精华高考2015届特训班二轮狂练(17)立体几何

1、精华高考2015届特训班二轮狂练（17）立体几何一、选择题(每小题3分，共72分)1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D32若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b3如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAO

2、C，则cos，的值为()A0 B. C. D.第3题 第4题 第7题 第8题4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abc C.abc Dabc5已知空间四边形ABCD中，M，G分别为BC，CD的中点，则()等于()A. B. C. D.6已在O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一组基底，则()AO，A，B，C四点不共线 BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共线 DO，A，B，C四点不共面7底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M

3、为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abc C.abc Dabc8如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0 B1 C0或1 D任意实数9若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2 Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确10若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0) Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3,1)11

4、设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.12已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4 C.，2,4 D4，1513平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A(，1，1) B(6，2，2) C(4,2,2) D(1,1,4)14(2012全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B. C. D115已知直二面角l

5、，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B. C. D116正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A. B. C. D.17已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A. B. C. D.18正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为()A30 B120 C60 D9019长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线B

6、C1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.20(2013山东)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.21(2012陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B. C. D.22在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.23已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，面BCD与面

7、BCA所成的二面角的余弦值为()A. B. C0 D24如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60 C45 D30 第21题 第24题 第32题二、填空题(每小题3分，共27分)25在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)26已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_ .27在空间四边形ABCD中，_.28若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.29在四面体PABC中，PA，PB，PC两两

8、垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_30将锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角，则A与C之间的距离为_31若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_32. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_33(2012大纲全国)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_三、解答题(共3小题，共51分解答写出必要的文字说明，

9、证明过程或演算步骤)34. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求与夹角的余弦值35.如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线36. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值37. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面

10、BDE；(2)AM平面BDF.38在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论9(2012湖南)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积40. 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)求证：C

11、MSN；(2)求SN与平面CMN夹角的大小41(2012新课标)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小42(2012全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小一、选择题(每小题3分，共72分)1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两

12、共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案：A2若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab

13、 Dab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底答案：C3.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B. C. D.解析：设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.答案：A4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abc C.abc Dabc解析：()()c(

14、ab)abc.答案：A5已知空间四边形ABCD中，M，G分别为BC，CD的中点，则()等于()A. B. C. D.解析：如图所示：()，.答案：A6已在O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一组基底，则()AO，A，B，C四点不共线 BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共线 DO，A，B，C四点不共面解析：，为空间的一组基底，所以，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，共面答案：D7(2014沈阳调研，4)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若a，b，c，则下列

15、向量中与相等的向量是()Aabc B.abc C.abc Dabc解析：()abc.答案：C8如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0 B1 C0或1 D任意实数解析：可为下列7个向量：，其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最后1cosBAC11，故选C.答案：C9若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确答案：B10若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,

16、5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.答案：D11设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B.C. D.解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2，2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.答案：D12(2014珠海模拟)已知(1,5，2

17、)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析：，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案：B13平面经过三点A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A(，1，1) B(6，2，2)C(4,2,2) D(1,1,4)解析：设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.答案：D14(2012全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E

18、为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B.C. D1解析：连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OHAC1于点H，因为AB2，所以AC2，又CC12，所以OHsin451.答案：D15已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B.C. D1解析：，|2|2|2|2，AB2，ACBD1，|24，|2|21，|22.在RtBDC中，BC.直二面角l中，ACl，AC，平面ABC平面BCD，过D作DHBC于H，则DH平面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH.故选C.答案：C16(2014新乡模

19、拟，4)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.解析：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABC1D1的法向量n(x，y，z)，则，令z1，得，n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.答案：B17已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A. B. C. D.解析：m，n，异面直线m，n所成的角的补角与二面角l互补又异面直线所成

20、角的范围为(0，m，n所成的角为.答案：B18正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为()A30 B120 C60 D90解析：如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件，得G(0,0，)，B(1,1,0)，E(1,1，)，F(，1,0)，(1,1，)，(，0，)cos，0，则.答案：D19长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,

21、2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案：B20(2013山东，4)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B. C. D.解析：如图，设P0为底面ABC的中心，连结PP0，由题意知|PP0|为直三棱柱的高，PAP0为PA与平面ABC所成的角，SABC()2sin60.三棱柱的体积V，|PP0|，|PP0|.又P0为底面ABC的中心，则|AP0|等于正ABC高的，又易知ABC的高为，|AP0|1.在RtPAP0中，tanPAP0，P

22、AP0，故选B.答案：B21(2012陕西，5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B. C. D.解析：设CB1，则CACC12，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，|，|3，413，cos，故选A.答案：A22在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.解析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，

23、2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B23已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，面BCD与面BCA所成的二面角的余弦值为()A. B. C0 D解析：取BC中点E，连AE、DE，可证BCAE，BCDE，AED为二面角ABCD的平面角又AEED，AD2，AED90，故选C.答案：C24如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60 C45 D30解析：将其还原成正方体ABCDPQRS，显然PBSC，ACS为正三角形，ACS60.答案：B二、填空题(每小题3分，共27分)25在四面体O

24、ABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)解析：()()abc.答案：abc26已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_ .解析：A，B，C，D四点共面，mnp，且mnp1.由条件知2x3y4z，(2x)(3y)(4z)1.2x3y4z1.答案：127在空间四边形ABCD中，_.解析：设b，c，d，则dc，db，cb.原式b (dc)d(cb)c(db)0.答案：028若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析：由已知得，83(6)，解得2或.答案：2或29在四面

25、体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为(，)PHa.点P到平面ABC的距离为a.答案：a30(2014江苏徐州一模，8)将锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角，则A与C之间的距离为_解析：设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连结

26、A1E、CE.BDCE，BDA1E.A1EC为二面角A1BDC的平面角A1EC60.又A1ECE，A1EC是等边三角形A1ECEA1Ca.即折叠后点A与C之间的距离为a.答案：a31若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_解析：cosn，a.又l与所成角记为，即sin|cosn，a|.答案：32.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,

27、0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成角为60.答案：6033(2012大纲全国，16)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_解析：由BAA1CAA160可得四边形BCC1B1为正方形把底面ABC补成菱形ABCD、把底面A1B1C1补成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱补成平行六面体ABCDA1B1C1D1，则B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角不妨设棱长为2，则AD1BC12，AB1B1D12，由余弦定理可得cosB1AD1.答案：三、解答题(共3小题，共51分解

28、答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)34.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求与夹角的余弦值解：记a，b，c，则|a|b|c|1，60，abbcca.(1)|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos.与夹角的余弦值为.35.如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线证明：设a，b，c，则a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三

29、点共线36.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解：设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，BA(ca)(a)a2ac，(2)(ca)(bc)(bcabc2ac)；(3)abacbabc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是(0，90，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.37.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段

30、EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为(，0)、(0，0,1)(，1)又点A、M的坐标分别是(，0)、(，1)，(，1)且NE与AM不重合NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.38在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PC

31、B，并证明你的结论解：(1)证明：如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，0)、P(0,0，a)、F(，).(，0，)，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解：设G(x,0，z)，则(x，z)，若使GF平面PCB，则由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)2a(z)0，得z0.G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点39(2012湖南)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(

32、1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解：如图(1)，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即|.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故|.解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.40.已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)求证：CMSN；(2)求SN与平面CMN夹角的大小解：设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直