求证全等三角形的几种方法

1、求证全等三角形的几种方法课程解读全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS ASA AAS SSS和HL如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。典型例题全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从

2、条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： 延长中线构造全等三角形； 利用翻折，构造全等三角形； 引平行线构造全等三角形； 作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1:如图， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE证明：延长 BA，CE交于点F，在 BEF和 BEC中，/ 仁/2，BE=BE，/ BEF

3、= / BEC=90， BEF A BEC, EF=EC，从而 CF=2CE。又/ 1 + Z F= / 3+Z F=90，故/ 1= / 3。在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 仁/3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。(2) 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知 ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证: ABC是等腰三角形。解答过程:证明：延长 AD到E，使DE=AD，连接 BE。又因为 AD是

4、BC边上的中线， BD=DC又/ BDE= / CDA BE2 CAD故 EB=AC，/ E= / 2， AD是/ BAC的平分线/ 1 = / 2，/ 1 = / E， AB=EB从而AB=AC即卩 ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。(3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。例 3:已知，如图，AC平分/ BAD CD=CB ABAD 求证：/ B+Z ADC=180。证明：作CEL AB于E, C

5、F丄AD于F。 AC平分/ BAD CE=CF在 Rt CBE和 Rt CDF中, vCE=CF CB=CD Rt CB專 Rt CDF/ B=Z CDFvZ CDFV ADC=180 ,/ B+Z ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线;见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4:如图， ABC中, AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连 EF交 BC于 D,若 EB=CF求证：DE=DF解答过程:证明：过E作EG/AC交BC于G,则/ EGBM ACB又 AB=AC

6、Z B=Z ACB/ B=Z EGB / EGDM DCF EB=EG=CFvZ EDBM CDF DGEA DCF DE=DF解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法:例 5： ABC中 , Z BAC=60 , Z C=40 , AP平分Z BAC交 BC于 P , BC平分Z ABC交 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ解答过程:图证明：如图（1）,过0作OD/ BC交AB于D,/ ADON ABC=180 60 40 =80,又/ AQOMC+/ QBC=80 ,/ ADON AQO又/ DAON QAO OA=AO ADOA AQO-OD=OQ AD=AQ 又 OD/ B

7、P,N PBON DOB又/ PBON DBO N DBON DOBBD=OD 又/ BPAN C+N PAC=70 ,N BOPN OBAN BAO=70 , N BOPN BPO BP=OB AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形,即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图(2),过O作OD/ BC交AC于。，则厶ABC从而得以解决如图(5) ,过P作PD/ BQ交AC于。，则厶ABPA ADP从而得以解决。小结:通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等

8、三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。(5)截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加 以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6:如图甲，AD/ BC点E在线段AB上，/ AD匡/CDE / DC=Z ECB求证：CE=AE+BG图(2)如图(3),过0作交AB于D,交直C于E, OJJAADOAAQ

9、O, AaboAae 0从而得以解袂口如图 ，过P作PD#BQ交AB的延长线于D,则AAPDAAPCM而 得以解決.p(证明：在CD上截取CF=BC,如图乙6 = CB；ZFCE = BCECE=CE FCEA BCE( SAS ,/ 2=Z 1。又 AD/ BC,/ AD(+Z BCD=180,:丄 DC&Z CD=90,/ 2+Z 3=90,/ 1 + Z 4=90,/Z 3=/ 4。在厶 FDE* ADE中,FDE = ZADEAB, AD=DC BD平分/ ABC求证：/ BAB/BC=180o2、已知，如图2,/仁/2, P为BN上一点，且PDLBC于点D, ABfBC=2BC03、

10、已知，如图 3,在厶 ABC中,/ C= 2/ B,/ 1 = / 2。求证：ABAOCD图了6.如图6所示，AD是ziABC的中线，BE交点C于氐 交AD于F,且AE=EK 求证；AC=BF.图6角 你热爱生命吗辛那么别浪费时间，因为时间是組成生X命的材料-富兰克棘试题答案1、分析：因为平角等于180,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形， 可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF丄BC于点F,如图1-2E /丁眾评分乙在刑KDE与曲 CD呻，、DE=DF=CD Rt AD匡Rt C

11、DfHL),/ DAE：/ DCF又/ BADV DAE=180,/./ BAD/DCF=180,即/ BAD/ BCD=1802、分析：与1相类似，证两个角的和是180,可把它们移到一起，让它们 成为邻补角，即证明/ BC：/EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构 造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2图2*2/Z1=Z2,且PDBCf.PE=PD在用 FPE与曲 BPD中,PE=PDBP = BP.J?tA 遇昌用 BPD（iHL）fAB+BC=2BDt * AB+DOB DD8EE-AHAE. 在更AFE与沁GFD中，PE= PDD4、证明：（方法一）将DE两边延

12、长分别交 AB AC于M N,在AMNfr, AM+ANMD+DE+NE 在 BDM中, MB+MDBD在厶 CEN中, CN+NECE由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC（方法二：图4-2）延长BD交AC于 F,延长CE交BF于6在厶ABF GFCfA GDE中有:AB+AFBD+DG+GF GF+FCGE+CE DG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE- AB+ACBD+DE+EC5、分析：要证 AB+AC2AD由图想到：AB+BDAJDAC+CDAD所以有 AB+AC+BD+C

13、DAD+AD=2左边比要证结论多BD+C D故不能直接证出此题，而 由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去图5-2证明：延长AD至E,使DE=AD,连接BE, CEVADjtjiABC的中线（已知）/.BD=CD （中线定义）在AUMDAEBD 中BD = CD （己证） Z1二上反对顶角相等）AD = ED （辅助线作法） ACDA EBD（ SAS BE=CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边） AB+AC2A。6、分析：欲证AC=BF只需证AC BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC BF的两个全等三角

14、形，而根据题目条件去构造两个含有AC BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两 条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段 AC,使AC BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H,使得DH=AD连结BH证明 ADCP HDB全等，得AC=BH通过证明/ H=Z BFH，得到BF=B。A证明：延长AD到H,使得DH=AD,连接BH / D为BC中点BD-DC在Aadc和Aheb中fAD = DH* ZADCZBDHBD=CDa ADCA HDB(SAS) AC=BH / H=Z HAC EA=EF / HAE2 AFE又 / BFH AFE BH=BF BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明 ADCffiAHDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。 而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三 角形的作用。思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段 BF,使AC BF在两个全等