力的比。 （3）欧拉准则压力是主要的力 p i pi F F FF 改成 pp i i FF F F 2 p Fpl 22 i Fl v 22 PP vv 2 v p Eu 2 v p 无量纲数 欧拉数压力的相似准数 （4）柯西准则弹性力是主要的力 iE Ei FF FF 改成 ii EE FF FF 2 / E FdpAEAdV VEl E弹性模量 22 i Fl v 22 vv EE 无量纲数 E v Ca 2 柯西数弹性力的相似准数 气体： E a vv aa 将 无量纲数 a v M 马赫数弹性力的相似准数 （*） 代入（*）式，得 （5）其它准则数 2 v l We 韦伯数表面张

9、力的相似准则数 v l Sr 斯特劳哈尔数非定常性相似准则数 l vt 表面张力 惯性力 当地惯性力 迁移惯性力 e r Tv Tgd A 2 0 00 阿基米德准数温差、浓差射流轴线弯曲的相似准数 惯性力 重力）浮力与重力之差（有效 第三节 流动相似条件 v相似条件：保证流动相似的必要和充分条件。 属于同一类的流动属于同一类的流动 单值条件相似单值条件相似 单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等 v单值条件单值条件：从无数同类流动中单一地划分出某一具 体流动的条件。如几何条件，边界条件，物性条件， 初始条件 v定性量定性量：单值条件中的各物理量。是决

10、定性质的量。 如流体的密度，特征长度，流速，粘度，重力加速 度等。 v定性准则数定性准则数：由定性量组成的相似准则数。如Fr， Re v非定性准则数非定性准则数：包含被决定量的相似准则数，如Eu v例1：如图所示，当通过油池底部的管道向外输油时，如果 池内油深太小，会形成达于油面的旋涡，并将空气吸入输油 管。为了防止这种情况发生，需要通过模型试验去确定油面 开始出现旋涡的最小油深hmin。已知输油管内径d=250mm， 油的流量qV=0.14m3/s,运动粘度v=7.510-5m2/s.倘若选取的 长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似，模型输出管的内径 模型内液体的流量和运动粘度应等于多少

11、？在模型上测得 hmin=60mm，油池的最小油深hmin应为多少？ 这是不可压粘性流体的流动问题，需同时考虑重力和 粘性力的作用。保证弗劳德数和雷诺数相等。 50 l dk dmm 在重力场中 ，由弗劳德数相等可得模型内 2 21 25 23 11 ()( )( )0.0025(/ ) 44 555 vv dd qvvqms 由雷诺数相等有 油池的最小油深为 由长度比例尺，得模型输出管内径 gg 12 1 21 2 1 ()( ) 5 l h vk vvv h 62 16.708 10 (/ ) vl k kv d ms kv d minmin /300 l hhkmm v例2：两种密度和动

12、力黏度相等的液体从几何相似 的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为0.04409N/m, 出口流束直径为7.5cm，流速为12.5m/s，在离喷嘴 12m处破裂成雾滴；另一液体的表面张力为 0.07348N/m。如果二流动相似，另一液体的出口流 束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？ 流束的破裂受粘性力和表面张力的共同作用，要保证 二流动相似，需保证雷诺数和韦伯数相等。 2 1 v vll k kk kk 另一流束有 4.5() l dk dcm 1.667 1/0.6 v lv kk kk 20.83(/ ) v vk vm s 7.2( ) l lk lm (1) 几何相似（模型和实物、攻角、

13、位置等）；几何相似（模型和实物、攻角、位置等）； (2) 确定相似准则数；确定相似准则数； (3) 确定模型尺度和速度；确定模型尺度和速度； (4) 实验数据整理实验数据整理(无因次形式无因次形式)； (5) 试验值与实际值之间的换算。试验值与实际值之间的换算。 两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。两个流动的全部相似准则数对应相等。不可能实现。 满足部分相似准则数相等。满足部分相似准则数相等。 近似的模型试验近似的模型试验：在设计模型和组织模型试验时，在 与流动过程有关的定性准则中考虑那些对流动过程起 主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的 定性准则。 v举例：无压的明渠流动

14、及其他水工建筑物中的流动， 对流动状态起主导作用的是重力而不是粘滞力，便 可忽略雷诺准则只考虑弗劳德准则。 v有压的粘性管流及其他有压的内流（流体机械，液 压机械内的流动等），对流动起主导作用的是粘滞 力而不是重力，便可忽略弗劳德准则只考虑雷诺准 则。 v例3：如图所示为弧形闸门放水时的情形。已知水深h=6m， 模型闸门是按长度比例尺kl=1/20制作的，试验时的开度与原 型的相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模型上测 得收缩截面的平均流速v=2.0m/s，流量qV=30L/s,水作用在 闸门上的力F=92N,绕闸门轴的力矩M=110N.m。试求原型 上收缩截面的平均流速，流量及作用在闸

15、门上的力和力矩。 0.3 l hk hm 水在重力作用下由闸门流出，要使流动相似，弗劳德 数需相等。有 3 5 2 53.67(/ ) vl vv v q qq qms kk 由长度比例尺，模型闸门前的水深 1 2 8.944(/ ) v l v vv km s k 7 4 1.76 10 () l M MM MN m kk 12 l v kk 5 3 7.36 10 () l F FF FN kk v例4：为了探索用输油管道上的一段弯管的压强降去计量油的流量，进行 了水模拟实验，选取的长度比例尺kl=1/5。已知输油管内径d=100mm， 油的流量qV=20L/s，运动粘度v=0.62510

16、-6m2/s，密度 720kg/m3， 水的运动粘度v=1.010-6m2/s，密度 = 998kg/m3。为了保证流动相 似，试求水的流量。如果测得在该流量下模型弯管的压强降 =1.177104Pa，试求原型弯管在对应流量下的压强降。 p /8 vl kkk 这是粘性有压管流，雷诺数相等，有 2 vll qv kk kk k 3 0.0064(/ ) l vv qk k qms 由欧拉数相等，有 2 2 132.7() v ppPa v 例5：输水管道内径d=1.5m，内装蝶阀。当蝶阀开度为 ，输送流量为 qV=4m3/s时，流动已进入自模化区。利用空气进行模拟实验，选用的长 度比例尺kl=

17、1/7.5。为了保证模型内的流动也进入自模化区，模型蝶阀在 相同开度下的输送流量qV=1.6m3/s。试验时测得经过蝶阀的压强降 =2697Pa，气流作用在蝶阀上的力F=137N,绕阀轴的力矩M=2.94N.m， 试求原型对应的压强降，作用力和力矩。已知20C时水的密度 998.2kg/m3，粘度 1.00510-3Pa.s， 20C时空气的密度 1.205kg/m3 1.8310-5Pa.s，声速c=343.1m/s。 p 2 6 4/2.264(/ ) Re3.373 10 v vqdm s vd 这是粘性有压管流，原型中流速和雷诺数 2 5 4/50.93(/ ) Re6.707 10

18、v vqdm s v d 模型中流速和雷诺数 通常流动均已进入自模化区，模型中气流马赫数为 / 0.14840.3Mav c 可不考虑气体压缩性的影响。由于 1/7.5,0.001207,22.5, lv kkk 有 2 4416() v p pPa k k 32 2030() lv M MN m k k k 4 22 1.261 10 () lv F FF FN kk k k 第五节 量纲分析法 v一、量纲分析的概念和原理 v 量纲是指物理量的性质和类别。例如长度和质量， 它们分别用 L ， M 表达。 v而单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量的 大小，如同为长度量纲的米，厘米等单位。

19、v长度：L ； v质量：M； v时间：T； v 热力学温度; 基本量纲相互独立的 0a0b0c 几何学量 0a0c运动学量 0a动力学量 物理量A的量纲 cba TLMAdim 2 dim MLTF 2.无量纲的物理量 0cba 1dimRedim 000 12 1 TLM TL LLTvd 如 无量纲物理量的意义： （1）客观性； （2）不受运动规模的影响； （3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）； （4）可进行超越函数的运算 量纲一致性原则 v所谓量纲一致性原则，是说任何一个物 理方程中各项的量纲必定相同，用量纲表 示的物理方程必定是齐次性的。 v例如，伯努利方程中各项的量纲均为长度

20、 L。如果用H通除整个方程，则该方程化为 无量纲方程 量纲分析法 （1）定理（泊金汉定理）：如果一个物理过程涉及到n 个物理量和m个基本量纲，这个物理过程可用由n个物理量 组成的n-m个无量纲量（相似准则数）的函数关系来描述。 这些无量纲量用i（i=1，2，n-m）来表示。 12 ,0 n F q qq 取m个基本量，组成(nm)个无量纲的项 0, 21 mn f 例：求不可压粘性流体在粗糙管内的定常流动中压强损 失的表达式 解：步骤 a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系 0,vkdlpf7n b.选取基本量 常取：几何学量d，运动学量v，动力学量m=3 基本量独立条件：指数行列

21、式不等于零 1 dim LTv dimdL 3 dim ML 110 111 cba， 010 222 cba， 031 333 cba， 01 031 010 110 c.基本量依次与其余物理量组成项，共nm=73=4个 111 1 cba dv p 222 2 cba dv 333 3 cba dv l 444 4 cba dv k d.决定各项的基本量的指数 111 dimdim 1 cba dvp： 1 1 13121 c b a MLLLTTML 比较两边系数 1 1c 111 31cba 1 2a M L T 得a1=2，b1=0，c1=1 2 1 v p 同理 vd 2 d l

22、3 d k 4 e.整理方程式 0, 2 4321 d k d l vdv p ff d k d l vd f v p , 2 d l d k f v p Re, 2 2 Re, 2 2 v d l v d l d k fp d k f Re, v例：翼型的阻力FD与翼型的翼弦b，翼展l，冲角 ，翼型与 空气的相对速度v，空气的密度 ，动力黏度 和体积模量K 有关，试用定理导出翼型阻力的表达式。 (, , , , , , )0 D F Flb v , ,b v选取为基本变量，可组成的无量纲量为 111 1= D abc F b v 222 2= abc b v 333 3= abc b v 544 4= cab l b v 5= 111 1234 213 , () () abc MLTLLTML 用基本量纲表示，中的物理量，得 222 1113 () () abc ML TLLTML 333 1213 () () abc ML TLLTML 444 13 () () abc LLLTML 1 对于 ，由量纲一致性，有 1 1c 111 31cb