第三章 非稳态热传导

1、1 上章回顾上章回顾 导热问题的导热问题的 数学描写数学描写 定解条件定解条件 导热微分方程导热微分方程 傅里叶定律傅里叶定律能量守恒定律能量守恒定律 求解得到求解得到 温度场温度场 求解得到求解得到 热流密度矢量热流密度矢量 典型一维典型一维 稳态导热稳态导热 具有内热源具有内热源 的导热的导热 通过肋片通过肋片 的导热的导热 多维稳态导多维稳态导 热热 2 第三章第三章 非稳态热传导非稳态热传导 主讲人：郭智群主讲人：郭智群 3 引题引题 n钢制工件的钢制工件的热处理热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工是一个典型的非稳态导热过程，掌握工 件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素

2、。件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。 n金属在加热炉中加热时需要确定其停留时间，以保证达到金属在加热炉中加热时需要确定其停留时间，以保证达到 规定的温度。规定的温度。 4 引题引题 n本章内容本章内容 基本概念基本概念零维零维一维一维 本章重点：本章重点： 掌握基本概念；掌握基本概念； 确定物体瞬时温度场的方法；确定物体瞬时温度场的方法； 在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 5 目录目录 3.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 n3.2 零维问题的分析方法零维问题的分析方法集中参数法集中参数法 n3.3 典型一维物体非

3、稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 6 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 n3.1.1 非稳态导热过程的特点及类型非稳态导热过程的特点及类型 一、定义：一、定义： 物体的温度随时间而变化的导热过程称为物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热非稳态导热 （unsteady heat conduction） 非周期性非周期性：物体温度随时间趋近于恒值：物体温度随时间趋近于恒值 （动力机械启动、停止）（动力机械启动、停止） 周期性：周期性：物体温度随时间做周期性变化物体温度随时间做周期性变化 （地球表面温度随四季更替周期变化）（地球表面温度随四季更替周期变化） 7 非稳态导

4、热的基本概念非稳态导热的基本概念 几种典型非稳态导热过程的温度变化率几种典型非稳态导热过程的温度变化率 8 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 tttt c xxyyzz 二、特点二、特点： u 物体中各点的物体中各点的温度温度随时间发生变化；随时间发生变化； u 物体中各点的物体中各点的热流密度热流密度随时间发生变化；随时间发生变化； u 不宜用热阻法不宜用热阻法定量分析非稳态导热定量分析非稳态导热； 0 t c 其中：其中： 9 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 n如图所示，已知一复合平壁初始温度为如图所示，已知一复合平壁初始温度为t0，左侧为金属壁面，右，左侧为金属壁面，右

5、 侧为保温层，层间接触良好。令其左侧表面的温度突然升高到侧为保温层，层间接触良好。令其左侧表面的温度突然升高到t1， 右侧与温度为右侧与温度为t0的空气接触，分析温度变化过程。的空气接触，分析温度变化过程。 保保 温温 层层 金金 属属 壁壁 t0 t1 x B P L 保保 温温 层层 金金 属属 壁壁 t0 t1 x C P L 不同时刻平壁温度场示意图（一）不同时刻平壁温度场示意图（一） 保保 温温 层层 金金 属属 壁壁 t0 x A L 金属壁金属壁 x t 10 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 不同时刻平壁温度场示意图（二）不同时刻平壁温度场示意图（二） 保保 温温 层层

6、 金金 属属 壁壁 t0 t1 x D A P I 保保 温温 层层 金金 属属 壁壁 t0 t1 x E A P J 保保 温温 层层 金金 属属 壁壁 t0 t1 x F A P K 11 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 加热或冷却过程的两个重要阶段加热或冷却过程的两个重要阶段 u非正规状况阶段非正规状况阶段：这一阶段中温度：这一阶段中温度 分布主要受分布主要受初始温度初始温度分布的控制。分布的控制。 u正规状况阶段：正规状况阶段：不同时刻的温度分不同时刻的温度分 布主要受布主要受热边界条件热边界条件的影响。的影响。 正规状况阶段的温度分布计算比非正正规状况阶段的温度分布计算比非

7、正 规状况阶段简单得多。规状况阶段简单得多。 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 加热或冷却过程的两个重要阶段加热或冷却过程的两个重要阶段 保保 温温 层层 金金 属属 壁壁 t0 t1 x F A P K E J D ICBL 12 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 n对于上述复合壁情形，不同对于上述复合壁情形，不同 时刻左右表面的导热量随时时刻左右表面的导热量随时 间的变化定性用右图表示。间的变化定性用右图表示。 0 1 1 2 2 1为从左侧导入金属壁的热流量为从左侧导入金属壁的热流量 2为从右侧导出保温层的热流量为从右侧导出保温层的热流量 n导热过程中两者不相等，且随导热

8、过程中两者不相等，且随 着过程的进行，其差别逐渐减着过程的进行，其差别逐渐减 小，直到进入稳态阶段两者平小，直到进入稳态阶段两者平 衡。衡。阴影部分代表了复合壁在阴影部分代表了复合壁在 升温过程中积蓄的能量。升温过程中积蓄的能量。 13 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 n3.1.2导热微分方程解的唯一性定律导热微分方程解的唯一性定律 ttt xyz t xyz c 非稳态导热问题的求解非稳态导热问题的求解 初始条件初始条件 边界条件边界条件 导热微分方程导热微分方程 div grad p t ct 假定物体的热物理特性参数均为常数假定物体的热物理特性参数均为常数 式中式中div(gr

9、ad t)是温度的拉普拉斯（是温度的拉普拉斯（Laplace）算子）算子 2t （3-1a） 14 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 p a c 2 p t at c , , ,0, ,t x y zfx y z 引入热扩散率引入热扩散率 ，于是有：，于是有： 初始条件的一般形式是：初始条件的一般形式是： 一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即 0 , , ,0t x y zt （3-1b） （3-2a） （3-2b） 15 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 第三类边界条件较为常见，本章将着重讨论物体处于恒温第三类边界条件较

10、为常见，本章将着重讨论物体处于恒温 介质中的介质中的第三类边界条件第三类边界条件的非稳态导热，即：的非稳态导热，即： w fw t t n ht 数学上可以证明，如果某一函数数学上可以证明，如果某一函数 t（x , y, z,）满足方程（）满足方程（3- 1a）或（）或（3-1b）以及一定的初始条件和边界条件。）以及一定的初始条件和边界条件。则此函数就是则此函数就是 这一特定导热问题的唯一解。这一特定导热问题的唯一解。 换言之，不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定换言之，不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定 解条件的不同的解。解条件的不同的解。 （3-3） 16 讨论如左图所示

11、的一块厚度为讨论如左图所示的一块厚度为2 的金属平板，初始温度为的金属平板，初始温度为 ，突然，突然 将它置于温度为将它置于温度为 的流体中进行冷的流体中进行冷 却，表面传热系数为却，表面传热系数为h，平板的导热，平板的导热 系数为系数为。 根据平板的导热热阻根据平板的导热热阻/与对流与对流 传热热阻传热热阻1/h的相对大小的不同，平的相对大小的不同，平 板中温度场的变化会出现以下三种情板中温度场的变化会出现以下三种情 形。形。 t 0 t 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 3.1.3 第三类边界条件下第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响数对平板中温度分布的影响 17 非稳态导

12、热的基本概念非稳态导热的基本概念 1、首先讨论、首先讨论 毕渥数毕渥数 Bi 趋近于无穷，即导热热阻趋近于无穷，即导热热阻 远大于对流传热热阻（远大于对流传热热阻（）。）。 过程一开始，平板表面温度就立即过程一开始，平板表面温度就立即 被冷却到被冷却到 。随着时间的推移，平板。随着时间的推移，平板 内部各店的温度逐渐下降，最后趋近周内部各店的温度逐渐下降，最后趋近周 围流体温度围流体温度 。 t Bi t 18 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 2、讨论、讨论 毕渥数毕渥数 Bi 趋近于趋近于0，即，即对流传对流传 热热阻远大于热热阻远大于导热热阻（导热热阻（ ）。）。 由于平板内部导

13、热热阻由于平板内部导热热阻 / 几乎几乎 可以忽略，所以在整个可以忽略，所以在整个过程中，平过程中，平 板中各点的温度基本一致。并随着板中各点的温度基本一致。并随着 时间的推移整体地下降，最后趋近时间的推移整体地下降，最后趋近 周围流体温度周围流体温度 。t 0Bi 19 3、讨论、讨论 Bi 为有限大小为有限大小 毕渥数毕渥数 Bi 为有限大小，即为有限大小，即导导 热热阻热热阻/与对流传热热阻与对流传热热阻1/h数数 值比较接近（值比较接近（）。）。 该情况下，平板中不同时刻该情况下，平板中不同时刻 的温度分布介于上述两种极端情的温度分布介于上述两种极端情 况之间。况之间。 非稳态导热的基

14、本概念非稳态导热的基本概念 20 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 xxx t t t 0 t 0 t 0 t t t t Bi 0Bi Bi有有限限大大小小 1 h Bi h 特征数特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲 数。又称为数。又称为准则数准则数。出现在特征数定义式中的几何尺度称为。出现在特征数定义式中的几何尺度称为 特征长度特征长度，用，用 l 表示表示。 21 目录目录 n3.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析方法零维问题的分析方法集中参数法集中参数法 n3.3 典型一维物体非稳态导热的

15、分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 22 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 n当固体内部的当固体内部的导热热阻导热热阻远小于远小于其表面的换热热阻其表面的换热热阻时，任何时刻时，任何时刻 固体内部的温度够趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬固体内部的温度够趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬 间均处于同一温度下。即，间均处于同一温度下。即，固体的质量和热容量都汇总到一点固体的质量和热容量都汇总到一点 上。上。 n这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法集中参数法。 （lumped parameter method）

16、 n条件：物体的导热系数相当大，或几何尺寸很小，或表面传热条件：物体的导热系数相当大，或几何尺寸很小，或表面传热 系数极低。系数极低。 23 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 n3.2.1 集中参数法温度场的分析解集中参数法温度场的分析解 设有任意形状的固体，其体积为设有任意形状的固体，其体积为V， 表面积为表面积为A，初始温度，初始温度t0，突然将其，突然将其 置于温度恒为置于温度恒为t的流体中，设的流体中，设t0t， 固体与流体间的表面传热系数固体与流体间的表面传热系数h及固及固 体的物性参数均保持常数，体的物性参数均保持常数，求解物体求解物体 温度随时间的依变关系。温

17、度随时间的依变关系。 此问题可应用此问题可应用集中参数法集中参数法分析。分析。 t 24 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 n非稳态、有内热源的导热问题非稳态、有内热源的导热问题 tttt c xxyyzz t c 式中：式中： 是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个 物体的体积热源。物体的体积热源。 VAh tt 25 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 dt cVAh tt d 引入过余温度引入过余温度 ，则有：，则有：tt 两式合并有：两式合并有： d cVAh d 初始条件：初始条件： 0 0tt 导热微分

18、方程导热微分方程 26 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 dhA d cV 0 0 dhA d cV 0 ln hA cV 将导热微分方程分离变量将导热微分方程分离变量 00 exp tthA ttcV 注意到注意到V/A具有长度的量纲，并定义：具有长度的量纲，并定义： c V l A 两边积分得：两边积分得： 27 Bi是以是以lc为特征长度的毕渥数，为特征长度的毕渥数，FO称为傅里叶数，也是以称为傅里叶数，也是以lc为其为其 特征长度。故上式可简化为：特征长度。故上式可简化为： 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 22 cc cc hhlha Bi F

19、o cc Al llV 0 exp Bi Fo 28 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 n3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅里叶数导热量计算式、时间常数与傅里叶数 1、导热量计算式、导热量计算式 导热物体与流体间所交换的热量可由瞬时热流量对时间积分得到。导热物体与流体间所交换的热量可由瞬时热流量对时间积分得到。 导热物体的瞬时热流量为：导热物体的瞬时热流量为： 0 0 exp exp dthAhA cVcV tt dcVcV hA tthA cV 29 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 从从 =0到到时刻之间所交换的总热量为时刻之间所交换的总热量为

20、0 00 0 exp 1exp hA dtthAd cV hA ttcV cV 换热量是恒为正的，因此对物体被加热的场合应将式中的换热量是恒为正的，因此对物体被加热的场合应将式中的 t0-t改为改为t-t0。物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有。物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有 时又称时又称牛顿加热牛顿加热或或牛顿冷却牛顿冷却。 30 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 2、时间常数、时间常数 采用集中参数法分析时，物体中过采用集中参数法分析时，物体中过 ，在开始阶段温度变化得很快，随后逐渐减慢。，在开始阶段温度变化得很快，随后逐渐减慢。 31 零维问题的分析

21、法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 在指数函数中在指数函数中 具有与具有与 相同的量纲。如果相同的量纲。如果 则有：则有： hAcV 1 cV hA 00 exp10.38638.6% tt tt cVhA 称为时间常数（称为时间常数（time constant）,记为记为 c 。 32 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 当时间当时间= c 时，物体的过余温度已经降到了初始过余温时，物体的过余温度已经降到了初始过余温 度的度的36.8%。时间常数不仅取决于几何参数。时间常数不仅取决于几何参数V/A ，物理性质，物理性质、 c，还与换热条件，还与换热条件h有关。有关。 时

22、间常数越小，物体的温度变化就越快。物体就越迅速地时间常数越小，物体的温度变化就越快。物体就越迅速地 接近流体温度。接近流体温度。 c cVhA 33 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 以以热电偶热电偶为例，时间常数越小，热电偶越能迅速地反为例，时间常数越小，热电偶越能迅速地反 映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小。映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小。 当当= 4.6c 时时， 工程上认为工程上认为= 4.6c 时导热物体已经达到热平衡状态。时导热物体已经达到热平衡状态。 c cVhA 0 exp4.60.01 34 扩展扩展热电偶热电偶 热电偶（热

23、电偶（thermocouple）是常用）是常用 的测温元件，它直接测量温度，并把的测温元件，它直接测量温度，并把 温度信号转换成热电动势信号，通过温度信号转换成热电动势信号，通过 电气仪表（二次仪表）转换成被测介电气仪表（二次仪表）转换成被测介 质的温度。质的温度。 测温原理测温原理：两种不同成份的导体两：两种不同成份的导体两 端接合组成回路，端接合组成回路， 当两个接合点的当两个接合点的 温度不同时，在回路中就会产生电温度不同时，在回路中就会产生电 动势，这种现象称为动势，这种现象称为热电效应热电效应。 35 扩展扩展热电偶热电偶 热电偶分度号热电偶分度号 热电极材料热电极材料 正极正极负极

24、负极 S铂铑铂铑 10纯铂纯铂 R铂铑铂铑 13纯铂纯铂 B铂铑铂铑 30铂铑铂铑 6 K镍铬镍铬镍硅镍硅 T纯铜纯铜铜镍铜镍 J铁铁铜镍铜镍 N镍铬硅镍铬硅镍硅镍硅 E镍铬镍铬铜镍铜镍 36 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 3、傅里叶数的物理意义、傅里叶数的物理意义 2 O c F la 傅里叶数可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间。傅里叶数可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间。 故故Fo可以看成是表征可以看成是表征非稳态过程进行深度的无量纲时间非稳态过程进行深度的无量纲时间。 从边界上开始发生热扰动的时从边界上开始发生热扰动的时 刻起到所计算时刻为止的时间

25、刻起到所计算时刻为止的时间 间隔间隔 边界上发生的有限大小的热扰边界上发生的有限大小的热扰 动穿过一定厚度的固体层扩散动穿过一定厚度的固体层扩散 到到lc2的面积上所需的时间的面积上所需的时间 37 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 2 O c F la 在非稳态导热过程中，这一无量纲时间越大，在非稳态导热过程中，这一无量纲时间越大， 热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各 点的问题就越接近周围介质的温度。点的问题就越接近周围介质的温度。 38 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 3.2.3 集中参数法的实

26、用范围及应用举例集中参数法的实用范围及应用举例 对于平板、圆柱和球中的一维非稳态第三类边界条件下的对于平板、圆柱和球中的一维非稳态第三类边界条件下的 导热问题，当按导热问题，当按特征长度特征长度 l= ，厚度为，厚度为2 l=R，圆柱，圆柱 l=R，球，球 定义定义Bi数数0.1 hl Bi 39 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 由于由于lc=V/A，对圆柱和球分别是，对圆柱和球分别是R的的1/2和和1/3。因此。因此 如果以如果以lc作为毕渥数的特征长度，则该作为毕渥数的特征长度，则该Bi数对平板、圆数对平板、圆 柱和球应分别小于柱和球应分别小于0.1、0.05

27、和和0.033。 （） 0.1() 0.05 c hl Bi 板板 ，柱柱 ，0 0. . 0 03 3 球球 40 目录目录 n3.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念 n3.2 零维问题的分析方法零维问题的分析方法集中参数法集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 41 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 n所谓一维是指：对平板，温度仅沿着所谓一维是指：对平板，温度仅沿着厚度厚度方向变化；对圆柱和球，方向变化；对圆柱和球， 温度仅沿着温度仅沿着半径半径方向变化。方向变化。 以平板为例，厚为以平板为例，厚为2 的无限的

28、无限 大平板，初始温度为大平板，初始温度为t0。将其置。将其置 于温度为于温度为 t 的流体中，设平板两的流体中，设平板两 边对称受热，板内温度必然以其边对称受热，板内温度必然以其 中心截面为对称面。中心截面为对称面。 研究厚为研究厚为 的半块平板情况的半块平板情况 即可，将即可，将x轴远点置于板的中心截轴远点置于板的中心截 面上面上 t0 h,t h,t 0 - 42 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 2 2 0,0 tt ax x 对于对于x0的半块平板，导热微分方程及定解条件为：的半块平板，导热微分方程及定解条件为： 边界条件边界条件 0 ,00t xtx 0

29、 , 0 x t x x , , x t x h tt x 初始条件初始条件 定解条件定解条件 43 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 2 1 0 =expcos nnOn n CF ， ,t xt 引入过余温度引入过余温度 经分离变量后可得分析解如下：经分离变量后可得分析解如下： t0 h,t h,t 0 - 式中，式中，FO为傅里叶数，为傅里叶数，FO=a / 2, =x/ 44 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 2sin C = sincos n n nnn 系数系数Cn应该使上述无穷级数在初始时刻（应该使上述无穷级数在初始时刻（ =0时）满足初）满足初 始条件，由傅里叶级数理论可得：始条件，由傅里叶级数理论可得： n是下列超越方程的根