高中数学空间几何体

1、1.1 1.1 空间几何体的结构空间几何体的结构08.5.52多面体多面体结构特征图形表示法棱柱有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱柱中， 的面叫做棱柱的底面，简称底； 叫做棱柱的侧面；相邻的侧面的 叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的 叫做棱柱的顶点如上、下底面分别是四边形ABCD、四边形ABCD的四棱柱，可记为棱柱ABCDABCD平行四边形平行两个互相平行其余各面公共边公共顶点棱锥有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥这个 面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个 叫做棱锥的侧面；各侧面的 叫做棱

2、锥的顶点；相邻侧面的 叫做棱锥的侧棱如图所示，该棱锥可表示为棱锥S -ABCD多边形三角形多边形三角形面公共顶点公共边3旋转体旋转体结构特征图形表示法圆柱以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的 叫做圆柱， 叫做圆柱的轴； 的边旋转而成的 叫做圆柱的底面； 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，左图中圆柱表示为圆柱OO矩形的一边旋转体旋转轴垂直于轴圆面平行于轴不垂直于轴圆锥以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥用表示它的轴的字母表示，左图中圆锥表示为圆锥SO一条直角边圆台用

3、平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与 之间的部分叫做 与圆柱和圆锥一样，圆台也有 、 、 、 .圆台用表示轴的字母表示，左图中圆台表示为圆台OO截面圆台轴底面侧面母线思路探索 可动手做一模型解决问题底面底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点2、棱柱的表示法、棱柱的表示法(下图下图) 用平行的两底面多边形的字母表示棱用平行的两底面多边形的字母表示棱柱柱,如：棱柱如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。 3、棱柱的性质：、棱柱的性质：1) 上下底面平行上下底面平行,且是全等的多边形且是全等的多边形2) 侧棱相等且相互平行侧棱相等且相互平行3) 侧面是平行四边行侧面是平行四边行 4、棱柱的分类一、棱柱的

4、分类一(底面）：底面）：棱柱的底面棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、可以是三角形、四边形、五边形、 我我们把这样的棱柱分别叫做们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、三棱柱、四棱柱、五棱柱、五棱柱、 三棱柱三棱柱四棱柱四棱柱五棱柱五棱柱棱柱的分类二棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱正棱柱正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 有一个面是多边形，其余各面是有有一个面是多边形，其余各面是有一个公

5、共顶点的三角形，一个公共顶点的三角形， 由这些面所围由这些面所围成的几何体叫做棱锥。成的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的这个多边形面叫做棱锥的底面。底面。 有公共顶点的各个三角形叫有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的做棱锥的侧面。侧面。 各侧面的公共顶点叫做各侧面的公共顶点叫做棱锥的棱锥的顶点。顶点。 相邻侧面的公共边叫做棱锥相邻侧面的公共边叫做棱锥 的的侧棱。侧棱。棱锥的底面棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的侧棱SABCDE2.用顶点及底面一对角线字母表示，如：棱锥用顶点及底面一对角线字母表示，如：棱锥二、棱锥的表示法二、棱锥的表示法；1 .用顶点及底面各顶

6、点字母表示棱锥用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥如：棱锥三、棱锥的分类三、棱锥的分类 按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等。五棱锥等等。五棱锥五棱锥三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥(四面体四面体)四、特殊的棱锥正棱锥四、特殊的棱锥正棱锥 定义：定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心并且顶点在底面的射影是底面中心正三棱锥正三棱锥正五棱锥正五棱锥五五、正多面体：正多面体：定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同

7、数目的棱的凸多面体，叫做为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体正多面体。五、棱台的结构特征五、棱台的结构特征B B1 1A A1 1C C1 1D D1 1C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 1 棱锥：有一个面是多边形棱锥：有一个面是多边形，其余各其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。些面所围成的几何体叫做棱锥。1 1、棱台的概念：、棱台的概念：用一个平行于棱锥底面用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。叫做棱台。C C1 1 B B1 1A A1 1

8、D D1 1上底面上底面下底下底面面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点2 2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥、由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得截得的棱台，分别叫做的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，三棱台，四棱台，五棱台五棱台3、棱台的表示法：棱台的表示法： 棱台用表示上、下底面各顶点的字棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如下图，母来表示，如下图，棱台棱台ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 . .C C1 1 B B1 1A A1 1D D1 14、特殊的棱台、特殊的棱台-正棱台正棱台由正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥由正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥截得的截得的棱台，分别叫做棱台，分别

9、叫做正三棱台，正四棱台，正五正三棱台，正四棱台，正五棱台棱台三、圆柱的结构特征三、圆柱的结构特征矩矩 形形O1O 1、定义：以矩形的一边所在直、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做曲面所围成的几何体叫做圆柱圆柱。 （1）旋转轴叫做）旋转轴叫做圆柱的轴。圆柱的轴。 （2） 垂直于轴的边旋转而成垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做的圆面叫做圆柱的底面。圆柱的底面。 （3）平行于轴的旋转而成的）平行于轴的旋转而成的曲面叫做曲面叫做圆柱的侧面。圆柱的侧面。 （4）无论旋转到什么位置不）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做垂直于轴的边都叫

10、做圆柱的母线。圆柱的母线。轴轴母线母线底面底面侧面侧面2 2、表示：用表示它的轴的字母表示，如、表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱圆柱OOOO1 1。O OO O1 13 3、圆柱、圆柱与棱柱统与棱柱统称为称为柱体柱体。四、圆锥的结构特征四、圆锥的结构特征直角三角形直角三角形SAO1、定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。圆锥。 （1）旋转轴叫做）旋转轴叫做圆锥的轴。圆锥的轴。 （2） 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥

11、的底面。圆锥的底面。 （3）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做）不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。圆锥的侧面。 （4）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边）无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做都叫做圆锥的母线。圆锥的母线。OSBA轴轴底面底面侧面侧面母线母线2 2、圆锥的表示、圆锥的表示 用表示它用表示它的轴的字母表的轴的字母表示，如圆锥示，如圆锥SOSO。3 3、圆锥与、圆锥与棱锥统称为棱锥统称为锥体。锥体。3、圆台的结构特征、圆台的结构特征1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的

12、几何体叫做圆台。几何体叫做圆台。思考思考: 圆柱可以由矩形旋转得到圆柱可以由矩形旋转得到, ,圆锥可以由直圆锥可以由直 角三角形旋转得到角三角形旋转得到. .圆台可以由什么平面图形旋圆台可以由什么平面图形旋转得到转得到? ?如何旋转如何旋转? ?OO底面底面底面底面轴轴侧面侧面母线母线2 2、圆台的表示：用表示它的轴的字母表、圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆台示，如圆台OOOO3 3、圆台与棱台统称为台体。、圆台与棱台统称为台体。七、球的结构特征七、球的结构特征O O球心球心半径半径AB1、球的定义：球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的

13、几何体叫做球体，轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。简称球。（1）半圆的半径叫做）半圆的半径叫做球的半径。球的半径。（2）半圆的圆心叫做）半圆的圆心叫做球心。球心。（3）半圆的直径叫做球的）半圆的直径叫做球的直径。直径。2、球的表示：球的表示：用表示球心的字用表示球心的字母表示，如母表示，如球球O投影投影: :光线通过物体光线通过物体, ,向选定的面投射向选定的面投射, ,并并在该面上得到图形的方法在该面上得到图形的方法. .概念概念中心投影中心投影: : 投射线交于一点的投影投射线交于一点的投影1.2空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图平行投影平行投影: :投射线

14、相互平行的投影投射线相互平行的投影概念概念斜投影：斜投影：形状大小可能改变形状大小可能改变正投影正投影( (投影线正对投影面投影线正对投影面) ): :形状大小不变形状大小不变可以分为可以分为: :平行斜投影平行斜投影 平行正投影平行正投影 应用正投影法，能在投影面上反映物体应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的某些面的真实形状及大小真实形状及大小，且与物体到投，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故得到影面的距离无关，因而作图方便，故得到广泛的应用。广泛的应用。 平行投影的性质平行投影的性质（1） 直线或线段的平行投影仍是直线或线段直线或线段的平行投影仍是直线或线段. 当图形中的直

15、线或线段不平行于投射线时当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平平行投影具有下列性质行投影具有下列性质.（2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线）平行直线的平行投影是平行或重合的直线.（5）平行于投射面的线段，）平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行它的平行投影与这条线段平行且等长且等长.（4）与投射面平行的平面图形，）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等它的投影与这个图形全等.（3）在同一直线或平行直线上，两条线段的平行）在同一直线或平行直线上，两条线段的平行投影线段的长度比等于这两条线段的长度比投影线段的长度比等于这两条线段的长度比.FFV正立投影面正立投影面H水平投影

16、面水平投影面W侧侧立立投影面投影面VHWWV正视图HVH俯视图W侧视图 俯视图侧视图 正视图 “视图视图”是将物体按正投影法向投影面投射时是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图所得到的投影图 光线从几何体的光线从几何体的前面向后面前面向后面正投影，所得的正投影，所得的投影图称为投影图称为“正视图正视图” ，自左向右自左向右投影所得的投投影所得的投影图称为影图称为“侧视图侧视图”，自上向下自上向下投影所得的投影投影所得的投影图称为图称为“俯视图俯视图” 几何体的几何体的正视图正视图、侧视图侧视图和和俯视图俯视图统称为几统称为几何体的何体的三视图三视图。长方体主左俯 圆柱主左俯圆锥主左俯球

17、体正侧俯长对正高平齐宽相等 上一节学习的棱柱、棱锥、棱台以及圆台上一节学习的棱柱、棱锥、棱台以及圆台的三视图是怎样的？的三视图是怎样的？六棱柱正侧俯正三棱锥正三棱锥正正侧侧俯俯正四棱锥正侧俯正四棱台正侧俯圆台正侧俯1.2.3 1.2.3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图xyOABCDEFMNxy例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 45ABCDEFXMNYOXYOx Oy 1 1 在在六六边边形形中中，取取A AD D所所在在的的直直线线为为轴轴，对对称称轴轴所所在在直直线线为为轴轴, ,两两轴轴交交于于点点。画画相相应应的的轴轴和和轴轴，两两轴

18、轴相相交交于于点点, ,使使= =OxyOABCDEFMNOxyABCDEFMN 1.2OMNN 2 2 以以为为 中中 心心 , ,在在 X X 上上 取取 A A D D = =A AD D， 在在 y y 轴轴 上上 取取M M N N = =以以 点点为为 中中 心心 , ,画画 B B C C 平平 行行 于于 x x 轴轴 , ,并并 且且 等等 于于 B BC C; ;再再 以以 M M 为为 中中 心心 , ,画画 E E F F 平平 行行 于于 x x 轴轴 , ,并并 且且 等等 于于 E EF F. .xyOABCDEFMNOxyABCDEFMN 3 连连接接A A B

19、 B , ,C C D D , ,E E F F , ,F F A A , ,并并擦擦去去辅辅助助线线x x 轴轴和和y y 轴轴, ,便便获获得得正正六六边边形形A AB BC CD DE EF F水水平平放放置置的的直直观观图图A A B B C C D D E E F FxyOABCDEFMN 3 连连接接A A B B , ,C C D D , ,E E F F , ,F F A A , ,并并擦擦去去辅辅助助线线x x 轴轴和和y y 轴轴, ,便便获获得得正正六六边边形形A AB BC CD DE EF F水水平平放放置置的的直直观观图图A A B B C C D D E E F

20、F(1)(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x 轴和轴和y 轴轴, ,两轴两轴相交于相交于O点画直观图时，把它画成对应的点画直观图时，把它画成对应的 轴、轴、 轴轴, ,使使 , ,它确定的平面表示水平它确定的平面表示水平平面平面. .(2)(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观轴的线段，在直观图中分别画成平行于图中分别画成平行于x轴或轴或y轴的线段轴的线段(3)(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x 轴的线段轴的线段, ,在直观图中保在直观图中保持原长度不变持原长度不变; ;平行于平行于y 轴的线段轴的线段, ,长度为原来的一长度为原来的一半半

21、斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤:(平面图形平面图形) x Oy =45135 或或x y 例例2.2.用斜二测画法画长用斜二测画法画长, ,宽宽, ,高分别是高分别是4cm, 4cm, 3cm,2cm3cm,2cm的长方体的直观图的长方体的直观图xyZ 1z , z90 .xyOxO yxO 画画轴轴. .画画 轴轴, , 轴轴, , 轴轴, ,三三轴轴交交于于点点 , ,使使= =4 45 5OxyZO 2OxM NM NyPQPQMNyPQxAABCDABCD画画 底底 面面 . .以以为为 中中 心心 , ,在在轴轴 上上 取取 线线 段段, ,使使= = c cm m; ;在在轴轴

22、上上 取取 线线 段段, ,使使= = c cm m; ;分分 别别 过过 点点和和作作轴轴 的的 平平 行行 线线 , ,过过 点点和和作作轴轴 的的 平平 行行 线线 , ,设设 它它 们们 的的 交交 点点 分分 别别 为为, ,B B, ,C C, ,D D, ,四四 边边 形形就就 是是 长长 方方 形形 的的 底底 面面ABCDMNPQ41.5xyZOABCD 3 3 画画侧侧棱棱. .过过A A, ,B B, ,C C, ,D D, ,各各点点分分别别作作z z轴轴的的平平行行线线, ,并并在在这这些些平平行行线线上上分分别别截截取取2 2c cm m长长的的线线段段A AA A

23、 , ,B BB B , ,C CC C , ,D DD D . .ABCDMNPQxyZOABCDABCD , 4 4 成成图图. .顺顺次次连连接接A A , ,B B , ,C C , ,D D , ,并并加加以以整整理理去去掉掉辅辅助助线线, ,将将被被遮遮挡挡住住的的部部分分改改为为虚虚线线就就可可得得到到长长方方体体的的直直观观图图. .MNPQABCDABCD , 4 4 成成图图. .顺顺次次连连接接A A , ,B B , ,C C , ,D D , ,并并加加以以整整理理去去掉掉辅辅助助线线, ,将将被被遮遮挡挡住住的的部部分分改改为为虚虚线线就就可可得得到到长长方方体体的的直直观观图图. .(1)(1)画轴画轴. .在已知图形中取两两垂直的在已知图形中取两两垂直的x 轴轴, y 轴轴, , z轴轴,三三轴相交于轴相交于O点画直观图时，把它画成对应点画直观图时，把它画成对应的的 轴、轴、 轴轴、 轴轴, ,使使 , ,它它确定的平面表示一个三维空间确定的