数学物理方法03

1、12目的与要求：目的与要求：掌握掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数3 无穷级数无穷级数：一无穷多个数构成的数列一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3， wn， 写成写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有式上的相加。这

2、种加法是不是具有和数和数呢？这个呢？这个和数和数的确切意义是什么？的确切意义是什么？ 为什么要研究级数为什么要研究级数？ (1) (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) (2) 常微分方程的级数解。常微分方程的级数解。 研究级数需关心的研究级数需关心的问题：问题： (1) (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。4 形如形如 的表达式被称为的表达式被称为复数项级数复数项级数，其中其中 是复数是复数

3、。ikkkwuv000innnnkkkkkkswuv010,kkkwwww5复数项级数的复数项级数的收敛收敛:即为两个实数项级数即为两个实数项级数000limlimliminnnkkknnnkkkwuv极限存在并有限极限存在并有限 若在区域内某一点若在区域内某一点z0点，点，前前n项和极限存在项和极限存在, , 00lim()() nnszs z那么级数那么级数 在在z0点收敛，点收敛，0kkw为该无穷级数的和；否则称为发散。为该无穷级数的和；否则称为发散。0()s z例例1 1解解132ikk判判别别的的敛敛散散性性。1313 (1),lim322iiinnnknnkss即即,3 . i级级

4、数数收收敛敛 且且和和为为62200kkkkkwuv若若收敛，则称收敛，则称0kkw绝对收敛绝对收敛 对于任一小的正数对于任一小的正数 ，必存在一必存在一 N 使使得得 nN 时有时有11,npk npksw 式中式中 p 为任意正整数为任意正整数.0kkv0kku0kkw7 0 1:kkzz 分分析析级级数数例例的的敛敛散散性性2 22-11nnszzz ,1时时由于当由于当 z 11 ,1nzzz 1limlim1nnnnzsz1,1z1. z 所以当时级数绝对收敛 的每一项都是复数的模，即正实数，所以它的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判实

5、际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数收敛的判别法。别法即正项级数收敛的判别法。0kkw8 11i (1) nnn1 1 级级数数是是否否收收敛敛？ 解解111 ;nnnun 因因为为发发散散2111 . nnnvn 收收敛敛所以原级数所以原级数发散发散. . 例例311(2)(1)ninn 2 2级级数数 是是否否收收敛敛？ 2111 ;nnnun 因因为为收收敛敛3111 . nnnvn 收收敛敛所以原级数所以原级数收敛收敛. . 9120( )( )( )( ),kkkw zw zw zw z 设复变函数列设复变函数列wk(z)定义在区域定义在区域B上，则由上，则由w

6、k(z)构构成的级数称成的级数称 当选定当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。复数项级数。 由于函数项级数定义在区域由于函数项级数定义在区域 B上上，所以所以它的收它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。敛的概念是相对于这个定义域而言的。1011 可由可由判定：判定： 对于对于任意给定的任意给定的正数正数 ，必存在一必存在一N(z)使得使得nN(z)时有时有1( ),n pkk nwz 则则函数项级数函数项级数收敛，收敛，。12 ： 若若wk(z) 在在B内连续，函数级数内连续，函数级数 在在B内一致收内一致收敛，则和函数敛，则和函数。0( )

7、kkwz 若级数若级数 在区域在区域B B内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线l上一致收上一致收敛，且敛，且wk(z)为为l上的连续函数，则上的连续函数，则：0( )kkwz00( )( )ddkkllkkwzzwzz0000lim( )lim( )kkzzzzkkwzwz 这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛敛级数可以逐项求极限。级数可以逐项求极限。1314151620010200()()()kkka zzaa zza zz0()kkc zz这是一种这是一种特殊形式的常用函数项级数特殊形式的常用函数项级数。幂级数幂级数：通项为

8、幂函数的级数：通项为幂函数的级数:172. 2. 收敛半径的求法收敛半径的求法达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法（比值法）（比值法）: :那末收敛半径那末收敛半径.1 R, 0lim 1 kkkaa如果如果 1. 1. 阿贝尔阿贝尔Abel第一第一定理定理 如果级数如果级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆点为圆心，心， 为半径的圆内为半径的圆内绝对收敛，而绝对收敛，而 上一致收敛上一致收敛。0kkkaza0zazaaz 0 如果级数如果级数 在在z1点点发散，则在发散，则在 内处处发散内处处发散。0kkkaza1zaza18 23001020300kkkazzaa zzazza z

9、z证证由于由于110100limlimkkkkkkkkazzazzaazz分析分析：（：（1 1）01 ,zz 当当时时0,zz 级数级数001 ( )( ),n pkkkkk nazznN zwz 圆圆内内满满足足时时 , ,在在的的, ,所以所以01 zz 内内绝绝对对敛敛收,19所以所以1.R 注意注意:101 ,zz 由由于于11101010limkkkkkazzzzazz . 1 1 ( ),npkk nwz 满满. .柯柯西西不不足足判判据据001 ,kkkazzz 圆圆发发故故在在外外散散（2 2）当）当01 ,zz 时时CRz0R20: :即即. R . 2( (极限不存在极限

10、不存在),),0.1 00 ,kkkazz则则级级数数内内处处处处敛敛在在复复平平面面收收000 ,kkkazzzzz则则级级数数对对内内发发于于复复平平面面除除均均散散以外的一切 21方法方法2:2: 根值法根值法那末收敛半径那末收敛半径11.limkkkRa , 0lim kkka如果如果230010203000000limlimlimkkkkkkkkkkkkazzaa zza zza zza zzzza zzzz : : 0 0 RR( (与比值法相同与比值法相同) )如果如果224. 4. 复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R

11、 00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数。(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z 23(2)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, , )(zw即即 0.,d)(d )(kckkcRazczz0zazzw 且且可表为连续函数的回路积分。可表为连续函数的回路积分。1201020( )()()1( )2diRCw zaa zza zzwz 101 ( )d().zkkakafzak 或24 记记 CR1上点为上点为 ， CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上的幂级数可写为则圆上的幂级数可写为利用柯西公式利用柯西公式用有界函数用有界函数112

12、 iz 相乘后，在相乘后，在CR1上一致收敛上一致收敛,1110102202010201( )2()1122()12()()( )R1CdiddiidiRRRCCCwzaazzzazzaa zza zzw z 0zz1RC201020( )()()waazaz 2511111201020111( )( )2 ( )( )01020!( )2()()()!222()()() () () ( )didddiiiRRRRnCnnnCCCnnnnnwzaazaznnnzzzaa z za z zwz 且幂级数在收敛圆内可任意且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导逐项求导0zzC1RC证证:幂级数幂级数 乘以

13、乘以1!12()innz 201020( )()()waazaz(3)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, )(zw.)()(11 kkkz0zkazw即即Rz0z 26cosikak因因为为111 limlimkkkkkkkkaeeaee 所所以以故收敛半径故收敛半径.1eR 0cos()kkik z例例1求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解12cosh(),kkkee, e 27解解1244 i(cosisin) 因因为为(1 i)nna 所以所以1limnnnaa .2221 R例例201 (i)nnnz求求 的收敛半径的收敛半径.4

14、2i,e 42i();nne nnn)2()2(lim1 . 2 28例例3 计算计算11()d ,.2nlnzzlz 其其中中 为为解解1( )nnw zz和和函函数数 czzzId)111(所以所以20i 01nnzz,111zz cczzzzd11d12 i. 2900:kkkk数数项项级级数数发发问问如如果果复复和和均散,0()?kkk级级数数发发吗吗也也散散思考题答案思考题答案不一定。不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定? ?由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上z确定确定, , 可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论。数敛散性讨论。思考题答案思考

15、题答案30 3.2 3. (1)（4）(5） 4. (1)(3)31问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？思路思路: : 1 区域内任一个区域内任一个解析函数解析函数能用能用它在边界上它在边界上回回路积分路积分表示（表示（柯西积分公式柯西积分公式），），1212( )( )di( )dillff zzfz Bzl 2 幂级数幂级数又可表为连续函数的又可表为连续函数的回路积分回路积分。1201020( )()()1( )2dRCw zaa zza zzwiz 32其中其中泰勒级数泰勒级数定理定理设设)(zfB0z为为B 内的一内的一d为为0z到到B的

16、边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, , 那末那末点点,dzz 0时时,成立成立,当当 00)()(kkkzzazf, 2, 1 , 0),(!10)( kzfkakk330 zr , 设设 0内以内以为为zB ,为中心的任一圆周为中心的任一圆周,CRB记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于BRCz.内任意点内任意点如图如图: :r0z.CR rz 0 圆周圆周由柯西积分公式由柯西积分公式 , , 有有1( )( ),2diCRff zz 其中其中 CR 取正方向取正方向。 为了得到幂级数，我们展开公式的为了得到幂级数，我们展开公式的为为幂的几何级数：幂的几何级数：34000

17、1111zzzzz 则则, , 的内部的内部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量CRzCR . 1 00 zzz 所以所以 200000)()(11zzzzzzz 00()kzzz 10001() .()kkkzzz 用有界函数用有界函数 12 if 相乘并积分得相乘并积分得3501001( )().2()dikkkCRfzzz 0010)()(d)(21)( kkCRkzzzfizf 由由高阶导数公式高阶导数公式: : 0110!( )()2()dikkCRkffzz ( )00000()( )()()!kkkkkkfzf zzzazzk我们即可得我们即可得泰勒级数泰勒级数的

18、的泰勒展开式泰勒展开式。)(zf在在0z, )(!10)(zfkakk 36;,00级数称为级数称为时时当当 z )( zf因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; ; 注意：注意： 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。就要比实变函数广阔的多。说明说明:问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数， 展开式是否唯一？展开式是否唯一？37当展开点：当展开点：z1=z0时：时：000(),f zba011(),fzba即即因此因此, , 解析函数展开成幂级数的结

19、果是解析函数展开成幂级数的结果是唯一的。唯一的。 212110)()()(zzbzzbbzf,)(1 kkzzb )(1另有一不同另有一不同泰勒泰勒级数级数:设设在在zzf 211111! 2! 1zzzfzzzfzf , )(!10)(zfkakk bk 38常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和间接法. .1.1.直接法直接法:( )01(),0,1,2,!kkafzkk由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例例1，. 0 的的泰泰勒勒展展开开式式在在求求 zez010 1 2()(), (, , ,)zkzek故有故有2

20、012!kkzkzzzezkk ( )(),zkzee39, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze。 R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径2. 2. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , , 结合解结合解析函数的性质析函数的性质, , 幂级数运算性质幂级数运算性质 ( (逐项求导逐项求导, , 积分等积分等) )和其它数学技巧和其它数学技巧 ( (代换等代换等) , ) , 求函数求函数的泰勒展开式。的泰勒展开式。间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , , 因而比因而比直接展开更为简洁

21、直接展开更为简洁 , , 使用范围也更为广泛。使用范围也更为广泛。40例例2 2 )(21sinizizeeiz 210121()()!kkkzk0012( )()!kkkkizizikk. 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz41附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式20112),!kkzkzzzezkk 201211),kkkzzzzz 20131111)()(),kkkkkzzzzz 3521413521)sin(),!()!kkzzzzzk )1( z)1( z)( z)( z42242511242)cos(),!()!kkzzzzk

22、 )( z231611231) ln()(),kkzzzzzk 1011()kkkzk)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz 11()(),!kkzk )1( z43例例3 3. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解21111()kkzzzz 1 z zz11)1 (1221112311(),.kkzzkzz 上式两边逐项求导上式两边逐项求导, , 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1区域内解析区域内解析即在即在 z故可在其解析区域内展开成故可在其解析区域内展开成的幂级数的幂级数z44例例4 4* *. 0 )1l

23、n( 泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析如图如图,1OR=1xy. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz , 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z45000111d()dzzkkkzzzz即即23111231ln()()kkzzzzzk 1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 l 逐项积分逐项积分, , 得得解解zz 11)1ln(20111()()kkkkkzzzz )1( z, 0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设

24、zzl 46复复1 1 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解201darctan,zzzz2201111 ()() ,kkkzzz zzzz021darctan所所以以2001()() dzkkkzz2101121(),.kkkzzk 而被积函数可在而被积函数可在|z| 0 内连续且可导内连续且可导10( )ln dtztztet( )10( )ln )(dtnztnztet（2） 递推公式递推公式(1)( )zzz (1)!nn函数的性质函数的性质, 2, 1 n对对 进行分部积分，可得递推公式进行分部积分，可得递推公式10( )dtztzte1. 1. 积分区间为

25、无穷积分区间为无穷; ;函数函数特点特点:2. 2. 当当 z- - 1 0, z 0 B2:Rez- - 1, z 0 在在B1 中：中： f1(z) = f2 (z) f 2 (z)是是f1 (z)在中在中的解析延拓的解析延拓.55（4）( ) z的其他形式的其他形式令令 t = y2 , 有有212100( )2ddztzyztetyey令令 t = py , 就有就有1100( )dtdztzzpyztepyey同理同理211()()()zzz z 在在B2中：中： f2(z) = f3 (z) f 3(z)是是f2 (z)在中的解在中的解析延拓析延拓. .56例例1 1计算计算).2

26、1(),21(),25(),25(nn )25(解解 )23(23 )21(2123 43 )25( 25)23(52 )23()21( )21()21(3252 158 )121()121()21( nnn 212n )21(21232n nn2!)!12( xxxde)21(0121 xxxde021xxde202 57nnn 21)121()21(2221()21 2312nn !)!12(2)1( nnn58奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项, 偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级

27、数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.答案答案59 3.3 (1)（3）(6）(8)6061例例1.1.10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析, ,但在圆环域但在圆环域01z及及011z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 而而1,1112 zzzzzk:10 内内在圆环域在圆环域 z所以所以)1(1)(zzzf ,121 kzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成幂级数内可以展开成幂级数. .62)1(1)(zzzf )1(1111zz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz10100100( )()()()

28、()kkkkf zazzazzaazzazz，若，若f (z) 在在R 2z - z0R1 内解析内解析, ,f (z) 可以展开成含有负幂次项的级数可以展开成含有负幂次项的级数, ,即即内，内，在圆环域在圆环域110 z63负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛kkkzza)(. 10 双边幂级数双边幂级数 kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。的级数表示法。6400()kkkazz01()kkkazz10()z

29、z 令令1kkka 收敛半径收敛半径r , 收时时敛敛021zzRr 收敛域收敛域收敛收敛半径半径1R01zzR 收敛域收敛域21 1 ( ):RR若 两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分, ,212( ):RR 两收敛域有两收敛域有公共部分公共部分D: :201.RzzR ra aR1aR2Df(z)=f1(z)+ f2(z)65结论结论:2R1R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :1R.0z010zzR2R.0z20Rzz 00zz.0z的收敛区域为的收敛区域为双边幂级数双边幂级数kkkzza)(0 .102RzzR 圆环域圆环域66定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向的

30、任一正向( (逆时针）简单闭曲线逆时针）简单闭曲线. . 0z,)()(0kkkzzazf (0, 1,)k 内处处解析内处处解析，在环形域在环形域设设 )( 102RzzRzf 内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在那末那末Bzf )( 为洛朗系数为洛朗系数.1012( ) di()kkCfaz 其其中中671RC2RCBzz0证证对于第一个积分对于第一个积分(CR1): : 121122( )ddiiCCRRfff zzz )()(1100zzzz 因因为为00001kkzzzz 000001111zzzzzzz 0100(),()kkkzzz 0z1R.z2RC1RC2R. .68对于

31、第二个积分对于第二个积分:21( )2 iRCf d - z 所以所以 因为因为0011 () ()zzz z 001zzz 000111z zz zz 00()kkkazz112( )diCRfz 0110012( )d()i()kkCRkfzzz 0z1R.z2RC1RC2R. .69则则212( )diCRfz 01200112()( )d()illCRlzfzz 001000001()()()()()llllllzzzzzzzz 10210112()( )d()ikkCRkzfzz 0121012( )()di()kkCRkfzzz 12012( )di()kkCRfaz 7001()

32、 ,kkkazz121( )1( )( )22ddiiRRCCfff zzz则则 1010122( )d(,)i()kkCfakz 对于对于C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0zkkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 闭曲线闭曲线. .可用一个式子表示为可用一个式子表示为: :kkaa 与与71说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的

33、，幂项的级数是唯一的， 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法. .kkkzzazf)()(0 72常用方法常用方法 : 1.: 1.直接法直接法 2.2.间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数ka缺点缺点: : 计算往往很麻烦计算往往很麻烦. .), 2, 1, 0(d)()(2110 kzfiaCkk 然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf 根据正、负幂项组成的级数的唯一性根据正、负幂项组成的级数的唯一性, , 可可用代数运算、

34、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . .优点优点 : : 简捷简捷 , , 快速快速 . .2. 间接展开法间接展开法73例例2 2, 0 内内在在 z. )( 2展开成洛朗级数展开成洛朗级数将将zezfz 解解由定理知由定理知: :,)(kkkzazf 而而 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei故由柯西定理知故由柯西定理知: :由解析函数的高阶导数公式知由解析函数的高阶导数公式知: :0 k- -3a, 2 时时则则 k, 3 时时当当 k, 2在圆环域内解析在圆环域内解析zez00z 由柯西定理我们知道闭合回路由柯西定理我们知道闭合回路

35、C内不含奇点时内不含奇点时ak=0.=0.所以，我们要分析上式被积函数的解析性。所以，我们要分析上式被积函数的解析性。74 d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故故另解：另解：直接展开直接展开ez ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz75例例3 3 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的, ,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数. .解解,)2(1)1(1)(zzz

36、f : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf , 10 )1内内在在 z76oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以所以 nzzzz2111则则,1 z由于由于12 z从而从而7712oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 , 21 )2内内在在 z,)2(1)1(1)(zzzf 78 842111121zzzzznn2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 , 2 )3内内在在 z 2

37、1111zzz 2222121zz)( zf于是于是79 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz, 121 zz此时此时 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故故80注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)( zzzf的奇点的奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项, , 而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇点, , 但是但是0z可能是函数可能是函

38、数)(zf的奇点的奇点, ,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是812. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 ( (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).82解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例4 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn. 0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数 zzz83定义定义：若函数若函数f (z)在点在点z0处不解析处不解析（

39、或没有定义）（或没有定义），但，但在点在点z0的某个的某个 内解析内解析，则称点则称点z0为为f (z)的的孤立奇点孤立奇点。00(0)zzRR 例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点. .注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, , 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点. .84例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, , 的奇点存在的奇点存在, ,

40、函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim kk85 定义定义 设设z0是解析函数是解析函数f (z)的孤立奇点的孤立奇点，f (z)在在点点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的罗朗展式为内的罗朗展式为kkkf zazz0( )() 00zzR (1)(1)若展式中不含有若展式中不含有z-z0的负幂项，则称的负幂项，则称z0为为f (z)的的可去奇点可去奇点； (2)(2)若展式中只含有若展式中只含有z-z0的有限的有限( (m)项负幂项项负幂项，则称则称z0是是f (z)的的极点极点，称称m为极点为极点z0的阶，按照的阶，按照m=1或或

41、m1，称称z0是是f (z)的单极点或的单极点或m阶的极点；阶的极点； (3)(3)若展式中含有若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称的无穷多个负幂项，则称z0为为f (z)的的本性奇点本性奇点。86其和函数其和函数)(zF为在为在0z解析的函数解析的函数. .说明说明: (1)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz (2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, , )(zf0z补充定义补充定义则函数则函数在在0z解析解析. .)(zf1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不如果洛朗级数中不含含 的负幂项的负幂项, 0zz 0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.

42、1) 定义定义,)(0的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010 kkzzazzaazf,)(00azf 000, )()(zzazzzFzf87 2) 可去奇点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负0z)(zf在在如果如果幂项则幂项则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点. .(2) 判断极限判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值, ,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点. .如果补充定义如果补充定义: :0 z时时, , 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析. .例例3 42! 51! 3

43、11sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项, ,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 . . 88例例4 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点. .zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所所以以的可去奇点的可去奇点. .为为zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 892. 极点极点 , )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即阶阶极点极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末

44、孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, 1012020)()()()( zzazzazzazfmm )(010zzaa)0, 1( mam90说明说明:1.2.0)(0 zg特点特点: :(1)(2)的极点的极点 , , 则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函数有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二是二阶阶极点极点, , 0 z2 z是一是一阶阶极点极点. . 20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数内是解析函数在在 0zz912)极

45、点的判定方法极点的判定方法)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项. .在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, ,且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限利用极限 )(lim0zfzz判断判断 .92本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的的本性奇点本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，,!1! 211211

46、nzznzze)0( z含有无穷多个含有无穷多个z z的负幂项的负幂项 特点特点: : 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为. 同时同时zze10lim不存在不存在. .为本性奇点，为本性奇点，所以所以0 z931. 定义定义 如果函数如果函数)(zf在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心邻域邻域 zR内解析内解析, , 则称点则称点 为为)(zf的的孤孤立奇点立奇点. .Rxyo94令变换令变换:1zt 规定此变换将规定此变换将: :映射为映射为 z, 0 t扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为)( nnzz)0(1 nnntzt

47、映射为映射为 zRRt10 映射为映射为),(t tfzf1)(则则952 结论结论: 在去心邻域在去心邻域 zR内对函数内对函数)(zf的研究的研究在去心邻域在去心邻域Rt10 内对函数内对函数)(t 的研究的研究Rt10 因为因为 )(t 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的, ,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇点的孤立奇点. .3 规定规定: m阶阶奇点或本性奇点奇点或本性奇点 .)(t 的可去奇点的可去奇点、m阶奇点或阶奇点或本性奇点本性奇点, ,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇点、的可去奇点、 那末就称点那末就称点961)1)不含正幂项不含正幂项; ;2)2)含有

48、有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且mz为最高正幂为最高正幂; ;3)3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项; ;那末那末 z是是)(zf的的 1)1)可去奇点可去奇点 ; ;2) m 级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点 . .判别法判别法1 (1 (利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点) )4.判别方法判别方法:)(zf zR在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中: :如果如果97例例6 6 (1)函数函数1)( zzzf在圆环域在圆环域 z1内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为: : nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项不含正幂项所以所以 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点 . .(2)(2)函数函数zzzf1)( 含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项, ,所以所以 z是是)(zf的的 m阶阶极点极点. .98(3)函数函数zsin的展开式的展开式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以 z是是)(zf的本性奇点的本性奇点.99判别法判别法2 : (利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限lim( )kf z1)1)存在且为有限值存在且为有限值 ; ;