构造法求数列通项

1、构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 构造法求数列通项构造法求数列通项 点燃青春激情点燃青春激情 成就非凡梦想成就非凡梦想 ( ) n af n 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 数列的通项公式是数列的核心内容之数列的通项公式是数列的核心内容之 一一,它如同函数中的解析式一样它如同函数中的解析式一样,有了解析式有了解析式 便可研究其性质等便可研究其性质等; 而有了数列的通项公式便可求出任一而有了数列的通项公式便可求出任一 项以及前项以及前n项和等项和等.因此因此,求数列的通项公式

2、求数列的通项公式 往往是解题的突破口、关键点往往是解题的突破口、关键点. 因此近年来因此近年来 的高考题中经常出现给出数列的解析式的高考题中经常出现给出数列的解析式 （包括递推关系式和非递推关系式），求（包括递推关系式和非递推关系式），求 通项公式的问题，对于这类问题考生感到通项公式的问题，对于这类问题考生感到 困难较大困难较大. 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 1、数列、数列 的一个通项公式为的一个通项公式为 _。 48 16 2, 37 15 3、在数列、在数列 中，中， ，则，则 _ n a 11 1,21 nn aaan n

3、 a 2 n 2 ( 1) 21 n n n n a 4、数列、数列 中，若中，若 ,则则 _ _ n a 11 1, 11(2) 2 nn anana n n a 1 1n n 2、数列、数列 的前的前 项和项和 , 则则 _。 n an 2 1 n sn n a 2 ,1 21,2 n nn 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 2 nnn asa、由 与 的关系求 1 1 (1)2 1 ; ,2 nn n sn ssn nn n 已知s 求a 时，要分n=1和两种情况讨论，然后 验证两种情况可否统一的解析式表示，若不能则用分段 ，

4、函数的形式表示为a nn as（2）当 与 在同一关系式中 1、观察法、观察法 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 11 1 ,20(2), 2 2 nnnnn n ansaas sn a 已知数列前 项和为 ，且 求的通 例1、 项公式。 1( 2), nnn assn 解：（1） 11 20 nnn n sss s 1 1 2 nn n n ss s s 1 11 2 nn ss 即 1 n s 为等差数列 1, 2 nn ssn n 用a代入变形为等差、等比数列问题来解. 1 (1) n s 求证为等差数列； 构造法求数列通项构造

5、法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 11 1 ,20(2), 2 1 (1)2 nnnn n n nsaas sn a s 已知数列前 项和为，且 求证为 例1 等差数列；求的 、 通项公式。 1 111 nn sss 2为等差数列（n-1）2=2n n s 1 = 2n 1 1 2(1) nnn ass n 1 又-= 2n (1) n a n 1 2n (2)n 1 1 ; 2 a 而 1 ,1 2 ,2 (1) n n a n n 1 2n 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 3、已知数列的递

6、推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： n1n+1n n 在数列 a 中，a =1，a=a +2n+1， 求数列 a通 3、 项公式. 累累 加加 法法 反思：反思：哪一类题型可用累加法求通项？哪一类题型可用累加法求通项？ an+1-an=d (d为常数 为常数)（1） f(n) (f(n)可求和可求和) 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： 1n n a a q (q为常数为常数)(2)( )( ( )g ng n可求积 4 4、已知数列已知数列 an n 满足满足 a1

7、1= ,(n+1)= ,(n+1)an n=(n-1)=(n-1)an-1 n-1 (n(n2)，求数列，求数列an的通项公式的通项公式. 2 1 1 123321 34511 n nnn aa nnn )1( 1 nn 累累 积积 法法 反思：反思：哪一类题型可用累积法求出通项？哪一类题型可用累积法求出通项？ 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： . nn aa 1n+1n 例2、数列中，a =3，a=2a +3,求通项 1 (3)( ,) nn apaq p q n 形如为非

8、零常数 的， 若p=1，则 a为等差数列，否则，构造等比数列 +t+t2t-t=3 3 n+1n n 变形得a=2（a）且，构造分析：得 数列 a为等比数列 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： . nn aa 1n+1n 例2、数列中，a =3，a=2a +3,求通项 +t+t n+1n 令a=2（a解：）2t-t=3且，得t=3 362 n 则数列 a是以为首项， 为公比的等比数列 3=6 2 n-1 n a =6 23 n-1 n 则a 构造法求数列通项构造法求数列通项 武

9、岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： 1 (4)( , ,) n n n parq ap q r qarpp n+1n 11 形如为非零常数的，将其变形为 aa 1q p n 若p=r,则是等差数列，公差为，可用公式求通项 a 若pr，则采用 3 的办法求 . 2 1 3 n a n-1 1nn n-1 a1 已知数列中，a = ，a =n2 ，求变通项a 3a 式 ： nn n 11 2322t-t=3 aa 1 3 a tt n-1n-1 11 变形得=分+=且，构造得 aa 数列为 析： 等比数列 构造法求数

10、列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 12 n nn+1n1 n 已知数列 a 满足a=2a +3，且a 求数列 a 的通 变式 ： 项公式 1 1 1 (5)+( , , 3 ) n n nn nn apa q r p q r r p q rrr n+1n n 形如为非零 a 若p=r，则为等差数列，否则采用 常数 aa 将其变形 （ 为 ）的办法 nnn+1n n+1n nn aa a =2a +3 两边除以3解得=2 33 ：+1 1 1 n b n+1n nn-1 n nn n-1 aa2 整理的=+1 333 a2 令b，有b 33 1

11、t-1,3 n btttt n 22 b且则 33 2 3-2 3 n b是以 为首项，为公比的等比数列 11 1 1 22 3=-2,=-23 33 2 32332 3 nn nn n nnn n bb a 则即 故 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 1 3 913 n nnn-1 n 已知数列 a 满足a =2a+ - n2 ，且a 求数列 a 的 变式 ： 通项公式 差分法是解决递推数列的主要方法，其作用 是转化出等差或 评析： 等比数列 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期

12、一 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： 1 (6)( , ,) nn apaqnr p q r 形如为非零常数 11 3,23 -3, . 4 nnn aaaan n 变式 ：已知数列中， 求通项a 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 求解通项的几种方法：求解通项的几种方法： 1 (3)( ,) nn apaq p q 形如为常数 的 1 (4)( , ,) n n n pa ap q r qar 形如为常数 1 (5)+( , ,0) n nn apa q rp q rpqr 形如为常数,且的; 1 (6)(

13、, ,); nn apaqnr p q r 形如为常数 的 1、观察法（归纳猜想法）、观察法（归纳猜想法） 2、和与项的关系、和与项的关系（注意：不要忘记讨论（注意：不要忘记讨论n=1的情形）的情形） 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： （1）累加法；）累加法；（2）累积法；）累积法； 构造法求数列通项构造法求数列通项 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 常用数学思想常用数学思想: 1化归思想；化归思想； 2. 换元思想；换元思想； 3. 方程思想方程思想; 4. 分类思想分类思想 作业：限时作业作业：限时作业 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 构造法求数列通项构造法求数列通项 武岭中学高三数学组徐云燕徐云燕 2021年7月26日星期一 3、已知数列的递推公式求通项：、已知数列的递推公式求通项： 21 2111 1 (7)( ,) , , nnn nnnnnn nn apaqa p q aaq aaaa