第3章 运动的守恒定律

1、第三章第三章 运动的守恒定律运动的守恒定律一一. .保守力保守力 如果有一力，它对质点所作的功只决定于作如果有一力，它对质点所作的功只决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关，或沿任意功的起点和终点而与作功的路径无关，或沿任意闭合路径一周闭合路径一周 作功为零称此力为作功为零称此力为保守力保守力或或有势力有势力。不具备这种性质的力叫做不具备这种性质的力叫做非保守力非保守力。 设质量为设质量为m的物的物体在体在重力的作用下重力的作用下从从a点沿任一曲线点沿任一曲线acacb运动运动到到b点。点。1.1. 重力作功重力作功Ghbahh ahabcbhdr 在在元位移元位移 中，中，重重力力 所做的

2、元功是所做的元功是 r GcosAGr hmgAAhmghmgbamghmgh Ghbahh ahabcbhdr 由此可见，重力由此可见，重力作功作功仅仅与物体的仅仅与物体的始始末末位置有关位置有关，而，而与与运运动物体所经历的动物体所经历的路径路径无关无关。bamghmghA 设物体沿设物体沿任一闭任一闭合合路径路径 运动一运动一周，重力所作的功为：周，重力所作的功为：baadbmghmghA)(babcamghmghAGhbahh ahabcbhdadbcar0bcaadbAAAd0AGr 表明：表明：在重力场中物体在重力场中物体沿沿任一闭合任一闭合路径运动一周时路径运动一周时重力所作的功

3、重力所作的功为零。为零。Ghbahh ahabcbhdr 如用如用矢量点积矢量点积的方法描述的方法描述重力的功，重力的功，则更方便则更方便。 此式表明此式表明重力的功重力的功只决定于作功只决定于作功的的起点起点和和终点终点而与作功的而与作功的路径无关。路径无关。dAmg dy dr=P (+mg j ).( dxidy j )yx0yyaabbdrPmg dyyy=()Aabmgmgybya沿沿任意闭合路径一周任意闭合路径一周 保守力作功为零保守力作功为零： d0AFr2. 2. 弹性力的功弹性力的功 弹簧劲度系数为弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一，一端固定于墙壁，另一端系一质量为端系

4、一质量为m的物体，置于的物体，置于光滑水平光滑水平地面。地面。XOXxbOxax0l设设 a a、b b 两点为弹簧伸长后物体的两个位置，两点为弹簧伸长后物体的两个位置，x xa a 和和 x xb b 分别表示物体在分别表示物体在a a、b b 两点时距两点时距 0 0 点的点的距离。距离。abXxbOxax0ldbaxxAFrbaxxxkxd222121bakxkx 由此可见，由此可见，弹性力作功弹性力作功也仅仅与质也仅仅与质点的点的始末位置始末位置有关，有关，与具体路径无关与具体路径无关。dAF dr,Fkxi ,drdxi3.3. 万有引力万有引力的功的功 两个物体两个物体的质量分别为

5、的质量分别为M和和m，它们之，它们之间有间有万有引力万有引力作用。作用。M静止，以静止，以M为原点为原点O建建立坐标系，研究立坐标系，研究m相对相对M的运动的运动。FmOMrFAddcosMmMmMmMmrrrrGGGGabsinF=()(dAA2222FF dr.90 +0dr=rraabbdrrGMmGMmrrrdrFMmrdrab万有引力的功万有引力的功 由此可见由此可见，万有引力作功也仅仅与，万有引力作功也仅仅与质点的质点的始末位置有关始末位置有关，与具体路径，与具体路径无关。无关。)11(0重力、万有引力、弹性力都是重力、万有引力、弹性力都是保守力保守力摩擦力摩擦力不是不是保守力保守

6、力记住记住 保守力的保守力的判据判据是：是：d0Fr任意 设有设有两个两个质点质点1 1和和2 2，质量分别为，质量分别为 和和 ， 为为质点质点1 1受到质点受到质点2 2的作用力，的作用力， 为质点为质点2 2受到质点受到质点1 1的的作作用力，它们是一对用力，它们是一对作用力作用力和和反作用力反作用力。1m1F2m2F1m2m1r2r2rd1rd1rdrdr1F2FrrdxyzO111ddrFA2211dddrFrFA222ddrFA)d(dd1211rrFrFrFrFFdd)(2122rFd2由此可见，由此可见，成对作用力成对作用力与与反作用力反作用力所作的所作的总总功功只与作用力只与

7、作用力 及及相对位移相对位移 有关，而有关，而与每个质点各自的运动无关。与每个质点各自的运动无关。2Frd 保守力保守力的的普遍定义普遍定义：在任意的参考：在任意的参考系中，系中，成对保守力的功成对保守力的功只取决于只取决于相互作相互作用质点的用质点的始末相对位置始末相对位置，而与各质点的，而与各质点的运动路径无关。运动路径无关。 表明：表明：任何一对作用力和反作用力任何一对作用力和反作用力所作的总功所作的总功具有具有与参考系选择无关与参考系选择无关的不的不变性质。变性质。根据这一特点，就可以按下述方法计算根据这一特点，就可以按下述方法计算一对力的一对力的功：功：例如，质量为例如，质量为m m

8、的物体的物体在地面以上在地面以上下落高度下落高度h h时，时，重力及其反作用力重力及其反作用力所做的功为所做的功为mghmgh. .认为认为一个质点静止一个质点静止而以它所在的位置为而以它所在的位置为坐标原点坐标原点，再计算另一个质点再计算另一个质点在此坐标系中运动时在此坐标系中运动时它所受的它所受的力所做的功。力所做的功。这样用一个力计算出来的功，也就这样用一个力计算出来的功，也就是相应的是相应的一对力一对力所做的所做的功之和功之和。每对内力每对内力所做功所做功并不一定为零并不一定为零 有人认为有人认为作用力作用力和和反作用力大小相等、方反作用力大小相等、方向相反，向相反，因此，系统内力的功

9、的代数和必因此，系统内力的功的代数和必等于零，等于零，这是这是错误错误的！的！ 势能：势能：质点在质点在保守力场保守力场中与位置相关的能中与位置相关的能量。量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动能。三、三、 势能势能几种常见的势能几种常见的势能：重力势能重力势能mghEp弹性势能弹性势能221kxEp万有引力势能万有引力势能rMmGEp0r取 时，引力势能为0 涉及涉及重力势能重力势能时，一定要将时，一定要将地球地球列列入系统。入系统。重力势能重力势能是指是指质量为质量为m m的物体的物体与与地球地球所组成的所组成的系统系统拥有的重力势能，而拥有的重力势能，而不不属于

10、属于其中其中个别的物体个别的物体。并设并设质量为质量为m m的物体在地球表面时，系统的物体在地球表面时，系统的的重力势能为零。重力势能为零。注意注意上述公式的上述公式的适用条件：适用条件：mghEp设设弹簧弹簧为为原长时原长时弹性弹性势能势能为为零零。弹性势能弹性势能21( )2pExkx即即: :式中式中x x 代表弹簧的代表弹簧的绝对变形量绝对变形量. .万有引力势能万有引力势能rMmGEp0上述公式上述公式成立条件成立条件：两物体质量两物体质量分别为分别为M M和和m m，两者间的距离为，两者间的距离为r r, , 并设并设两者间的两者间的距离距离为为无穷远时无穷远时引力势能引力势能为为

11、零零。此时此时的的引力势能引力势能应等于把应等于把质点质点m m从从目目前位置前位置移动到移动到无穷远处无穷远处( (引力势能为引力势能为零零处处) )万有引力万有引力所做的功。所做的功。rMmGEp0rMmGdrrMmGAAErrp020d注意注意 万有引力势能是由万有引力势能是由质量分质量分别为别为M M和和m m两物体组成的系统所两物体组成的系统所共同拥有的。共同拥有的。保守力的功保守力的功()c abpapbpAEEE 上式的意思是，上式的意思是，系统系统在由在由位置位置a a 改变到改变到位置位置 b b时，时，成对保守内力的功成对保守内力的功等于等于系统势能系统势能的减的减少（或势

12、能增量的负值）。少（或势能增量的负值）。注意：注意： （1）势能势能既取决于系统内物体之间相互作用的既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的形式，又取决于物体之间的相对位置相对位置，所以，所以势势能是属于物体系统的能是属于物体系统的，不为，不为单个物体单个物体所具有。所具有。（2）物体系统在两个不同位置的）物体系统在两个不同位置的势能差势能差具具有一定的量值，它可用有一定的量值，它可用成对保守力作的功成对保守力作的功来来衡量。衡量。（3）势能差有）势能差有绝对绝对意义，而意义，而势能势能只有只有相对意相对意义。势能零点义。势能零点可根据问题的需要来可根据问题的需要来选择。选择。

13、（4）势能属于保守力相互作用系统）势能属于保守力相互作用系统,是由是由相对位置相对位置决定的函数决定的函数.（5 5）空间某点的势能空间某点的势能是相对是相对零势能点零势能点的的, ,数值上等于由数值上等于由该点该点移动到移动到势能零点势能零点时时, ,保守力保守力所作的功所作的功. .四四. . 势能曲线势能曲线o)(hEphhEpEHHE重力势能重力势能kEpEE)(xEpxABo弹性势能弹性势能xpEEo0kEkEpE引力势能引力势能势能曲线的作用：势能曲线的作用： （1）根据势能曲线的形状）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动可以讨论物体的运动。 （2）利用势能曲线，可以判断物体在各个

14、位置）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向。所受保守力的大小和方向。pppEEEA)(12pEAdddcos dAFxxEFpxdd 表明：表明：保守力保守力沿某坐标轴的沿某坐标轴的分量分量等于势能等于势能对此坐标的导数的负值。对此坐标的导数的负值。微分形式：微分形式：设系统内的物体在保守力设系统内的物体在保守力F 的作用下，沿的作用下，沿x 轴发生轴发生位移位移dx 时，保守力作功时，保守力作功dxFx例题例题3-13-1 一质量为一质量为m m=1=1kgkg的物体，在保守力的物体，在保守力F F（x x）的作用下，沿的作用下，沿x x 轴正向运动（轴正向运动（x x

15、00）。与该保守力）。与该保守力相应的势能是相应的势能是式中式中x以以m为单位，势能以为单位，势能以J为单位为单位a =1Jm2,b=2J m 。a）画出物体的势能曲线；画出物体的势能曲线；b）设设物体的总能量物体的总能量E E =-0.50=-0.50J J 保持不变保持不变，这表明物体的，这表明物体的运运 动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。计算的方法求物体的运动范围。)0()(2 xxbxaxEp解解 （a) 根据根据)0()(2 xxbxaxEp取下列数据来取下列数据来 画出势能曲线画出势能曲线x/mEp(x)

16、/J0.20.51.501-1.0-0.75-0.55-0.44234现在，用式（现在，用式（3-8）求物体）求物体的的平衡位置平衡位置232xbxadxdEFp 令令F=0,解得解得 x=1m ，这就是物体的，这就是物体的平衡位平衡位置置，在该点，在该点，势能有极小值势能有极小值，如图所示。，如图所示。 10 01 12 21 12 23 34 4x /mEP /J（b）当物体的总能量当物体的总能量E=-0.50J保持不变时保持不变时， 令令Ep(x)=E就可求得物体的就可求得物体的Ek=E-Ep为为0的位置，因此，令的位置，因此，令由此解得由此解得Jxbxa50.02 mmmx14.359

17、.0)22(亦即物体的运动范围在亦即物体的运动范围在x1=0.59m与与x2=3.14m之间。之间。 10 01 12 21 12 23 34 4x /mEP /J3-2 3-2 功能原理功能原理1. 1. 质点系统动能定理质点系统动能定理 设系统由两个质点设系统由两个质点1 1和和2 2组成，它们的质量组成，它们的质量分别为分别为m1 和和m2。1m2m12f21f2s1s1F2F1m2m12f21f2s1s1F2F对质点对质点1 1应用动能定理：应用动能定理：111211ddkErfrF对质点对质点2 2应用动能定理：应用动能定理：222122ddkErfrF212211122211ddd

18、dkkEErfrfrFrF系统外力的功系统内力的功系统动能的增量kieEAA 质点系统的动能定理：系统的外力和内力作质点系统的动能定理：系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。功的总和等于系统动能的增量。kieEAA2. 2. 系统的功能原理系统的功能原理 因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和和非保守内力的功非保守内力的功 。 icAidAidiciAAApicEAEEEAApkide 系统的功能原理：当系统从状态系统的功能原理：当系统从状态1 1变化到

19、状态变化到状态2 2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理系统的功能原理。注意：注意： (1) (1)当我们取物体作为研究对象时，使用的是单当我们取物体作为研究对象时，使用的是单个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用个物体的动能定理，其中外力所作的功指的是作用在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包在物体上的所有外力所作的总功，所以必须计算包括重力、弹性力的一切外力所作的功。括重力、弹性力的一切外力所作的功。 (2) (2)当我们取系统作为研究对象时，由于应用了当我们取系统

20、作为研究对象时，由于应用了系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统系统这个概念，关于保守内力所作的功，已为系统势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算势能的变化所代替，因此在演算问题时，如果计算了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；了保守内力所作的功，就不必再去考虑势能的变化；反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力反之，考虑了势能的变化，就不必再计算保守内力的功。的功。例题例题3-2 3-2 一汽车的速度一汽车的速度v v0 0=36km/h,=36km/h,驶至一斜率为驶至一斜率为0.0100.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦的斜坡时，关闭油门。设车与路面间

21、的摩擦阻力为车重阻力为车重G G的的0.050.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？倍，问汽车能冲上斜坡多远？解解 解法一：取汽车为研究解法一：取汽车为研究对象。汽车上坡时，受到三对象。汽车上坡时，受到三个力的作用个力的作用: :一是沿斜坡方一是沿斜坡方向向下的摩擦力向向下的摩擦力 , ,二是二是重力重力 , ,方向竖直向下，方向竖直向下，三是斜坡对物体的支持三是斜坡对物体的支持力力 , ,如图所示。设汽车如图所示。设汽车能冲上斜坡的距离为能冲上斜坡的距离为s s，此，此时汽车的末速度为时汽车的末速度为0 0。根据。根据动能定理动能定理rfNGsGG1G2Nfr 上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗

22、于反抗上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因摩擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因f fr r= = N= N= G G1 1, ,所以所以按题意，按题意，tgtg =0.010=0.010，表示斜坡与水平面的夹角很，表示斜坡与水平面的夹角很小，所以小，所以sin sin tg tg ，G G1 1 G,G,并因并因G=mg,G=mg,上式上式可化成可化成20210sinmvGssfr （1）20121sinmvGssG （2）2021vgstggs （3）mms85)010.005.0(8 .92102 )(220 tggvs 或或代入已知数字得

23、代入已知数字得201sin-0)+(0-)2rfsGsmv （4）即即 sin2120GsmvGs 解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系统内只有汽车受到统内只有汽车受到 和和 两个力的作用，运用系两个力的作用，运用系统的功能原理，有统的功能原理，有rfN解解 在物体从在物体从A A到到B B的下滑过程中，不仅有重力的下滑过程中，不仅有重力 G G 的作用，的作用，而且还有摩擦力而且还有摩擦力F F和正压力和正压力N N 的作用，的作用，F F与与 N N 两者都是变两者都是变力。力。N N 处处和物体运动方向相垂直，所以它是不作功，但处处和物

24、体运动方向相垂直，所以它是不作功，但摩擦力所作的功却因它是变力而使计算摩擦力所作的功却因它是变力而使计算复杂起来，比较方便的方法是采用功复杂起来，比较方便的方法是采用功能原理进行计算，把物体和地球作为能原理进行计算，把物体和地球作为系统，则物体在系统，则物体在A A点时系统的能量点时系统的能量E EA A是是系统的势能系统的势能mgRmgR，而在，而在B B点时系统的能点时系统的能量量E EB B则是动能则是动能mvmv2 2/2/2，它们的差值就是，它们的差值就是摩擦力所作的功，由此摩擦力所作的功，由此例题例题3-3 3-3 在图中，一个质量在图中，一个质量m=2kgm=2kg的物体从静止开

25、始，的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从沿四分之一的圆周从A A滑到滑到B B，已知圆的半径，已知圆的半径R=4mR=4m，设，设物体在物体在B B处的速度处的速度v=6m/sv=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。作的功。 ORABNGfrvJJJmgRmvEEAAB4 .4248 .9262212122负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功力作功42.4J42.4J例题例题3-4 3-4 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它伯努利方程是流体动力学的基本定律，它说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某说明

26、了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某点的压强点的压强p p、流速、流速v v和高度和高度h h三个量之间的关系为三个量之间的关系为式中式中 是流体的密度，是流体的密度，g g是重力加速度。试用功能原是重力加速度。试用功能原理导出伯努利方程。理导出伯努利方程。常常量量 hgvgp22 解解 如图所示，我们研究管如图所示，我们研究管道中一段流体的运动。设在道中一段流体的运动。设在某一时刻，这段流体在某一时刻，这段流体在a a1 1a a2 2位置，经过极短时间位置，经过极短时间 t t后，后，这段流体达到这段流体达到b b1 1b b2 2位置位置v1v2p2 S2p2 S2h1h2a1b1a

27、2b2现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假现在计算在流动过程中，外力对这段流体所作的功。假设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对设流体没有粘性，管壁对它没有摩擦力，那么，管壁对这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。这段流体的作用力垂直于它的流动方向，因而不作功。所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体所以流动过程中，除了重力之外，只有在它前后的流体对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正对它作功。在它后面的流体推它前进，这个作用力作正功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。功；在它前面的流体阻碍它前进，这个作用力作负功。 因为时间因为时间

28、 t t极短，所以极短，所以a a1 1b b1 1和和a a2 2b b2 2是两段极短的位移，是两段极短的位移，在每段极短的位移中，压强在每段极短的位移中，压强p p、截面积、截面积S S和流速和流速v v都可看作都可看作不变。设不变。设p p1 1、S S1 1、v v1 1和和p p2 2、S S2 2、v v2 2分别是分别是a a1 1b b1 1与与a a2 2b b2 2处流体处流体的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是的压强、截面积和流速，则后面流体的作用力是p p1 1S1S1，位，位移是移是v v1 1 t t，所作的正功是所作的正功是p p1 1S S1 1v v1

29、 1 t t ，而前面流体作用力，而前面流体作用力作的负功是作的负功是-p-p2 2S S2 2v v2 2 t t ，由此，外力的总功是，由此，外力的总功是 其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定流动其次，计算这段流体在流动中能量的变化对于稳定流动来说，在来说，在b b1 1a a2 2间的流体的动能和势能是不改变的。由此，间的流体的动能和势能是不改变的。由此，就能量的变化来说，可以看成是原先在就能量的变化来说，可以看成是原先在a a1 1b b1 1处的流体，处的流体，在时间在时间 t t内移到了内移到了a a2 2b b2 2处，由此而引起的能量增量是处，由此而引起的能量增量是因为

30、流体被认为不可压缩。所以因为流体被认为不可压缩。所以a a1 1b b1 1和和a a2 2b b2 2两小段流体两小段流体的体积的体积S S1 1v v1 1 t t和和S S2 2v v2 2 t t必然相等，用必然相等，用 V V表示，则上式表示，则上式可写成可写成 VPPA 21)21()21()21()21(12122122212212ghvghvVmghmvmghmvEE1 1 1222AP S vP S vt)21()21()(12122212ghvghvVVpp222121122121ghvpghvp 从功能原理得从功能原理得整理后得整理后得这就是伯努利方程，它表明在同一管道中

31、任何一点处，这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。在工程上，上式常写成常量。在工程上，上式常写成常常量量 hgvgp22 、gp hgv、22三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、所以伯努利方程表明在同一管道的任一处，压力头、速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想速度头、水头之和是一常量，对作稳定流动的理想流体，用这个方程对确定流体内部压力和流速有很流体，用这个方程对确定流体内部

32、压力和流速有很大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有大的实际意义，在水利、造船、航空等工程部门有广泛的应用。广泛的应用。 机械能守恒定律：机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。PKEEE常量常量或或PbPaKaKbEEEE或或3-3 3-3 机械能守恒定律机械能守恒定律 能量守恒定律能量守恒定律1. 1

33、. 机械能守恒定律机械能守恒定律条件条件0ideAAPbKbPaKaEEEE定律定律2. 2. 能量守恒定律能量守恒定律 一个孤立系统经历任何变化时，该系统一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量个物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守恒定律守恒定律。例题例题3-5 起重机用钢丝绳吊运一质量为起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以的物体，以速度速度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，作匀速下降，如图所

34、示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？长？(设钢丝绳的劲度系数为设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不，钢丝绳的重力忽略不计计)。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？大？Gx0hTv0解解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都不作功，所以系统的机械能守恒。不作功，所以系统的机械能守恒。x0hGTv0 现在研究两个位置的

35、机械能。现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停在起重机突然停止的那个瞬时位置，物体的动能为止的那个瞬时位置，物体的动能为20121mvEk 设这时钢丝绳的伸长量为设这时钢丝绳的伸长量为x0，系统的弹性势能为，系统的弹性势能为20121kxEp 弹弹 如果物体因惯性继续下降的微小距离为如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并，并且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统这时的重力势能为统这时的重力势能为mghEp 重重1所以，系统在这位置的总机械能为所以，系统在这位置的总机械能为mghkxmvEEEEppk 202011112121重重弹弹 在

36、物体下降到最低位置时，物体的动能在物体下降到最低位置时，物体的动能E Ek2k2=0=0，系统的弹性势能应为系统的弹性势能应为202)(21hxkEp 弹弹此时的重力势能此时的重力势能02 重重pE202222)(21hxkEEEEppk 重重弹弹所以在最低位置时，系统的总机械能为所以在最低位置时，系统的总机械能为按机械能守恒定律，应有按机械能守恒定律，应有E E1 1E E2 2，于是，于是202020)(212121hxkmghkxmv 021)(212002 mvhmgkxkh 由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长x0量满足量满足x0=G/k=mg/k，代

37、入上式后得，代入上式后得0202 mvkh0vkmh 即即 钢丝绳对物体的拉力钢丝绳对物体的拉力T和物体对钢丝绳的拉力和物体对钢丝绳的拉力 是是一对作用力和反作用力。一对作用力和反作用力。 和和T的大小决定于钢丝绳的大小决定于钢丝绳的伸长量的伸长量x， =kx。现在，当物体在起重机突然刹车。现在，当物体在起重机突然刹车后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量x=x0+h是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力000)()(vkmmgvkmkmgkhxkTm 由此式可见，如果由此式可见，如果v0较大，较大

38、， 也较大。所以对也较大。所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不得超过不得超过某一限值。某一限值。mT T T T 3-4 3-4 质心质心 质心运动定理质心运动定理 动量守恒定律动量守恒定律 火箭飞行火箭飞行1. 1. 质心质心抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程C COXY 质 点 系 的 质质 点 系 的 质量分布中心，简量分布中心，简称质心。称质心。具有长具有长度的量纲，描述度的量纲，描述与质点系有关的与质点系有关的某一空间点的位某一空间点的位置。置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。对于对于N个质点组成的质点系：

39、个质点组成的质点系：Nimmmm,21Nirrrr,21Mxmxiic/Mymyiic/Mzmziic/imMMrmriic/ 直角坐标系中直角坐标系中cr是质心位矢质心求解公式Mmrrc/d 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体分量形式分量形式Mmxxc/dMmyyc/dMmzzc/d面分布面分布体分布体分布线分布线分布lmddSmddVmdd质心求解公式面分布面分布体分布体分布线分布线分布lmddSmdd注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀

40、的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质质心与重心位置重合。心与重心位置重合。质心与重心的联系和区别(1)在地面附近，尺寸不十分大的物体，质点系的质心与重心重合。(2)质心比重心具有更广泛的意义。物体远离地面，研究重心无意义。例题例题3-73-7求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。axdxdxxdmxdmxaac32222/02/02 三角形质心坐标三角形质心坐标x xc c是是dxxdm 2 dxxO

41、xya解解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。以此分角线为所以质心位于此分角线上。以此分角线为x x轴，作坐轴，作坐标轴如所示。标轴如所示。 在离原点处取宽度为在离原点处取宽度为dxdx的面积元，由的面积元，由于面积元的高度为于面积元的高度为2y2y，所以其面积为，所以其面积为2ydx=2xdx2ydx=2xdx。设。设薄板每单位面积的质量为薄板每单位面积的质量为 ，则此面积元的质量，则此面积元的质量 例例1：确定半径为确定半径为R的均质半球的质心位置。的均质半球的质心位置。解：建立如图所示坐标解：建立如图所示坐标 已知薄圆

42、盘的质心位已知薄圆盘的质心位于圆心，取厚度为于圆心，取厚度为dy的的薄圆盘为质量微元。薄圆盘为质量微元。yyRmdd22mmyycdRXYOdyy3/2d)(3022RyyRyR3/4d30222RyyRR304224)2/(3RyyRR3/42/334RR83 R质心在距球质心在距球心心3R/8处。处。mmyycd2. 2. 质心运动定理质心运动定理iiicmrmr 设有一个质点系，由设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心个质点组成，它的质心的位矢是：的位矢是：nnnnmmmrmrmrm212211质心的速度为质心的速度为trvccddiiimtrmddiiimvm质心的加速度为质心的加速

43、度为tvaccddiiimtvmddiiimam由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得nfffFtvmam1131211111ddnfffFtvmam2232222222ddnnnnnnnnnfffFtvmam32dd对于内力对于内力iiiFam, 0, 02112niinffffiiicmamaMFmFaiiicciaMF质心运质心运动定理动定理 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中

44、作用其上的一个质点的运动一样。用其上的一个质点的运动一样。注：内力不能改变质心运动轨迹3. 3. 动量守恒定律动量守恒定律Mvmviic=常矢量常矢量iiim vPvcM=常矢量常矢量 如果系统所受的外力之和为零（即如果系统所受的外力之和为零（即 ），），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒动量守恒定律。定律。0iF条件条件0iF定律定律即：0ca 动量守恒定律：如果系统所受到的外力之和为零（即 ）或或系统内各物体不受外力或或系统所受外力远比系统内相互作用的内力小（如碰撞过程），则系统的总动量 保持不变。0iF P直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的

45、分量形式nxnxxvmvmvm2211=常量常量nynyyvmvmvm2211=常量常量nznzzvmvmvm2211=常量常量0ixF0iyF0izF(若 )(若 )(若 )注：外力之和不为零，但外力在某一方向的分量之和为零，则总动量在该方向的分量是守恒的。4.4.* *火箭飞行火箭飞行前苏联东方前苏联东方1 1号火箭号火箭长征三号运载火箭长征三号运载火箭火箭发射火箭发射4.4.* *火箭飞行火箭飞行 设在某一瞬时设在某一瞬时 ，火箭的，火箭的质量为质量为 ，速度为，速度为 ，在其，在其后后 到到 时间内，火箭喷时间内，火箭喷出了质量为出了质量为 的气体，的气体， 是是质量质量 在在 时间内

46、的增量，时间内的增量，喷出的气体相对于火箭的速喷出的气体相对于火箭的速度为度为 ，使火箭的速度增加，使火箭的速度增加了了 。tmvtttdmdmdmtduvd喷气前总动量为：喷气前总动量为：vm喷气后火箭的动量为：喷气后火箭的动量为：)d)(d(vvmm所喷出燃气的动量为：所喷出燃气的动量为：)(d(uvmvvvdMt时刻t+dt时刻M-dmdmu 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量守恒定律变。根据动量守恒定律)(d()d)(d(uvmvvmmmv设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量mmuvdd化简化

47、简2121ddmmvvmmuv2112lnmmuvvMMummuvMM0lnd0 设火箭开始飞行的速度为零，质量为设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达，此时火箭能达到的速度是到的速度是0MM火箭的质量比多级火箭多级火箭iininNuvln1iu第第i i级火箭喷气速率级火箭喷气速率iN第第i i级火箭质量比级火箭质量比第一宇宙速度第一宇宙速度地球表面处的环绕速度，其值约为7.9km/s。在地面上向远处发射炮弹，当炮弹的速度达到“7.9千米/秒”时，炮弹不再落回地面。第二宇宙速度第二宇宙速度人造天体脱离地球引力束缚所需的最

48、小速度，约11.2千米/秒。该物体飞离地球进入环绕太阳运行的轨道第三宇宙速度第三宇宙速度人造天体从地球起飞脱离太阳系的最低飞行速度，约为16.7km/s。该物体摆脱太阳系引力场的束缚，飞向宇宙空间。例题例题3-8 如图所示如图所示,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为，炮弹的出口速度为v，求，求炮车的反冲速度炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。解解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支

49、持力和地面支持力 ，而，而且且 ，在发射过程中，在发射过程中 并不成立并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。零，所以这一系统的总动量不守恒。NGNGNG vmMVvu它的水平分量为它的水平分量为Vvux cos于是，炮弹在水平方向的动量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos m(vcos -V)-V)，而，而炮车在水平方向的动量为炮车在水平方向的动量为-MV-MV。根据动量守恒定理。根据动量守恒定理有有经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度度 ，按速度变

50、换定理为，按速度变换定理为u cosvMmmV 由此得炮车的反冲速度为由此得炮车的反冲速度为 0cos VvmMV 解解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即等于零，即例题例题3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块

51、的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。 所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。小相等方向相反，如图所示。因为因为v v1 1和和v v2 2相互垂直所以相互垂直所以0332211 vmvmvmm3v3m2v2m1v1 222211233)()()(vmvmvm smvvv/2 .21303021212222213 由于由于 和和 所成角所成角 由下式决定：由下式决定：1v

52、3v 0180,45, 1012vvtg因因所以所以0135即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内01353v1v2v由于由于 , ,所以所以 的大小为的大小为3vmmmmm2,321 例题例题3-10 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将。问他们将在何处相遇？在何处相遇？解解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为

53、原点，向右建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为为x轴为正方向。设开始时质量为轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分，他们在任意时刻的速度分别别v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动学公式得由运动学公式得Cm2m1x10 x20 xO ttdtvxdtvx02200110 tdtvxx01101(1) tdtvxx02202(2)在相遇时，在相遇时，x1=x2=xc，于是有，于是有即即 tdtvvxx0122010)(3)因动量守恒，所以因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=

54、0代入式（代入式（3）得）得 ttdtvmmmdtvmmxx0122101212010)1(2110220201mmxmxmdtvt 即即代入式（代入式（1）,并令并令x1=xc得得211012022110220210mmxmxmmmxmxmxxc (4)上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出律求出 例例 一质量一质量 的人站在一条质量为的人站在一条质量为 ，长度长度 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾时

55、船移动的距离。（假定水的阻力不计。）到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） kgm501kgm2002ml4o1x1x2x2xdxybcbc解：解： 设设 表示表示船本身的质心船本身的质心bc当人站在船的左端时当人站在船的左端时212211mmxmxmcx当人站在船的右端时当人站在船的右端时212211mmxmxmcx 对船和人这一对船和人这一系统，在水平方向上系统，在水平方向上不受外力，因而在水不受外力，因而在水平方向的质心速度不平方向的质心速度不变。又因为原来质心变。又因为原来质心静止，所以在人走动静止，所以在人走动过程中质心始终静止，过程中质心始终静止，因而质心的坐标值不因而质心的

56、坐标值不变。变。ccxxo1x1x2x2xdxybcbc22112211xmxmxmxm)()(222111xxmxxml-dd)(8 . 0211mldmmmo1x1x2x2xdxybcbc碰撞碰撞 Collision 当两个物体当两个物体互相靠近互相靠近或或发生接触发生接触时，在时，在短时短时间内发生强烈相互作用间内发生强烈相互作用的过程叫做的过程叫做碰撞碰撞。例如例如:如果一个电子接近一个原子，则电力开如果一个电子接近一个原子，则电力开始发生作用，使原子的运动发生显著的扰动始发生作用，使原子的运动发生显著的扰动.网球与球拍的碰撞，一个运动的台球与一个静网球与球拍的碰撞，一个运动的台球与一

57、个静止台球的碰撞。止台球的碰撞。那么，碰撞有什么特点呢？那么，碰撞有什么特点呢？碰碰 撞撞 的的 特特 点：点：1. 作用时间短作用时间短2. 相互作用的碰撞冲力非常大相互作用的碰撞冲力非常大3. 非碰撞冲力的一般力的作用可忽略，非碰撞冲力的一般力的作用可忽略，因此因此系统动量守恒系统动量守恒 大球碰撞小球大球碰撞小球v 小球碰撞大球小球碰撞大球v 同样大小的球相碰同样大小的球相碰v 非对心碰撞非对心碰撞v正碰正碰（对心碰撞）（对心碰撞）：碰撞前后的速度都沿着球心的碰撞前后的速度都沿着球心的连连线线( (碰撞体可作球体碰撞体可作球体) )10v20v1f2f1v2v1m2m1m1m2m2m碰撞

58、后碰撞后碰撞前碰撞前碰撞时碰撞时 设设 和和 分别表示两球在碰撞前的速度，分别表示两球在碰撞前的速度， 和和 分别表示两球在碰撞后的速度，分别表示两球在碰撞后的速度， 和和 分别为两球分别为两球的质量。的质量。10v20v1m2v2m1v应用动量守恒定律得应用动量守恒定律得2211202101vmvmvmvm201012vvvve 牛顿的牛顿的碰撞定律碰撞定律：碰撞后两球的分离速碰撞后两球的分离速度度 ，与碰撞前两球的接近速度，与碰撞前两球的接近速度 成成正正比比，比值由两球的，比值由两球的材料性质材料性质决定。决定。 )(12vv )(2010vv , ,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，

59、碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，称为称为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。0e , ,机械能有损失的碰撞叫做机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞非弹性碰撞。10 e , ,分离速度等于接近速度，称为分离速度等于接近速度，称为完全弹性完全弹性碰撞碰撞。理想情形，机械能无损失。理想情形，机械能无损失。1e恢复系数恢复系数 2120102101)()1 (mmvvmevv2120101202)()1 (mmvvmevv201012vvvve2211202101vmvmvmvm令令1e21202102112)(mmvmvmmv21101201222)(mmvmvmmv1. 完全弹性碰完全弹性碰撞撞 （1

60、1）设）设 得得 ， 两球两球经过碰撞将经过碰撞将交换交换彼此的速度彼此的速度。 21mm 102,201vvvv （2 2）设）设 ，质量为，质量为 的物体在碰撞的物体在碰撞前静止不动，即前静止不动，即2m21mm 020v2110211)(mmvmmv2110122mmvmv讨论：讨论： （3 3）如果）如果12mm 12121mmmm02211mmm101vv02v 质量极大并且静止质量极大并且静止的物体，经的物体，经碰撞后碰撞后，几乎仍静几乎仍静止不动止不动，而，而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变反，大小几乎不变。2110211)