基本不等式求最值方法

1、基本不等式2 2若a,b R，则ab j b_ 2知识点：（当且仅当1. (1)若 a,b R，则 a2 b2 _ 2aba =b时取“=”)2. 若a,b R*，则山_ ab2若 a,b R*，则 a b _2 ab（当且仅当a二b时取“=”）若a,bR*，则ab m电主 （ 飞2丿当且仅当a = b时取“=”）=1时取“=”)13.若x 0，则x一_2（当且仅当xxx - -1 时取“=”)1若x : 0，则X 2 （当且仅当x若XHO，则x+丄22即x+丄22或X（当且仅当a = b时取“=”）x4.若 ab 0 ,则 2 亠b _ 2 b a且仅当a = b时取“=”）若ab = 0

2、,则ba注意:2232&2（当且仅当a=b时取“=”）K-卫当且仅当a二b时取“=”）a（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有 广泛的应用应用：求最值解题技巧例：求下列函数的值域:(1) y = 3x 2技巧一：凑项5彳例1已知X，求函数y=4x-2 (2) y = x + 一x 的最大值。44x5变式：已知x-，求函数y =2x1 的最小值。22x 3技巧二:例2：凑系数当时，求y

3、 =x(8_2x)的最大值。3变式：设0 ： x，求函数y = 4x(3 -2x)的最大值。2技巧三：分离换元2例3 :求y二x 7x 10 & . “)的值域。2 x - 2x 亠 1变式：当x 1时，求y =x 的最小值.x -1技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数调性。例：求函数y = X 5的值域。X2 * 4技巧六：整体代换(“1 ”的应用)19例：已知x 0, y 0，且1,求x y的最小值。x y1 1变式：正数x, y满足x 2y =1，求 的最小值x y设a 0,b0.若是3玄与3b的等比中项，贝丄的最小值为a b分析：因条件和结论分别是二次和一次，

4、故采用公式同时还应化简1 + y 2中y前面的系数为x 1 + y 2分别看成两个因式:3 4 即 x- 1 + y技巧八：已知a, b为正实数,2b + ab+ a = 30,求函数y=命的最小值.是通过消元，转化为一元函数问分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等 式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。技巧九、取平方求函数“.冇疋（1:x ： 5）的最大值。数列检测练习1. 已知等差数列的前n项和为Sn,若|

5、7等于（）A. 18 B. 36 C. 54D. 722. 已知正项等比数列数列an , bn=log a an,则数列bn是（）A、等比数列B、等差数列 C、既是等差数列又是等比数列D、以上都不对3. 在等差数列 甘中，3 （aUa：） +2 （a +a二+a ） =24，则此数列的前13项之和为（）A. 156 B. 13 C. 12D. 264. 在等比数列 &中，已知aanM，则a2a8等于(A. 16B. 6C. 12D. 45. 一个等比数列an的前n项和为48,前2n项和为60,则前3n项和为()A 63B 、108C 、75 D 、836.已知数列an的通项公式为an =且S=

6、 J01 -1,则n的值为（A） 98（ B）99（ C）100（ D） 1017.在正项等比数列an中，a21+a22+n2 4 - 1 a n=则&+氏+an的值为(A)2n(B)2n-1(C)2n+1(D)2n+1-28.已知首项为正数的等差数列gj满足：a2010 + a2009 A 0 , a2010a2009 0 ,则使其前n项和Sn0成立的最大自然数门是( ).A.4016 B.40179已知数列1,C. 4018 D. 4019_-，则其前1+2十3十十月n项的和等于10、等差数列何曲的前n项和分别为Sn%若著畠，则誉11. 已知等比数列an满足an 0, n=1,2,IH,且

7、 氏*22( n 一 3)，则当n_1时,log2a1 gas IH gazn厂 12. 设等比数列 an 的前n项和为Sn ，若 虽=3 ,则 鱼=S3S613. 设数列an的前n项和为Sn,已知a1 =1, Sn4an 2(I)设bn二an, - 2an，证明数列bn是等比数列(II)求数列an的通项公式。114已知数列laj的前n项和Sn =-an -(2严 2 (n为正整数)。(I)令bn =2nan，求证数列0?是等差数列，并求数列fan?的通项公式；n +1(n)令 Cnan，求 TC) c2 -cn 的值15. 已知数列an满足 a2anj 21(N*, n _ 2)，且 a81(1) 求数列的前三项印、a2、a3的值；(2) 是否存在一个实数 使得数列 an n 为等差数列？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由；求数列an通项公式。(3) 求数列an的前n项的和1 1116. 已知数列an的前n项和为Sn，且有S-n2 n，数列0满足 bn 2 -2bn 1 bn =0 (n N*)，且 b3 =11，前 9项和为 153；(1)求数列