第五章 极限定理

1、 第五章第五章 极限定理极限定理 随机变量的大数定律体现了随机变量的大数定律体现了n个随机变量的平均个随机变量的平均值的一种稳定性。即如果大量地重复观察一个随机现值的一种稳定性。即如果大量地重复观察一个随机现象，它将体现出某些规律。象，它将体现出某些规律。 中心极限定理主要研究中心极限定理主要研究n个随机变量之和在什么个随机变量之和在什么条件下当条件下当 时极限会服从正态分布。时极限会服从正态分布。 n n定义定义5.1.15.1.1：设：设 是一个随机是一个随机变量序列，若对每一个变量序列，若对每一个 都是相都是相互独立的互独立的, ,则称则称 是相互独立的是相互独立的. .kXXXk, 1

2、21 ), 2 , 1( nXn 第一节第一节 大数定律大数定律nX 1.1.大数定律的定义大数定律的定义n定义定义5.1.25.1.2：设：设 为一随机变量为一随机变量序列，序列， 存在，令存在，令 如果如果对任意的对任意的 ，有，有 则称则称 服从大数定律。服从大数定律。,21nXXX)1)( nXEn.1|)(|lim nnnXEXPnX niinXnX110 定理定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理切比雪夫大数定理) 假设随机变量假设随机变量X1，Xn，相互独立，并具有相互独立，并具有相同的期望和方差：相同的期望和方差：则对于任意的正数则对于任意的正数 0 ，有，有 即，相同期望与方差

3、的独立随机变量序列即，相同期望与方差的独立随机变量序列算术平均的极限是它们共同的数学期望算术平均的极限是它们共同的数学期望 , 2 , 1,)(,)(2 kXDXEkk 11lim1 nkknXnP定理定理 5.1.2 (伯努里大数定理伯努里大数定理) 假设随机事件假设随机事件A 在一次试验中发生概率是在一次试验中发生概率是 p，以以 nA 记记 n 次独立重复试验里次独立重复试验里 A 发生的次数，发生的次数， 则对于任意的正数则对于任意的正数 0 都有：都有： 伯努利定理说明概率可以利用频率来近似，伯努利定理说明概率可以利用频率来近似，它是它是“概率的频率定义概率的频率定义”的理论基础。的

4、理论基础。lim n P | p | = 1 nA n为什么频率的极限是概率为什么频率的极限是概率证明证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。以及切比雪夫不等式完成。 由于由于 X1，X2， 是具有相同期望和方差的是具有相同期望和方差的独立随机变量序列，根据独立随机变量序列，根据Xn 的定义显然有：的定义显然有： E Xn = , , DXn = ; ; 因此利用切比雪夫不等式，因此利用切比雪夫不等式， P ( | Xn | ) 1 1 。 2 n 2n 2 例例5.1.3: 5.1.3: 设设 是独立同分布的随机变量序是独立同分布

5、的随机变量序列，记列，记若每个若每个 ，问，问 在当在当 时时依概率收敛于何值？写出极限表达式依概率收敛于何值？写出极限表达式 nkkXnX11,2, 1),6 ,4( kUXkX n,21nXXX. 1|5|lim, 0, 5, 5246)(2 . 1 . 5 XPXXEXnpki有有即即对对任任意意故故，的的条条件件，且且每每个个满满足足定定理理解解：显显然然 n定义定义5.1.45.1.4：设：设 是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，a a为常数，若对任意为常数，若对任意 ，有，有 则称则称 依概率收敛于依概率收敛于a,a,记为记为 。其等价形式可表为其等价形式可表为 记为记为 ,2

6、1nXXX0 1|lim aXPnn ,21nXXXaXPn0|lim aXPnn0 PnaX依概率收敛的定义依概率收敛的定义第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 n定理定理5.2.1(5.2.1(林德伯格林德伯格- -莱维定理或独立同分布的中心莱维定理或独立同分布的中心极限定理极限定理) ) 设随机变量设随机变量 相互独立，同分布，相互独立，同分布，且具有期望和方差：且具有期望和方差： ，则当，则当 时，随机变量时，随机变量的分布趋于标准正态分布，也就是的分布趋于标准正态分布，也就是其中其中 是标准正态分布是标准正态分布N(0,1)N(0,1)的分布函数。的分布函数。 ,21nXXX,0)

7、(,)(2 kkXDXE n nnXXXYnn 21)(lim)(limxxYPxFnnnn )( x ,2,1k注：注： 标准化部分和标准化部分和(规范和规范和) 对随机变量序列对随机变量序列 X1，X2， ，定义，定义部分和序列部分和序列 Sn = X1 + X2 + + Xn ，则它的则它的标准化部分和序列标准化部分和序列是指是指标准化部分和的期望是标准化部分和的期望是 0，方差是，方差是 1 。nnnnSESYnDS,1 n例例5.2.1: P143 例例5.28198. 0)34. 1()34. 1(34. 1|12/115000|12/1150015|12/115000|15|,1

8、21)(0)(,5 . 00.5XPXPXPXDXEXXXiXiiiiii则则，已已知知上上的的均均匀匀分分布布，总总误误差差，相相互互独独立立的的且且都都服服从从（）是是，（个个数数的的取取整整误误差差，则则是是第第解解：设设 n定理定理5.2.2(5.2.2(棣莫佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理) ) 设随机变量设随机变量 服从服从B(n,p),B(n,p), 则对任则对任意实数意实数x,x,成立成立 其中：其中：q=1-pq=1-p),(21lim22xdtexnpqnpXPxtnn ),2,1( nXn n注：由于注：由于 的分布近似于的分布近似于N(0

9、,1)N(0,1)正态正态分布从而分布从而 的分布近似于的分布近似于N(N(npnp, ,npqnpq) )分布，由分布，由于于 服从二项分布服从二项分布B(n,p)B(n,p)，所以上述断言也所以上述断言也称为二项分布的正态近似。而式称为二项分布的正态近似。而式(1)(1)称为二项分布称为二项分布收敛于正态分布，它有助于计算出二项分布随机收敛于正态分布，它有助于计算出二项分布随机变量变量 落入某范围内的概率的近似值。落入某范围内的概率的近似值。npqnpXn nXnXnX n例例5.2.2：设某车间有：设某车间有400台同类型的机器，每台的电台同类型的机器，每台的电功率均为功率均为Q千瓦千瓦

10、.设每台机器开动时间为总工作时间的设每台机器开动时间为总工作时间的3/4且每台机器的开与停是相互独立的且每台机器的开与停是相互独立的.为了保证以为了保证以0.99的概的概率有足够的电力，问车间应供应多大的电功率？率有足够的电力，问车间应供应多大的电功率？千千瓦瓦的的电电功功率率。即即该该车车间间应应供供应应，故故查查表表拉拉普普拉拉斯斯定定理理，有有使使用用隶隶莫莫佛佛值值，使使得得求求最最小小的的则则问问题题转转化化为为由由题题设设，台台机机器器同同时时开开动动解解：设设有有QNNNNXPNXPNXPNBXXii321,321326. 223. 075. 040075. 040099. 0)

11、326. 2(.99. 0)23. 075. 040075. 0400(23. 075. 040075. 040023. 075. 040075. 04000.99. 00:).43,400(.2001 n例例5.2.3: 某市保险公司开办一年人身保险业务，被保某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获故，其本人或家属可获2万元赔金。已知该市人员一年内万元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为发生重大人身事故的概率为0.005，现在，现在5000人参加此项人参加此项保险，

12、问保险公司一年内从此业务所得的总收益在保险，问保险公司一年内从此业务所得的总收益在20万万到到40万之间的概率是多少？万之间的概率是多少？,5000, 2 , 101 iiiXi事事故故，个个被被保保险险人人未未发发生生重重大大，若若第第故故，个个被被保保险险人人发发生生重重大大事事，若若第第解解：记记 6826. 0)1()1(995. 0252530995. 02525995. 025252030204025000016. 020,25000016. 05000,005. 01005. 05000150001500015000150001 iiiiiiiiiiiiXPXPXPXXXPpX万

13、万元元，于于是是：业业务务所所得得到到的的总总收收益益为为保保险险公公司司一一年年内内从从此此项项，生生重重大大人人身身事事故故的的人人数数个个被被保保险险人人中中一一年年内内发发是是的的两两点点分分布布，均均服服从从参参数数为为于于是是如何理解大数定律与中心极限定理如何理解大数定律与中心极限定理 大数定律与中心极限定理讨论的都是随机大数定律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题变量序列部分和的极限问题 大数定律说明，在一定的条件下部分和大数定律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的的 算术平均的极限是一个常数算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望共同的期望 )。 中心极限定理

14、说明，在一定的条件下部分和中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布的极限分布是正态分布(标准化部分和的标准化部分和的 极限分布是标准正态分布极限分布是标准正态分布)。 考虑独立同分布的随机变量考虑独立同分布的随机变量X1，Xn， 定义这些随机变量的平均序列定义这些随机变量的平均序列 Yn = X1 + + Xn n 大数定律只能告诉我们平均序列的极限大数定律只能告诉我们平均序列的极限是多少，而中心极限定理还可以给出平均序是多少，而中心极限定理还可以给出平均序列与这个极限的偏差有多大。列与这个极限的偏差有多大。 例如，独立地抛掷一枚均匀骰子，以例如，独立地抛掷一枚均匀骰

15、子，以 Xk 记记第第 k 次抛掷出来的点数。次抛掷出来的点数。n 次抛掷的平均点数：次抛掷的平均点数： Yn = X1 + + Xn n 因为因为 Xk 的期望是的期望是3.5，方差，方差35/12， 当当 n 很大很大(即抛掷次数足够多即抛掷次数足够多)时，从大数定律时，从大数定律我们知道平均点数我们知道平均点数 Yn很接近很接近 3.5 ，或者是，或者是 n 次抛次抛掷的点数总和掷的点数总和 Sn = n Yn 很接近很接近 3.5n 。 而中心极限定理的含义是：而中心极限定理的含义是： | Sn 3.5 n | x (35n/12)0.5 的概率接近的概率接近 2 (x) 1 取取 n = 1000、x = 1，则我们可以肯定点数总和在则我们可以肯定点数总和在3450 3550 之间的概率大约是之间的概率大约是 0.68， 如果如果 x = 0.6744，则则1000次抛掷的点数总和在区间次抛掷的点数总和在区间350036 之内与在这个区间之外的可能大致相等。之内与在这个区间之外的可能大致相等。 “极限极限” 的含义不同的含义不同 大数定律里的极限是指概率意义上的极限，大数定律里的极限是指概率意义上的极限， 它在本质上是一种数列的收敛；它在本质上是一种数列的收敛；